المعطيات:
\( a = \frac{3}{2}\sqrt{20} - \frac{5}{6}\sqrt{45} + \frac{1}{2} \)
\( b = \frac{5 - \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \)
\( c = (3 - \sqrt{5})^2 \)
السؤال الأول
بيّن أن:
\( a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \), \( b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \), \( c = 14 - 6\sqrt{5} \)
\( a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \), \( b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \), \( c = 14 - 6\sqrt{5} \)
التصحيح المفصل:
حساب a:
\( a = \frac{3}{2}(2\sqrt{5}) - \frac{5}{6}(3\sqrt{5}) + \frac{1}{2} \)
\( a = 3\sqrt{5} - \frac{5}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2} \)
\( a = (\frac{6}{2} - \frac{5}{2})\sqrt{5} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \)
\( a = \frac{3}{2}(2\sqrt{5}) - \frac{5}{6}(3\sqrt{5}) + \frac{1}{2} \)
\( a = 3\sqrt{5} - \frac{5}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2} \)
\( a = (\frac{6}{2} - \frac{5}{2})\sqrt{5} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \)
حساب b:
نضرب البسط والمقام في المرافق \( \sqrt{5} \) للتخلص من الجذر في المقام.
\( b = \frac{(5 - \sqrt{5})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5} - 5}{2 \times 5} = \frac{5(\sqrt{5} - 1)}{10} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \)
نضرب البسط والمقام في المرافق \( \sqrt{5} \) للتخلص من الجذر في المقام.
\( b = \frac{(5 - \sqrt{5})\sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5} - 5}{2 \times 5} = \frac{5(\sqrt{5} - 1)}{10} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \)
حساب c:
نستخدم المتطابقة الهامة \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \).
\( c = (3 - \sqrt{5})^2 = 3^2 - 2(3)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 \)
\( c = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5} \)
نستخدم المتطابقة الهامة \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \).
\( c = (3 - \sqrt{5})^2 = 3^2 - 2(3)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 \)
\( c = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5} \)
السؤال الثاني
بيّن أن \(a\) هو مقلوب \(b\).
التصحيح المفصل:
لإثبات أن عددين مقلوبان، يجب أن يكون حاصل ضربهما يساوي 1.
\[ ab = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \times \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}{4} \]
باستخدام المتطابقة الهامة \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \):
\[ ab = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
إذن، a هو مقلوب b.
السؤال الثالث
استنتج أن: \( \left(\frac{a}{b} + a\right)\left(\frac{a}{b} - b\right) = a^4 + a^3 - a - 1 \)
التصحيح المفصل:
الخطوة 1: تبسيط الطرف الأيسر
بما أن \(a\) مقلوب \(b\)، فإن \(b = \frac{1}{a}\). \[ \frac{a}{b} = \frac{a}{1/a} = a^2 \]
بما أن \(a\) مقلوب \(b\)، فإن \(b = \frac{1}{a}\). \[ \frac{a}{b} = \frac{a}{1/a} = a^2 \]
الخطوة 2: التعويض في العبارة
\[ \left(a^2 + a\right)\left(a^2 - \frac{1}{a}\right) \] نقوم بالنشر (التوزيع): \[ = (a^2)(a^2) + (a^2)(-\frac{1}{a}) + (a)(a^2) + (a)(-\frac{1}{a}) \]
\[ \left(a^2 + a\right)\left(a^2 - \frac{1}{a}\right) \] نقوم بالنشر (التوزيع): \[ = (a^2)(a^2) + (a^2)(-\frac{1}{a}) + (a)(a^2) + (a)(-\frac{1}{a}) \]
الخطوة 3: التبسيط النهائي
\[ = a^4 - a + a^3 - 1 \] بإعادة الترتيب نحصل على: \( a^4 + a^3 - a - 1 \). وهو المطلوب.
\[ = a^4 - a + a^3 - 1 \] بإعادة الترتيب نحصل على: \( a^4 + a^3 - a - 1 \). وهو المطلوب.
السؤال الرابع
ليكن \(x\) عدد حقيقي سالب. اختصر العبارة: \( M = \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} + \sqrt{(2 - x)^2} \)
التصحيح المفصل:
الخطوة 1: تبسيط الحد الأول
من السؤال الأول، نعلم أن \( c = 14 - 6\sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2 \). \[ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = |3 - \sqrt{5}| \] بما أن \( 3 = \sqrt{9} > \sqrt{5} \)، فإن \( 3 - \sqrt{5} \) موجب. إذن \( |3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5} \).
من السؤال الأول، نعلم أن \( c = 14 - 6\sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2 \). \[ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = |3 - \sqrt{5}| \] بما أن \( 3 = \sqrt{9} > \sqrt{5} \)، فإن \( 3 - \sqrt{5} \) موجب. إذن \( |3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5} \).
الخطوة 2: تبسيط الحد الثاني
\[ \sqrt{(2 - x)^2} = |2 - x| \] بما أن \( x \) عدد حقيقي سالب (\( x < 0 \)), فإن \( -x \) موجب. لذلك، \( 2 - x \) هو مجموع عددين موجبين، فهو موجب. \[ |2 - x| = 2 - x \]
\[ \sqrt{(2 - x)^2} = |2 - x| \] بما أن \( x \) عدد حقيقي سالب (\( x < 0 \)), فإن \( -x \) موجب. لذلك، \( 2 - x \) هو مجموع عددين موجبين، فهو موجب. \[ |2 - x| = 2 - x \]
الخطوة 3: تجميع النتائج
\[ M = (3 - \sqrt{5}) + (2 - x) = 3 - \sqrt{5} + 2 - x = 5 - \sqrt{5} - x \]
\[ M = (3 - \sqrt{5}) + (2 - x) = 3 - \sqrt{5} + 2 - x = 5 - \sqrt{5} - x \]