تصحيح تمارين - العمليات في الأعداد الحقيقية

التمرين

ليكن العبارات التالية:

\( a = 2 \times \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} - \sqrt{60} + \frac{60}{\sqrt{60}} \)

\( b = \sqrt{64} + 4\sqrt{60} - \sqrt{540} \)

\( e = 3\sqrt{12} + \sqrt{48} - \sqrt{75} - \sqrt{3} + \sqrt{49} \)

1) بين أن \(a = 8 - 2\sqrt{15}\) و \(b = 8 + 2\sqrt{15}\) و \(c = \sqrt{e} = 2 + \sqrt{3}\).

2) بين أن \(a \times b = 4\) واستنتج علامة \(a\).

3) انشر واختصر العبارة \((2 + \sqrt{3})^2\) ثم استنتج تبسيطا للعبارة \(c\).

4) لتكن العبارة \(d = \sqrt{a} - \sqrt{b}\).
أ) بين أن \(d^2 = 12\) ثم استنتج قيمة \(d\).
ب) بين أن \(d + 2c\) عدد صحيح طبيعي.

5) لتكن العبارة \(E = \frac{a}{b}\). بين أن \(E = 31 - 8\sqrt{15}\).

6) اختصر العبارتين: \(F = \frac{b}{4}a^2 - a\) و \(G = \sqrt{a}(\sqrt{b} - \frac{1}{\sqrt{a}}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{b}})\).

1) تبسيط العبارات a, b, e و c:

تبسيط a:

\( \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} = |\sqrt{15} - 4| = -(\sqrt{15} - 4) = 4 - \sqrt{15} \) (لأن \( \sqrt{15} < 4 \))
\( \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \) و \( \frac{60}{\sqrt{60}} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \)
\( a = 2(4 - \sqrt{15}) - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 8 - 2\sqrt{15} \).

تبسيط b:

\( b = 8 + 4(2\sqrt{15}) - \sqrt{36 \times 15} = 8 + 8\sqrt{15} - 6\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15} \).

تبسيط e و c:

\( e = 3(2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - \sqrt{3} + 7 = (6+4-5-1)\sqrt{3} + 7 = 4\sqrt{3} + 7 \).
\( c = \sqrt{e} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \).

2) حساب الجداء واستنتاج العلامة:

\( a \times b = (8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15}) = 8^2 - (2\sqrt{15})^2 = 64 - (4 \times 15) = 64 - 60 = 4 \).

بما أن \( b = 8 + 2\sqrt{15} \) موجب، و \( a \times b = 4 \) موجب، فإن \( a \) يجب أن يكون موجبا أيضا.
(يمكن التحقق: \( 8^2=64 \) و \( (2\sqrt{15})^2=60 \). بما أن 64 > 60، فإن \( a > 0 \).)

3) نشر واستنتاج تبسيط c:

\( (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \).

بما أن \( e = 7 + 4\sqrt{3} \)، فإن \( c = \sqrt{e} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3} \).

4) حساب d:

أ) حساب d² واستنتاج d:

\( d^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b \)
\( = (8 - 2\sqrt{15}) - 2\sqrt{4} + (8 + 2\sqrt{15}) = 16 - 2(2) = 12 \).

إذن \( d = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3} \). بما أن \( a < b \)، فإن \( \sqrt{a} < \sqrt{b} \)، وبالتالي \( d = \sqrt{a} - \sqrt{b} \) سالب. إذن \( d = -2\sqrt{3} \).

ب) حساب d + 2c:

\( d + 2c = -2\sqrt{3} + 2(2 + \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 4 \). وهو عدد صحيح طبيعي.

5) تبسيط E = a/b:

\( E = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{8 + 2\sqrt{15}} = \frac{(8 - 2\sqrt{15})(8 - 2\sqrt{15})}{(8 + 2\sqrt{15})(8 - 2\sqrt{15})} = \frac{(8 - 2\sqrt{15})^2}{a \times b} \)
\( = \frac{64 - 32\sqrt{15} + 60}{4} = \frac{124 - 32\sqrt{15}}{4} = 31 - 8\sqrt{15} \).

6) تبسيط F و G:

تبسيط F: بما أن \( ab=4 \)، فإن \( \frac{b}{4} = \frac{1}{a} \).

\( F = \frac{b}{4}a^2 - a = \frac{1}{a} \cdot a^2 - a = a - a = 0 \).

تبسيط G:

\( G = (\sqrt{ab} - 1) + (\sqrt{ab} - 1) = 2\sqrt{ab} - 2 \).
بما أن \( ab=4 \)، فإن \( \sqrt{ab}=2 \).
\( G = 2(2) - 2 = 2 \).