التمرين عدد 9

نعتبر العبارتين حيث \( x \) عدد حقيقي:

\( E = \frac{\sqrt{5}}{2}x - \frac{5}{2} \)
\( F = 2x(x - \sqrt{5}) - \frac{\sqrt{5}}{2}x + \frac{5}{2} \)

4- أ) فكك E إلى جداء عوامل

نبدأ بإخراج \( \frac{1}{2} \) كعامل مشترك:

\( E = \frac{1}{2}(\sqrt{5}x - 5) \)

ثم نخرج \( \sqrt{5} \) كعامل مشترك من القوس، مع العلم أن \( 5 = \sqrt{5} \times \sqrt{5} \):

\( E = \frac{1}{2} \times \sqrt{5}(x - \sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{2}(x - \sqrt{5}) \)

4- ب) استنتج أن \( F = (x - \sqrt{5})\left(2x - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \)

نلاحظ أن الجزء الأخير من F هو مقابل E:

\( F = 2x(x - \sqrt{5}) - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}x - \frac{5}{2}\right) = 2x(x - \sqrt{5}) - E \)

نعوض E بصيغتها المفككة من السؤال السابق:

\( F = 2x(x - \sqrt{5}) - \frac{\sqrt{5}}{2}(x - \sqrt{5}) \)

نأخذ \( (x - \sqrt{5}) \) كعامل مشترك:

\( F = (x - \sqrt{5}) \left(2x - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \)

5- احسب القيمة العددية لـ F إذا علمت أن \(x = 1\)

نعوض \( x=1 \) في الصيغة المفككة لـ F:

\( F = (1 - \sqrt{5})\left(2(1) - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) = (1 - \sqrt{5})\left(2 - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \)

نقوم بالنشر:

\( F = 1(2) - 1(\frac{\sqrt{5}}{2}) - \sqrt{5}(2) + \sqrt{5}(\frac{\sqrt{5}}{2}) \)
\( = 2 - \frac{\sqrt{5}}{2} - 2\sqrt{5} + \frac{5}{2} \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\( F = (2 + \frac{5}{2}) + (-\frac{\sqrt{5}}{2} - 2\sqrt{5}) \)
\( = (\frac{4+5}{2}) + (-\frac{1}{2} - \frac{4}{2})\sqrt{5} = \frac{9}{2} - \frac{5}{2}\sqrt{5} = \frac{9 - 5\sqrt{5}}{2} \)

6- أوجد x في الحالة: \( F = 2x - \sqrt{20} \)

نبسط الطرف الأيمن: \( 2x - \sqrt{20} = 2x - \sqrt{4 \times 5} = 2x - 2\sqrt{5} = 2(x - \sqrt{5}) \).

المعادلة تصبح: \( (x - \sqrt{5})\left(2x - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) = 2(x - \sqrt{5}) \).

ننقل كل الحدود إلى طرف واحد:

\( (x - \sqrt{5})\left(2x - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) - 2(x - \sqrt{5}) = 0 \)

نأخذ \( (x - \sqrt{5}) \) كعامل مشترك:

\( (x - \sqrt{5}) \left[ \left(2x - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) - 2 \right] = 0 \)
\( (x - \sqrt{5}) \left(2x - 2 - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) = 0 \)

جداء يساوي صفر يعني أن أحد العاملين يساوي صفر:

الحالة 1: \( x - \sqrt{5} = 0 \implies x = \sqrt{5} \).

الحالة 2: \( 2x - 2 - \frac{\sqrt{5}}{2} = 0 \implies 2x = 2 + \frac{\sqrt{5}}{2} \implies x = 1 + \frac{\sqrt{5}}{4} \).