تصحيح التمارين

تحليل إحداثيات M: بما أن \( a < 0 \)، فإن \( -a > 0 \). إذن \( \sqrt{3}-a \) هو مجموع عددين موجبين، فهو موجب.
الفاصلة: \( x_M = |\sqrt{3}-a| = \sqrt{3}-a \). الترتيب: \( y_M = a \).
إذن، \( M(\sqrt{3}-a, a) \).

تحليل إحداثيات N: بما أن \( a < 0 \)، فإن \( |a| = -a \).
الفاصلة: \( x_N = \sqrt{3}-a \). الترتيب: \( y_N = -|a| = -(-a) = a \).
إذن، \( N(\sqrt{3}-a, a) \).

الاستنتاج:

مقلوب العدد \( \sqrt{5}-1 \) هو \( \frac{1}{\sqrt{5}-1} \).

الإجابة (ج) هي \( \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{16}} \). بما أن \( \sqrt{16}=4 \)، فهي الإجابة الصحيحة.

\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \).
العبارة تصبح: \( 4\sqrt{2} - 6 = 2(2\sqrt{2} - 3) \).

نعوض \( \sqrt{32} - 6 \) في a: \( a = 2(2\sqrt{2} - 3) + (2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) \).

نلاحظ أن \( 2\sqrt{2} - 3 = -(3 - 2\sqrt{2}) \), إذن \( a = -2(3 - 2\sqrt{2}) + (2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) \).

نأخذ \( (3 - 2\sqrt{2}) \) كعامل مشترك:

حساب a: \( a = (3 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = -3\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2 = -3\sqrt{2} + 4 \).

حساب b: \( b = \sqrt{49 \times 2} - 2\sqrt{25 \times 2} - 4 = 7\sqrt{2} - 2(5\sqrt{2}) - 4 = 7\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 4 = -3\sqrt{2} - 4 \).

نحسب الجداء \( a \times \frac{b}{2} \):

بما أن الجداء يساوي 1، فهما مقلوبان.

\( 2x(3\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}x + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(3x+1) \).

نعوض في A: \( A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(3x+1) \).

نأخذ \( (3x+1) \) كعامل مشترك: \( A = (3x+1)[(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}] = (3x+1)(2x - 3\sqrt{2}) \).

نأخذ \( \sqrt{2} \) كعامل مشترك من القوس الثاني: \( (2x - 3\sqrt{2}) = \sqrt{2}(x\sqrt{2} - 3) \).

إذن \( A = (3x+1)\sqrt{2}(x\sqrt{2}-3) \).