الشرح المفصل

لنعرف العلاقة بين النقطتين M و N، يجب أن نبسط إحداثيات النقطة N.

1. فاصلة N (الأفصول):
   \( x_N = \frac{1}{2(\sqrt{5}+2)} \)
   نضرب البسط والمقام في مرافق \( \sqrt{5}+2 \) وهو \( \sqrt{5}-2 \):
   \( x_N = \frac{1 \times (\sqrt{5}-2)}{2(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{\sqrt{5}-2}{2((\sqrt{5})^2 - 2^2)} = \frac{\sqrt{5}-2}{2(5-4)} = \frac{\sqrt{5}-2}{2} \)
2. ترتيب N (الأرتوب):
   \( y_N = \frac{1}{\sqrt{3}-2} \)
   نضرب البسط والمقام في مرافق \( \sqrt{3}-2 \) وهو \( \sqrt{3}+2 \):
   \( y_N = \frac{1 \times (\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{3}+2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}+2}{-1} = -\sqrt{3}-2 \)

إذن، إحداثيات النقطتين هي: \( M \left( \frac{2-\sqrt{5}}{2} ; \frac{1+\sqrt{3}}{2} \right) \) و \( N \left( \frac{\sqrt{5}-2}{2} ; -\sqrt{3}-2 \right) \).

مقارنة الإحداثيات:

• \( x_M = \frac{2-\sqrt{5}}{2} \) و \( x_N = \frac{\sqrt{5}-2}{2} \). نلاحظ أن \( x_M = -x_N \).
• \( y_M = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \) و \( y_N = -\sqrt{3}-2 \). لا توجد علاقة تناظر واضحة بين \(y_M\) و \(y_N\).

الشرح المفصل

لحساب \( a^2 \), نربع العبارة المعطاة:

\( a^2 = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{(\sqrt{2})^2} \)

نستخدم المتطابقة الهامة \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) في البسط:

\( a^2 = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(1) + 1^2}{2} = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{2} \)

نجمع الحدود في البسط:

\( a^2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} \)

نأخذ 2 كعامل مشترك من البسط ونختزل:

\( a^2 = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{2} = 3 - \sqrt{5} \)

إذن الإجابة الصحيحة هي \( a^2 = 3-\sqrt{5} \).

الشرح المفصل

حساب b:

1. نفكك الجداء:
   \( (1-\sqrt{3})(5+\sqrt{3}) = 1(5) + 1(\sqrt{3}) - \sqrt{3}(5) - \sqrt{3}(\sqrt{3}) \)
   \( = 5 + \sqrt{3} - 5\sqrt{3} - 3 = 2 - 4\sqrt{3} \)
2. نبسط الجذر:
   \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)
3. نجمع النتائج:
   \( b = (2 - 4\sqrt{3}) + 5\sqrt{3} = 2 + (5\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} \). (النتيجة صحيحة)

التحقق من a:

بما أن السؤال التالي يطلب إثبات أن a و b مقلوبان، فمن المفترض أن تكون \( a = 2-\sqrt{3} \). سنقبل هذه القيمة ونستخدمها في بقية التمرين.

الشرح المفصل

أ) إثبات أن a و b مقلوبان:

نحسب \( a \times b \):

\( a \times b = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) \)

باستخدام المتطابقة الهامة \( (x-y)(x+y)=x^2-y^2 \):

\( a \times b = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \)

بما أن حاصل ضربهما يساوي 1، فإن a و b مقلوبان.

ب) حساب العبارة:

العبارة هي \( |a|-(a-1)-|a| \). نلاحظ أن \( |a| \) و \( -|a| \) يلغيان بعضهما البعض.

\( |a|-(a-1)-|a| = ( |a| - |a| ) - (a-1) = 0 - (a-1) = -(a-1) = 1-a \)

نعوض بقيمة a:

\( 1-a = 1 - (2-\sqrt{3}) = 1 - 2 + \sqrt{3} = \sqrt{3}-1 \)

الشرح المفصل

هذا السؤال يتطلب استخدام طريقة لتبسيط "الجذور المزدوجة".

1. حساب \( \sqrt{a} = \sqrt{2-\sqrt{3}} \):
   نستخدم القاعدة: \( \sqrt{X \pm \sqrt{Y}} = \sqrt{\frac{X+\sqrt{X^2-Y}}{2}} \pm \sqrt{\frac{X-\sqrt{X^2-Y}}{2}} \)
   هنا \(X=2, Y=3\). \(X^2-Y = 4-3=1\).
   \( \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} \)
2. حساب \( \sqrt{b} = \sqrt{2+\sqrt{3}} \):
   \( \sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} + \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \)
3. جمع النتائج:
   \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
4. تبسيط النتيجة النهائية:
   \( \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6} \). وهو المطلوب.

