المعطيات:
\( E = 2\sqrt{3} + \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - 2) + \frac{3}{2} + \sqrt{8} \)
\( F = \frac{3 - \sqrt{18} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - 2)}{1 - \sqrt{2}} \)
السؤال 1
بيّن أن: \( E = 3 + 2\sqrt{2} \) و \( F = 3 - 2\sqrt{2} \).
التصحيح المفصل:
حساب E:
نبدأ بنشر العبارة: \[ E = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \times 2 + \frac{3}{2} + \sqrt{8} \] \[ E = 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} + \sqrt{8} \]
نبدأ بنشر العبارة: \[ E = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \times 2 + \frac{3}{2} + \sqrt{8} \] \[ E = 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{3} + \frac{3}{2} + \sqrt{8} \]
نبسط \( \sqrt{8} \) ونجمع الحدود المتشابهة:
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)
\[ E = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}) + 2\sqrt{2} \] \[ E = 0 + \frac{6}{2} + 2\sqrt{2} \] \[ E = 3 + 2\sqrt{2} \]
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)
\[ E = (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}) + 2\sqrt{2} \] \[ E = 0 + \frac{6}{2} + 2\sqrt{2} \] \[ E = 3 + 2\sqrt{2} \]
حساب F:
نبسط الجذور في البسط: \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) و \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
\[ F = \frac{3 - 3\sqrt{2} + \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 2)}{1 - \sqrt{2}} \] ننشر ما بداخل البسط: \[ F = \frac{3 - 3\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \]
نبسط الجذور في البسط: \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \) و \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
\[ F = \frac{3 - 3\sqrt{2} + \sqrt{2}(2\sqrt{2} - 2)}{1 - \sqrt{2}} \] ننشر ما بداخل البسط: \[ F = \frac{3 - 3\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{7 - 5\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \]
نضرب في مرافق المقام \( (1 + \sqrt{2}) \):
\[ F = \frac{(7 - 5\sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} \]
البسط: \( 7 + 7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 10 = -3 + 2\sqrt{2} \)
المقام: \( 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 \)
\[ F = \frac{-3 + 2\sqrt{2}}{-1} = 3 - 2\sqrt{2} \]
المقام: \( 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1 \)
\[ F = \frac{-3 + 2\sqrt{2}}{-1} = 3 - 2\sqrt{2} \]
السؤال 2
بيّن أن E هو مقلوب F.
التصحيح المفصل:
لإثبات أن E هو مقلوب F، يجب أن يكون حاصل ضربهما يساوي 1.
\[ E \times F = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) \]
نستخدم المتطابقة الهامة \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):
\[ E \times F = (3)^2 - (2\sqrt{2})^2 \]
\[ E \times F = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1 \]
بما أن \( E \times F = 1 \)، فإن E هو مقلوب F.
السؤال 3
استنتج اختصاراً للعدد: \( \frac{3}{F} - \frac{4}{E} \)
التصحيح المفصل:
بما أن E هو مقلوب F، فإن \( E = \frac{1}{F} \) و \( F = \frac{1}{E} \).
نعوض في العبارة:
\[ \frac{3}{F} - \frac{4}{E} = 3 \times (\frac{1}{F}) - 4 \times (\frac{1}{E}) = 3E - 4F \]
نعوض بقيم E و F:
\[ 3(3 + 2\sqrt{2}) - 4(3 - 2\sqrt{2}) \]
\[ = (9 + 6\sqrt{2}) - (12 - 8\sqrt{2}) \]
\[ = 9 + 6\sqrt{2} - 12 + 8\sqrt{2} \]
نجمع الحدود المتشابهة:
\[ (9 - 12) + (6\sqrt{2} + 8\sqrt{2}) = -3 + 14\sqrt{2} \]
السؤال 4
أوجد العدد الحقيقي x في كل حالة:
1) \( \sqrt{x^2 + 5} = 2 \)
2) \( |2x + 1| = |x - 2| \)
1) \( \sqrt{x^2 + 5} = 2 \)
2) \( |2x + 1| = |x - 2| \)
التصحيح المفصل:
الحالة 1: \( \sqrt{x^2 + 5} = 2 \)
بتربيع الطرفين: \( (\sqrt{x^2 + 5})^2 = 2^2 \)
\( x^2 + 5 = 4 \)
\( x^2 = -1 \)
مربع عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا. إذن، هذه المعادلة ليس لها حل في \( \mathbb{R} \).
بتربيع الطرفين: \( (\sqrt{x^2 + 5})^2 = 2^2 \)
\( x^2 + 5 = 4 \)
\( x^2 = -1 \)
مربع عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبًا. إذن، هذه المعادلة ليس لها حل في \( \mathbb{R} \).
الحالة 2: \( |2x + 1| = |x - 2| \)
هذه المعادلة تكافئ: \( A=B \) أو \( A = -B \).
الحالة أ: \( 2x + 1 = x - 2 \implies 2x - x = -2 - 1 \implies x = -3 \)
الحالة ب: \( 2x + 1 = -(x - 2) \implies 2x + 1 = -x + 2 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} \)
الحلول هي \( S = \{-3, \frac{1}{3}\} \).
هذه المعادلة تكافئ: \( A=B \) أو \( A = -B \).
الحالة أ: \( 2x + 1 = x - 2 \implies 2x - x = -2 - 1 \implies x = -3 \)
الحالة ب: \( 2x + 1 = -(x - 2) \implies 2x + 1 = -x + 2 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} \)
الحلول هي \( S = \{-3, \frac{1}{3}\} \).
السؤال 5
ليكن x عدد حقيقي موجب و a و b عددان حقيقيان بحيث: \( a = \sqrt{x} + 1 \) و \( b = \sqrt{x} - 1 \).
أوجد x إذا علمت أن a هو مقلوب b.
أوجد x إذا علمت أن a هو مقلوب b.
التصحيح المفصل:
"a هو مقلوب b" يعني أن \( a \times b = 1 \).
\[ (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) = 1 \]
نطبق المتطابقة الهامة \( (u+v)(u-v) = u^2 - v^2 \):
\[ (\sqrt{x})^2 - (1)^2 = 1 \]
\[ x - 1 = 1 \]
\[ x = 2 \]
بما أن 2 عدد حقيقي موجب، فالحل مقبول.