المعطيات:
حيث \( x \) عدد حقيقي.
\( E = \sqrt{2} \left( \sqrt{3}x - 1 \right) \)
\( F = 3x - \sqrt{3} \)
السؤال الأول
احسب \( E \) في حالة \( x = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
التصحيح المفصل:
الخطوة 1: تعويض x في العبارة \( \sqrt{3}x \)
\[ \sqrt{3}x = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
\[ \sqrt{3}x = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
الخطوة 2: تعويض النتيجة في E
\[ E = \sqrt{2} (1 - 1) = \sqrt{2} \times 0 \]
\[ E = \sqrt{2} (1 - 1) = \sqrt{2} \times 0 \]
النتيجة النهائية:
\[ E = 0 \]
السؤال الثاني (أ)
فكك العبارة \( F \) إلى جداء عوامل.
التصحيح المفصل:
نلاحظ أن \( 3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \).
\[ F = 3x - \sqrt{3} = (\sqrt{3} \times \sqrt{3})x - \sqrt{3} \]
نأخذ \( \sqrt{3} \) كعامل مشترك:
\[ F = \sqrt{3} ( \sqrt{3}x - 1 ) \]
السؤال الثاني (ب)
بيّن أن: \( E - F = ( \sqrt{3}x - 1 ) ( \sqrt{2} - \sqrt{3} ) \)
التصحيح المفصل:
الخطوة 1: كتابة E - F بالاستعانة بالنتائج السابقة
لدينا \( E = \sqrt{2} ( \sqrt{3}x - 1 ) \) و \( F = \sqrt{3} ( \sqrt{3}x - 1 ) \). \[ E - F = \sqrt{2} ( \sqrt{3}x - 1 ) - \sqrt{3} ( \sqrt{3}x - 1 ) \]
لدينا \( E = \sqrt{2} ( \sqrt{3}x - 1 ) \) و \( F = \sqrt{3} ( \sqrt{3}x - 1 ) \). \[ E - F = \sqrt{2} ( \sqrt{3}x - 1 ) - \sqrt{3} ( \sqrt{3}x - 1 ) \]
الخطوة 2: إخراج العامل المشترك
العامل المشترك هو \( ( \sqrt{3}x - 1 ) \). \[ E - F = ( \sqrt{3}x - 1 ) ( \sqrt{2} - \sqrt{3} ) \] وهو المطلوب.
العامل المشترك هو \( ( \sqrt{3}x - 1 ) \). \[ E - F = ( \sqrt{3}x - 1 ) ( \sqrt{2} - \sqrt{3} ) \] وهو المطلوب.
السؤال الثاني (ج)
أوجد العدد الحقيقي \( x \) بحيث \( E = F \).
التصحيح المفصل:
الخطوة 1: كتابة المعادلة
المعادلة \( E = F \) تكافئ \( E - F = 0 \). \[ ( \sqrt{3}x - 1 ) ( \sqrt{2} - \sqrt{3} ) = 0 \]
المعادلة \( E = F \) تكافئ \( E - F = 0 \). \[ ( \sqrt{3}x - 1 ) ( \sqrt{2} - \sqrt{3} ) = 0 \]
الخطوة 2: حل المعادلة
لكي يكون الجداء صفراً، يجب أن يكون أحد العاملين صفراً. بما أن \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \neq 0 \)، فيجب أن يكون العامل الآخر صفراً. \[ \sqrt{3}x - 1 = 0 \]
لكي يكون الجداء صفراً، يجب أن يكون أحد العاملين صفراً. بما أن \( \sqrt{2} - \sqrt{3} \neq 0 \)، فيجب أن يكون العامل الآخر صفراً. \[ \sqrt{3}x - 1 = 0 \]
الخطوة 3: إيجاد x
\[ \sqrt{3}x = 1 \implies x = \frac{1}{\sqrt{3}} \] ويمكن كتابة الحل على الشكل: \( x = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
\[ \sqrt{3}x = 1 \implies x = \frac{1}{\sqrt{3}} \] ويمكن كتابة الحل على الشكل: \( x = \frac{\sqrt{3}}{3} \).