نعتبر العبارتين التاليتين :
\( a = -2\sqrt{50} - \left[ \frac{3}{2} - \left(\sqrt{200} - x\right) \right] - \left| \frac{3}{2} - \sqrt{2} \right| \)
\( b = \sqrt{3} \left( \sqrt{12} - \frac{5}{3}\sqrt{6} \right) - \sqrt{2} \left( \frac{3}{2}\sqrt{2} - 4 \right) \)
1) بيّن أن \( a = \sqrt{2} - 3 - x \) و \( b = 3 - \sqrt{2} \)
تبسيط a:
أولاً نبسط الجذور: \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) و \( \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \).
ندرس إشارة القيمة المطلقة: \( (3/2)^2 = 2.25 \) و \( (\sqrt{2})^2 = 2 \), إذن \( 3/2 > \sqrt{2} \), وبالتالي \( |3/2 - \sqrt{2}| = 3/2 - \sqrt{2} \).
\( a = -2(5\sqrt{2}) - \left[ \frac{3}{2} - (10\sqrt{2} - x) \right] - \left( \frac{3}{2} - \sqrt{2} \right) \)
\( = -10\sqrt{2} - \left[ \frac{3}{2} - 10\sqrt{2} + x \right] - \frac{3}{2} + \sqrt{2} \)
\( = -10\sqrt{2} - \frac{3}{2} + 10\sqrt{2} - x - \frac{3}{2} + \sqrt{2} \)
\( = (-10\sqrt{2} + 10\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (-\frac{3}{2} - \frac{3}{2}) - x = \sqrt{2} - 3 - x \)
\( = -10\sqrt{2} - \left[ \frac{3}{2} - 10\sqrt{2} + x \right] - \frac{3}{2} + \sqrt{2} \)
\( = -10\sqrt{2} - \frac{3}{2} + 10\sqrt{2} - x - \frac{3}{2} + \sqrt{2} \)
\( = (-10\sqrt{2} + 10\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (-\frac{3}{2} - \frac{3}{2}) - x = \sqrt{2} - 3 - x \)
تبسيط b:
نبسط الجذر: \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
نقوم بالنشر:
\( b = \sqrt{3}(2\sqrt{3}) - \sqrt{3}(\frac{5}{3}\sqrt{6}) - \sqrt{2}(\frac{3}{2}\sqrt{2}) + \sqrt{2}(4) \)
\( = 6 - \frac{5}{3}\sqrt{18} - \frac{3}{2}(2) + 4\sqrt{2} \)
\( = 6 - \frac{5}{3}(3\sqrt{2}) - 3 + 4\sqrt{2} = 6 - 5\sqrt{2} - 3 + 4\sqrt{2} = 3 - \sqrt{2} \)
\( = 6 - \frac{5}{3}\sqrt{18} - \frac{3}{2}(2) + 4\sqrt{2} \)
\( = 6 - \frac{5}{3}(3\sqrt{2}) - 3 + 4\sqrt{2} = 6 - 5\sqrt{2} - 3 + 4\sqrt{2} = 3 - \sqrt{2} \)
2) احسب القيمة العددية لـ a في حالة \( x = \frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \)
نعوض x في العبارة المبسطة لـ a:
\( a = \sqrt{2} - 3 - \left( \frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \right) = \sqrt{2} - 3 - \frac{1}{2} + 3\sqrt{2} \)
\( = (\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + (-3 - \frac{1}{2}) = 4\sqrt{2} - \frac{7}{2} \)
\( = (\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + (-3 - \frac{1}{2}) = 4\sqrt{2} - \frac{7}{2} \)
3) جد العدد الحقيقي x إذا علمت أن a و b متقابلان
العددان متقابلان يعني أن مجموعهما يساوي صفر: \( a + b = 0 \).
\( (\sqrt{2} - 3 - x) + (3 - \sqrt{2}) = 0 \)
\( (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (-3 + 3) - x = 0 \)
\( -x = 0 \implies x = 0 \)
\( (\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (-3 + 3) - x = 0 \)
\( -x = 0 \implies x = 0 \)
4- أ) بيّن أن \(b - \sqrt{2}\) و \(3 + 2\sqrt{2}\) مقلوبان
نحسب حاصل جدائهما. إذا كان يساوي 1، فهما مقلوبان.
أولاً، \( b - \sqrt{2} = (3 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} \).
\( (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1 \)
4- ب) استنتج حسبا للعبارة \( c = \frac{2}{3 + 2\sqrt{2}} - b + \sqrt{2} \)
من السؤال السابق، بما أن \( (b - \sqrt{2}) \) و \( (3 + 2\sqrt{2}) \) مقلوبان، فإن:
\( \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = b - \sqrt{2} \)
نعوض هذا في العبارة c:
\( c = 2 \left( \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \right) - b + \sqrt{2} \)
\( = 2(b - \sqrt{2}) - b + \sqrt{2} \)
\( = 2b - 2\sqrt{2} - b + \sqrt{2} = b - \sqrt{2} \)
\( = 2(b - \sqrt{2}) - b + \sqrt{2} \)
\( = 2b - 2\sqrt{2} - b + \sqrt{2} = b - \sqrt{2} \)
نعوض قيمة b:
\( c = (3 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2} \)