التمرين رقم 2

شرح مفصل للحل

حساب E:

لتبسيط العبارة E، نقوم بالخطوات التالية:

1. توزيع \( \sqrt{3} \) على القوس:
   \( E = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \times 2 + \frac{3}{2} + \sqrt{8} \)
   \( E = 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} + \sqrt{8} \)
2. تبسيط \( \sqrt{8} \) وجمع الحدود المتشابهة:
   نعلم أن \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \).
   \( E = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}) + 2\sqrt{2} \)
   \( E = 0 + \frac{6}{2} + 2\sqrt{2} \)
   \( E = 3 + 2\sqrt{2} \)

حساب F:

لتبسيط العبارة F، نتبع الخطوات التالية:

1. تبسيط الجذور في البسط:
   \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
   \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)
   يصبح البسط: \( 3 - 3\sqrt{2} + \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 2) \)
2. توزيع \( \sqrt{2} \) على القوس في البسط:
   \( 3 - 3\sqrt{2} + (\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}) - (\sqrt{2} \times 2) \)
   \( 3 - 3\sqrt{2} + 2 \times 2 - 2\sqrt{2} = 3 - 3\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{2} \)
   نجمع الحدود المتشابهة في البسط: \( (3+4) + (-3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 7 - 5\sqrt{2} \)
3. العبارة F تصبح:
   \( F = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \)
4. ضرب البسط والمقام في مرافق المقام:
   مرافق \( 1 - \sqrt{2} \) هو \( 1 + \sqrt{2} \). نضرب لنتخلص من الجذر في المقام.
   \( F = \frac{(7 - 5\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} \)
   حساب البسط: \( (7 - 5\sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 7 + 7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 5(\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{2} - 5(2) = 7 + 2\sqrt{2} - 10 = -3 + 2\sqrt{2} \)
   حساب المقام: (باستخدام المتطابقة الهامة (a-b)(a+b) = a² - b²): \( (1)^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 \)
   \( F = \frac{-3 + 2\sqrt{2}}{-1} = 3 - 2\sqrt{2} \)

شرح مفصل للحل

لإثبات أن عددًا هو مقلوب عدد آخر، يجب أن يكون حاصل ضربهما يساوي 1.

سنحسب حاصل ضرب E في F:

\( E \times F = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) \)

نلاحظ أن هذه العبارة على شكل المتطابقة الهامة \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)، حيث \( a=3 \) و \( b=2\sqrt{2} \).

\( E \times F = (3)^2 - (2\sqrt{2})^2 \)
\( E \times F = 9 - (2^2 \times (\sqrt{2})^2) \)
\( E \times F = 9 - (4 \times 2) \)
\( E \times F = 9 - 8 = 1 \)

بما أن \( E \times F = 1 \)، فإن E هو مقلوب F.

شرح مفصل للحل

من السؤال السابق، نعلم أن E هو مقلوب F، وهذا يعني أن:

\( E = \frac{1}{F} \) وأيضاً \( F = \frac{1}{E} \)

يمكننا استخدام هذه المعلومة لتبسيط العبارة المطلوبة. نقوم بالتعويض:

• \( \frac{3}{F} = 3 \times \frac{1}{F} = 3E \)
• \( \frac{4}{E} = 4 \times \frac{1}{E} = 4F \)

إذن، العبارة تصبح:

\( \frac{3}{F} - \frac{4}{E} = 3E - 4F \)

الآن نعوض بقيم E و F التي وجدناها في السؤال الأول:

\( 3(3 + 2\sqrt{2}) - 4(3 - 2\sqrt{2}) \)

نقوم بالتوزيع:

\( (3 \times 3 + 3 \times 2\sqrt{2}) - (4 \times 3 - 4 \times 2\sqrt{2}) \)
\( (9 + 6\sqrt{2}) - (12 - 8\sqrt{2}) \)

نزيل الأقواس مع الانتباه لتغيير الإشارات:

\( 9 + 6\sqrt{2} - 12 + 8\sqrt{2} \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\( (9 - 12) + (6\sqrt{2} + 8\sqrt{2}) \)
\( -3 + 14\sqrt{2} \)

إذن، الاختصار هو \( -3 + 14\sqrt{2} \).

شرح مفصل للحل

الحالة 1: \( \sqrt{x^2 + 5} = 2 \)

لحل هذه المعادلة، نتبع الخطوات التالية:

1. تربيع طرفي المعادلة للتخلص من الجذر:. \( (\sqrt{x^2 + 5})^2 = 2^2 \)
   \( x^2 + 5 = 4 \)
2. حل المعادلة الناتجة:
   \( x^2 = 4 - 5 \)
   \( x^2 = -1 \)

نعلم أن مربع أي عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا. بما أن \( x^2 = -1 \)، فلا يوجد حل حقيقي لهذه المعادلة.

طريقة أخرى للتفكير: بما أن \( x^2 \ge 0 \)، فإن \( x^2 + 5 \ge 5 \). وبالتالي \( \sqrt{x^2 + 5} \ge \sqrt{5} \). وبما أن \( \sqrt{5} \approx 2.23 \)، فإن \( \sqrt{x^2 + 5} \) لا يمكن أن يساوي 2 أبدًا. إذن مجموعة الحلول فارغة.

الحالة 2: \( |2x + 1| = |x - 2| \)

معادلة القيمة المطلقة \( |A| = |B| \) تعني أن \( A = B \) أو \( A = -B \).

سنحل الحالتين:

1. الحالة الأولى: \( 2x + 1 = x - 2 \)
   \( 2x - x = -2 - 1 \)
   \( x = -3 \)
2. الحالة الثانية: \( 2x + 1 = -(x - 2) \)
   \( 2x + 1 = -x + 2 \)
   \( 2x + x = 2 - 1 \)
   \( 3x = 1 \)
   \( x = \frac{1}{3} \)

إذن، يوجد حلان للمعادلة: \( x = -3 \) و \( x = \frac{1}{3} \).

شرح مفصل للحل

نعلم أن "a هو مقلوب b" يعني أن حاصل ضربهما يساوي 1.

\( a \times b = 1 \)

نعوض بقيم a و b في المعادلة:

\( (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = 1 \)

نلاحظ أن الطرف الأيسر هو على شكل المتطابقة الهامة \( (u+v)(u-v) = u^2 - v^2 \)، حيث \( u = \sqrt{x} \) و \( v = 1 \).

بتطبيق المتطابقة:

\( (\sqrt{x})^2 - (1)^2 = 1 \)
\( x - 1 = 1 \)

الآن نحل لإيجاد x:

\( x = 1 + 1 \)
\( x = 2 \)

المسألة تشترط أن يكون x عددًا حقيقيًا موجبًا. الحل الذي وجدناه \( x=2 \) يحقق هذا الشرط. إذن، الحل الصحيح هو \( x=2 \).