شرح مفصل للحل

حساب a:

1. تبسيط الجذور: الهدف هو كتابة كل جذر على شكل \( k\sqrt{2} \) إن أمكن.
   • \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
   • \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
   • \( \sqrt{9} = 3 \)
2. التعويض في العبارة a:
   \( a = 5(2\sqrt{2}) - 2(6\sqrt{2}) + 3 \)
3. القيام بالحسابات:
   \( a = 10\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 3 \)
   نجمع الحدود التي تحتوي على \( \sqrt{2} \):
   \( a = (10 - 12)\sqrt{2} + 3 \)
   \( a = -2\sqrt{2} + 3 \)
   وهو ما يمكن كتابته بالشكل \( a = 3 - 2\sqrt{2} \).

حساب b:

1. توزيع ونشر العبارات: يجب أن نفكك الأقواس.
   • العبارة الأولى: \( \sqrt{2}(2\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \times 1 = 2(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = 2 \times 2 + \sqrt{2} = 4 + \sqrt{2} \)
   • العبارة الثانية: \( (\sqrt{2} - 2)(1 + \sqrt{2}) \). نستخدم التوزيع:
     \( (\sqrt{2} \times 1) + (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + (-2 \times 1) + (-2 \times \sqrt{2}) \)
     \( = \sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2} \)
2. التعويض في العبارة b:
   \( b = -1 + (4 + \sqrt{2}) - (-\sqrt{2}) \)
3. القيام بالحسابات:
   \( b = -1 + 4 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \)
   نجمع الأعداد الصحيحة مع بعضها والجذور مع بعضها:
   \( b = (-1 + 4) + (\sqrt{2} + \sqrt{2}) \)
   \( b = 3 + 2\sqrt{2} \)

شرح مفصل للحل

حساب \( a \times b \):

لدينا \( a = 3 - 2\sqrt{2} \) و \( b = 3 + 2\sqrt{2} \).

نلاحظ أن هذه العبارة على شكل المتطابقة الهامة \( (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 \), حيث \( x=3 \) و \( y=2\sqrt{2} \).

بتطبيق القاعدة:

\( a \times b = (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = (3)^2 - (2\sqrt{2})^2 \)
\( a \times b = 9 - (2^2 \times (\sqrt{2})^2) = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1 \)

إذن، \( a \times b = 1 \).

استنتاج \( |a| \):

القيمة المطلقة لعدد ما، \( |x| \), هي قيمته بدون إشارة. إذا كان العدد موجبًا، فالقيمة المطلقة هي العدد نفسه. إذا كان سالبًا، نأخذ مقابله.

علينا تحديد إشارة العدد \( a = 3 - 2\sqrt{2} \).

لمقارنة 3 و \( 2\sqrt{2} \), يمكننا مقارنة مربعيهما:

• \( (3)^2 = 9 \)
• \( (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 \)

بما أن \( 9 > 8 \)، فإن \( 3 > 2\sqrt{2} \). هذا يعني أن \( 3 - 2\sqrt{2} \) هو عدد موجب.

لأن \( a \) موجب، فإن قيمته المطلقة هي العدد نفسه.

\( |a| = |3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2} \).

شرح مفصل للحل

من الأسئلة السابقة، لدينا:

• \( a = 3 - 2\sqrt{2} \)
• \( b = 3 + 2\sqrt{2} \)
• \( a \times b = 1 \), مما يعني أن a و b مقلوبان لبعضهما. أي أن \( \frac{1}{a} = b \) و \( \frac{1}{b} = a \).

لننظر إلى العبارة c:

\( c = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}(3\sqrt{2} - 1) - 3(3 + 2\sqrt{2}) \)

نلاحظ أن \( \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \) هي نفسها \( \frac{1}{a} \), والتي تساوي \( b \).

إذن يمكننا تعويض \( \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \) بالعبارة \( b = 3 + 2\sqrt{2} \).

