تصحيح التمارين - التبسيط والمعادلات

التمرين رقم 2

1) أحسب: \( a = 5 - \left[4 - \left(1 - \frac{3}{7}\right) + \sqrt{2}\right] \)

حساب القوس الداخلي: \( 1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \)

حساب القوس المربع: \( 4 - \frac{4}{7} + \sqrt{2} = \frac{28-4}{7} + \sqrt{2} = \frac{24}{7} + \sqrt{2} \)

حساب a: \( a = 5 - (\frac{24}{7} + \sqrt{2}) = \frac{35}{7} - \frac{24}{7} - \sqrt{2} = \frac{11}{7} - \sqrt{2} \)

2) اختصر b و c

\( b = \left(\frac{1}{2} + \frac{7}{3}\right) - \left[2 - (x - 1) + \frac{1}{6}\right] \)
\( c = -\sqrt{2} - (1 - y) - \left[-5 + \left(-\frac{1}{7} + 3\right)\right] \)

اختصار b

القوس الأول: \( \frac{1}{2} + \frac{7}{3} = \frac{3+14}{6} = \frac{17}{6} \)

القوس المربع: \( [2 - x + 1 + \frac{1}{6}] = [3 - x + \frac{1}{6}] = [\frac{18+1}{6} - x] = [\frac{19}{6} - x] \)

حساب b: \( b = \frac{17}{6} - (\frac{19}{6} - x) = \frac{17-19}{6} + x = -\frac{2}{6} + x = x - \frac{1}{3} \)

اختصار c

القوس الداخلي: \( -\frac{1}{7} + 3 = \frac{-1+21}{7} = \frac{20}{7} \)

القوس المربع: \( [-5 + \frac{20}{7}] = [\frac{-35+20}{7}] = -\frac{15}{7} \)

حساب c: \( c = -\sqrt{2} - 1 + y - (-\frac{15}{7}) = y - 1 + \frac{15}{7} - \sqrt{2} = y + \frac{-7+15}{7} - \sqrt{2} = y + \frac{8}{7} - \sqrt{2} \)

3) ابحث عن x و y بحيث: أ) \( a=b \) ب) \( a=c \)

أ) حل المعادلة \( a=b \):

\frac{11}{7} - \sqrt{2} = x - \frac{1}{3} \)\( x = \frac{11}{7} + \frac{1}{3} - \sqrt{2} = \frac{33+7}{21} - \sqrt{2} = \frac{40}{21} - \sqrt{2}

ب) حل المعادلة \( a=c \):

\frac{11}{7} - \sqrt{2} = y + \frac{8}{7} - \sqrt{2} \) \( \frac{11}{7} = y + \frac{8}{7} \) \( y = \frac{11}{7} - \frac{8}{7} = \frac{3}{7}

4) اختصر x و y ثم بيّن أنهما مقلوبان

\( x = \sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{8}) - 2(\sqrt{3}+1) - \frac{\sqrt{27}+\sqrt{12}}{\sqrt{25}} \)
\( y = 2\sqrt{3}.\sqrt{27} - \sqrt{32}.\sqrt{8} + \sqrt{3} \)

اختصار x:

x = (\sqrt{12} + \sqrt{16}) - 2\sqrt{3} - 2 - \frac{3\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{5} \) \( x = (2\sqrt{3} + 4) - 2\sqrt{3} - 2 - \frac{5\sqrt{3}}{5} \) \( x = 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = (4-2) + (2\sqrt{3}-2\sqrt{3}) - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}

اختصار y:

y = 2\sqrt{81} - \sqrt{256} + \sqrt{3} = 2(9) - 16 + \sqrt{3} = 18 - 16 + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}

بيّن أنهما مقلوبان:

\( x \times y = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \).الجداء يساوي 1، إذن هما مقلوبان.

التمرين رقم 3

المعطيات الأولية:

\( E = 9 + 3x - 2x^2 \)

1) أحسب E إذا علمت أن \( x = \sqrt{2}-3 \)

حساب \( x^2 \): \( x^2 = (\sqrt{2}-3)^2 = 2 - 6\sqrt{2} + 9 = 11 - 6\sqrt{2} \).

التعويض في E: \( E = 9 + 3(\sqrt{2}-3) - 2(11 - 6\sqrt{2}) \)

= 9 + 3\sqrt{2} - 9 - 22 + 12\sqrt{2} \) \( = (9-9-22) + (3\sqrt{2}+12\sqrt{2}) = -22 + 15\sqrt{2}

ملاحظة: السؤال التالي يعيد تعريف العبارة E. سنعتبرها عبارة جديدة لبقية التمرين.

\( E = (2x+3)(x-4) - (2x-7)(2x+3) \)

2) أ) أكتب العبارة E في صيغة جداء.

نأخذ \( (2x+3) \) كعامل مشترك:

E = (2x+3) \left[ (x-4) - (2x-7) \right] \) \( = (2x+3) [x-4-2x+7] \) \( = (2x+3) (-x+3) = (2x+3)(3-x)

2) ب) أوجد x بحيث يكون E هي مقابل 4x+6.

المعادلة هي \( E = -(4x+6) \). ننشر E أولاً: \( E = -2x^2+3x+9 \).

-2x^2+3x+9 = -4x-6 \) \( -2x^2+7x+15 = 0

هذه معادلة من الدرجة الثانية. نستخدم المميز \( \Delta = b^2-4ac \):

\( \Delta = 7^2 - 4(-2)(15) = 49 + 120 = 169 = 13^2 \). \( x_1 = \frac{-7-13}{-4} = 5 \). \( x_2 = \frac{-7+13}{-4} = -\frac{3}{2} \).