تصحيح التمارين - الجذور والتناسب

التمرين رقم 1 (QCM)

1) طبيعة الشكل ABCD

في هذا الرسم ABCD هو (بأبعاد \(AD = 5\sqrt{3}\) و \(AB = 5\sqrt{12} - \sqrt{75}\)):

(أ) مستطيل

(ب) معين

(ج) مربع

نحسب طول الضلع AB:

AB = 5\sqrt{12} - \sqrt{75} = 5\sqrt{4 \times 3} - \sqrt{25 \times 3} \) \( = 5(2\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}

بما أن الضلعين المتجاورين \(AD = 5\sqrt{3}\) و \(AB = 5\sqrt{3}\) متساويان، والشكل له زوايا قائمة، فهو مربع.

2) تحديد مجموعة النقاط M

إذا كان (O,I,J) معينا متعامدا و A(3 ; 1) و B(-2 ; 3) فإن مجموعة النقاط M(x,y) بحيث y=1 و x ≤ 3 هي:

(أ) [AB]

(ب) نصف المستقيم الذي أصله A و يمر من J

(ج) [OA]

الشرط \( y=1 \) يحدد المستقيم الأفقي الذي يمر بالنقطتين A(3,1) و J(0,1).

الشرط \( x \le 3 \) يعني أننا نأخذ جميع النقاط على هذا المستقيم التي فاصلتها أصغر من أو تساوي 3. هذا يمثل نصف المستقيم (الشعاع) الذي أصله النقطة A ويمتد إلى اليسار، ماراً بالنقطة J.

3) حل معادلة التناسب

إذا كان \( \sqrt{x^2+7} \) و 1 متناسبان مع \( \sqrt{2}-4 \) و 2، فإن:

(أ) x=1

(ب) x=2

(ج) لا يمكن

التناسب يعني أن \( \frac{\sqrt{x^2+7}}{1} = \frac{\sqrt{2}-4}{2} \).

الطرف الأيسر، \( \sqrt{x^2+7} \)، دائماً موجب.

الطرف الأيمن، \( \frac{\sqrt{2}-4}{2} \)، هو سالب لأن \( \sqrt{2} \approx 1.414 \).

لا يمكن لعدد موجب أن يساوي عدداً سالباً، إذن المعادلة مستحيلة.

التمرين رقم 2

المعطيات:

\( E = 3\sqrt{3} - \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right) + \frac{3}{2} - \sqrt{2} \)

\( F = \sqrt{27} - \sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{12} \)

1) بيّن أن \( E = \sqrt{3} - \sqrt{2} \) و \( F = \sqrt{3} + \sqrt{2} \).

حساب E:

E = 3\sqrt{3} - \frac{3}{2} - 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} - \sqrt{2} = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}

حساب F:

F = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}

2) بيّن أن E هو مقلوب F.

نحسب الجداء \( E \times F \):

E \times F = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1

بما أن الجداء يساوي 1، فهما مقلوبان.

التمرين رقم 3

المعطيات:

\( A = (x-\sqrt{3})(2x+2\sqrt{3}) - \sqrt{3}x+3 \)

1) بيّن أن \( A=(x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3}) \).

نفكك الحد الثاني: \( -(\sqrt{3}x-3) = -\sqrt{3}(x-\sqrt{3}) \).

تصبح العبارة: \( A = (x-\sqrt{3})(2x+2\sqrt{3}) - \sqrt{3}(x-\sqrt{3}) \).

نأخذ \( (x-\sqrt{3}) \) كعامل مشترك:

A = (x-\sqrt{3}) [ (2x+2\sqrt{3}) - \sqrt{3} ] = (x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3})

2) احسب A إذا كان \( x=1/2 \).

نعوض \( x = 1/2 \) في الصيغة المبسطة لـ A:

A = \left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)\left(2\left(\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}\right) \) \( = \left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)(1+\sqrt{3}) \) \( = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 \) \( = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{1-6}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-5-\sqrt{3}}{2}