\( c = (3 + 2\sqrt{2})(3\sqrt{2} - 1) - 3(3 + 2\sqrt{2}) \)

1. حساب الجزء الأول \( (3 + 2\sqrt{2})(3\sqrt{2} - 1) \):
   باستخدام التوزيع:
   \( = 3(3\sqrt{2}) + 3(-1) + 2\sqrt{2}(3\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}(-1) \)
   \( = 9\sqrt{2} - 3 + 6(2) - 2\sqrt{2} \)
   \( = 9\sqrt{2} - 3 + 12 - 2\sqrt{2} \)
   \( = (9\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (-3 + 12) = 7\sqrt{2} + 9 \)
2. حساب الجزء الثاني \( -3(3 + 2\sqrt{2}) \):
   \( = -3 \times 3 - 3 \times 2\sqrt{2} = -9 - 6\sqrt{2} \)
3. تجميع النتائج:
   \( c = (7\sqrt{2} + 9) + (-9 - 6\sqrt{2}) \)
   \( c = 7\sqrt{2} + 9 - 9 - 6\sqrt{2} \)
   \( c = (7\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) + (9 - 9) = \sqrt{2} \)

إذن، \( c = \sqrt{2} \).

شرح مفصل للحل

العبارة هي \( e = \left| \frac{2}{b} (b + \frac{1}{a}) \right| \).

من السؤال 2-أ، نعلم أن \( a \times b = 1 \). هذا يعني أن \( \frac{1}{a} = b \).

سنقوم بالتعويض بقيمة \( \frac{1}{a} \) داخل العبارة e:

\( e = \left| \frac{2}{b} (b + b) \right| \)
\( e = \left| \frac{2}{b} (2b) \right| \)

الآن يمكننا تبسيط ما بداخل القيمة المطلقة:

\( \frac{2}{b} \times (2b) = \frac{4b}{b} = 4 \)

إذن، العبارة تصبح:

\( e = |4| \)

والقيمة المطلقة للعدد 4 هي 4.

\( e = 4 \)

العدد 4 هو عدد صحيح طبيعي. (الأعداد الصحيحة الطبيعية هي 0, 1, 2, 3, ...).

شرح مفصل للحل

لحل هذه المعادلة، سنقوم أولاً بتبسيط المعاملات باستخدام قيم a و b.

لدينا \( a = 3 - 2\sqrt{2} \) و \( b = 3 + 2\sqrt{2} \).

1. تبسيط المعامل الأول \( (a + 4\sqrt{2}) \):
   \( a + 4\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} \)
   نلاحظ أن هذا يساوي \( b \).
2. إعادة كتابة المعادلة:
   بما أن \( a + 4\sqrt{2} = b \), تصبح المعادلة:
   \( bx^2 - bx(1 - 3x) = 0 \)
3. حل المعادلة:
   نرى أن \( bx \) هو عامل مشترك في كلا الحدين. يمكننا أخذه كعامل مشترك.
   \( bx [x - (1 - 3x)] = 0 \)
   \( bx [x - 1 + 3x] = 0 \)
   \( bx [4x - 1] = 0 \)

لدينا جداء ثلاثة عوامل يساوي صفر: \( b \times x \times (4x - 1) = 0 \).

نعلم أن \( b = 3 + 2\sqrt{2} \neq 0 \). لذا، لكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن يكون أحد العاملين الآخرين يساوي صفرًا.

• الحالة الأولى: \( x = 0 \)
• الحالة الثانية: \( 4x - 1 = 0 \)
  \( 4x = 1 \)
  \( x = \frac{1}{4} \)

إذن، الحلان هما \( x = 0 \) و \( x = \frac{1}{4} \).

شرح مفصل للحل

سنقوم بتعويض قيمة \( x = -\frac{7}{5} \) في العبارة F.

\( F = (5x + 7)(x + 3) - 2x - 6 \)

لنحسب قيمة القوس الأول \( (5x + 7) \) عندما \( x = -\frac{7}{5} \):

\( 5(-\frac{7}{5}) + 7 = -7 + 7 = 0 \)

بما أن القوس الأول يساوي صفر، فإن حاصل ضربه في القوس الثاني \( (x+3) \) سيكون صفرًا أيضًا.

\( (5x + 7)(x + 3) = 0 \times (-\frac{7}{5} + 3) = 0 \)

الآن نعوض هذا في العبارة F:

\( F = 0 - 2x - 6 \)

نعوض بقيمة x مرة أخرى:

\( F = -2(-\frac{7}{5}) - 6 \)
\( F = \frac{14}{5} - 6 \)

لتوحيد المقامات، نكتب 6 على شكل كسر مقامه 5: \( 6 = \frac{30}{5} \).

\( F = \frac{14}{5} - \frac{30}{5} = \frac{14 - 30}{5} = -\frac{16}{5} \)

إذن، عندما \( x = -\frac{7}{5} \)، فإن \( F = -\frac{16}{5} \).