الشرح المفصل

لحساب c، نقوم أولاً بتوحيد المقامات:

\( c = \frac{1(1+\sqrt{b})}{(1+\sqrt{a})(1+\sqrt{b})} + \frac{1(1+\sqrt{a})}{(1+\sqrt{b})(1+\sqrt{a})} \)

\( c = \frac{(1+\sqrt{b}) + (1+\sqrt{a})}{(1+\sqrt{a})(1+\sqrt{b})} = \frac{2+\sqrt{a}+\sqrt{b}}{1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}} \)

من الأسئلة السابقة، نعلم أن:

• \( \sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{6} \) (من السؤال 3)
• \( a \times b = 1 \), إذن \( \sqrt{ab} = \sqrt{1} = 1 \) (من السؤال 2)

نعوض هذه القيم في عبارة c:

\( c = \frac{2 + (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{1 + (\sqrt{a}+\sqrt{b}) + \sqrt{ab}} = \frac{2 + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{6} + 1} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} \)

بما أن البسط والمقام متساويان، فإن قيمة الكسر هي 1.

إذن، \( c = 1 \).

الشرح المفصل

نعوض \( x = -2 \) في العبارة E:

\( E = (2(-2)+3\sqrt{3})(-2+2) - (-2)\sqrt{3} - \sqrt{12} \)

نلاحظ أن القوس الثاني \( (-2+2) \) يساوي 0. عندما نضرب أي عدد في صفر، تكون النتيجة صفر. إذن، الجزء الأول من العبارة يصبح صفراً.

\( E = ( ... )(0) - (-2)\sqrt{3} - \sqrt{12} \)

\( E = 0 + 2\sqrt{3} - \sqrt{12} \)

نبسط \( \sqrt{12} \): \( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \).

\( E = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0 \)

إذن، عندما \( x = -2 \)، فإن \( E = 0 \).

الشرح المفصل

نبدأ بالعبارة الأصلية: \( E = (2x+3\sqrt{3})(x+2) - x\sqrt{3} - \sqrt{12} \).

1. تبسيط الجزء الثاني:
   \( -x\sqrt{3} - \sqrt{12} = -x\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \).
2. إخراج عامل مشترك من الجزء الثاني:
   نأخذ \( -\sqrt{3} \) كعامل مشترك: \( -\sqrt{3}(x+2) \).
3. إعادة كتابة E:
   \( E = (2x+3\sqrt{3})(x+2) - \sqrt{3}(x+2) \).
4. إخراج العامل المشترك الأكبر:
   نلاحظ أن \( (x+2) \) موجود في كلا الحدين. نأخذه كعامل مشترك.
   مثال:

   \( A \cdot B - C \cdot B = B(A-C) \)

   \( E = (x+2) \left[ (2x+3\sqrt{3}) - \sqrt{3} \right] \).
5. تبسيط القوس الثاني:
   \( E = (x+2) (2x + 3\sqrt{3} - \sqrt{3}) = (x+2) (2x + 2\sqrt{3}) \).
6. تبسيط إضافي:
   في القوس الثاني \( (2x + 2\sqrt{3}) \)، يمكننا أخذ 2 كعامل مشترك: \( 2(x + \sqrt{3}) \).
7. الشكل النهائي للتفكيك:
   \( E = (x+2) \times 2(x + \sqrt{3}) = 2(x+2)(x+\sqrt{3}) \).

الشرح المفصل

لحل المعادلة \( E=0 \)، نستخدم الصيغة المفككة من السؤال السابق لأنها أسهل:

\( 2(x+2)(x+\sqrt{3}) = 0 \)

لكي يكون جداء عوامل يساوي صفراً، يجب أن يكون أحد هذه العوامل على الأقل يساوي صفراً.

بما أن \( 2 \neq 0 \)، فإن الحل يأتي من القوسين:

• الحالة الأولى: \( x+2 = 0 \)
  \( x = -2 \)
• الحالة الثانية: \( x+\sqrt{3} = 0 \)
  \( x = -\sqrt{3} \)

إذن، قيم x التي تجعل E=0 هي \( -2 \) و \( -\sqrt{3} \).