شرح مفصل للحل

سننطلق من العبارة الأصلية لـ F ونحاول الوصول إلى الشكل المطلوب من خلال التحليل (التفكيك إلى جداء عوامل).

\( F = (5x + 7)(x + 3) - 2x - 6 \)

1. البحث عن عامل مشترك: نلاحظ أن الحدين الأخيرين \( -2x - 6 \) يمكن تحليلها. يمكننا إخراج -2 كعامل مشترك.
   \( -2x - 6 = -2(x + 3) \)
2. إعادة كتابة F:
   \( F = (5x + 7)(x + 3) - 2(x + 3) \)
3. إخراج العامل المشترك الجديد: نلاحظ أن \( (x + 3) \) موجود في كلا الحدين. يمكننا أخذه كعامل مشترك.
   \( F = (x + 3) [ (5x + 7) - 2 ] \)
4. تبسيط القوس الثاني:
   \( F = (x + 3) (5x + 7 - 2) \)
   \( F = (x + 3) (5x + 5) \)
5. التحليل النهائي: في القوس \( (5x + 5) \)، يمكننا إخراج 5 كعامل مشترك.
   \( 5x + 5 = 5(x + 1) \)

بالتعويض، نحصل على:

\( F = (x + 3) \times 5(x + 1) \)

وبترتيب العوامل، نصل إلى الشكل المطلوب:

\( F = 5(x + 1)(x + 3) \)

شرح مفصل للحل

سوف نستخدم الصيغة المحللة لـ F من السؤال السابق: \( F = 5(x + 1)(x + 3) \).

أ) حل المعادلة \( F = 0 \):

\( 5(x + 1)(x + 3) = 0 \)

لكي يكون جداء العوامل صفرًا، يجب أن يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. بما أن \( 5 \neq 0 \), فإن:

إما \( x + 1 = 0 \) => \( x = -1 \)

أو \( x + 3 = 0 \) => \( x = -3 \)

إذن، الحلان هما \( x = -1 \) و \( x = -3 \).

ب) F و \( (2x + 6) \) متقابلان:

هذا يعني أن \( F + (2x + 6) = 0 \), أو \( F = -(2x + 6) \).

لنحل المعادلة \( F = -(2x + 6) \).

\( 5(x + 1)(x + 3) = - (2x + 6) \)

نحلل الطرف الأيمن: \( -(2x + 6) = -2(x + 3) \).

\( 5(x + 1)(x + 3) = -2(x + 3) \)

ننقل كل الحدود إلى طرف واحد لنجعل المعادلة تساوي صفرًا.

\( 5(x + 1)(x + 3) + 2(x + 3) = 0 \)

نأخذ \( (x + 3) \) كعامل مشترك:

\( (x + 3) [ 5(x + 1) + 2 ] = 0 \)

نبسط ما بداخل القوس المربع:

\( (x + 3) [ 5x + 5 + 2 ] = 0 \)

\( (x + 3) (5x + 7) = 0 \)

لدينا حالتان:

إما \( x + 3 = 0 \) => \( x = -3 \)

أو \( 5x + 7 = 0 \) => \( 5x = -7 \) => \( x = -\frac{7}{5} \)

إذن، الحلان هما \( x = -3 \) و \( x = -\frac{7}{5} \).

ج) حل المعادلة \( \sqrt{(x + 1)^2} = \pi - 3 \):

هذه المعادلة لا تعتمد على العبارة F.

نعلم أن \( \sqrt{A^2} = |A| \) (القيمة المطلقة لـ A).

إذن، المعادلة تصبح \( |x + 1| = \pi - 3 \).

علينا معرفة إشارة الطرف الأيمن \( \pi - 3 \).

نعلم أن قيمة \( \pi \approx 3.14159 \). بما أن \( \pi > 3 \)، فإن \( \pi - 3 \) هو عدد موجب.

عندما تكون \( |Y| = k \) حيث k عدد موجب, فإن الحل هو \( Y = k \) أو \( Y = -k \).

إذن، لدينا حالتان:

الحالة الأولى: \( x + 1 = \pi - 3 \)
\( x = \pi - 3 - 1 \)
\( x = \pi - 4 \)

الحالة الثانية: \( x + 1 = -(\pi - 3) \)
\( x + 1 = -\pi + 3 \)
\( x = -\pi + 3 - 1 \)
\( x = 2 - \pi \)

إذن، الحلان هما \( x = \pi - 4 \) و \( x = 2 - \pi \).