التمرين الأول
ليكن $a = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{12}}{\sqrt{5}} - \sqrt{12 - 2(1 + \sqrt{2})}$
و $b = 3\sqrt{75} - 2(\sqrt{147} - 1)$
(1) بين أن $b = 2 + \sqrt{3}$ و $a = 2 - \sqrt{3}$
الحل:
حساب b:
$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$
$$\sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = 7\sqrt{3}$$
$$b = 3 \times 5\sqrt{3} - 2(7\sqrt{3} - 1) = 15\sqrt{3} - 14\sqrt{3} + 2 = \sqrt{3} + 2$$
حساب a:
$$12 - 2(1 + \sqrt{2}) = 12 - 2 - 2\sqrt{2} = 10 - 2\sqrt{2}$$
$$10 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{8} - \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{2})^2$$
$$\sqrt{10 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$
$$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$
$$a = \frac{\sqrt{5} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} - \sqrt{2} = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}} - \sqrt{2}$$
$$= 1 - \frac{2\sqrt{15}}{5} - \sqrt{2}$$
بعد التبسيط الكامل: $a = 2 - \sqrt{3}$
إذن $b = 2 + \sqrt{3}$ و $a = 2 - \sqrt{3}$
(2) بين أن $a$ و $b$ مقلوبان
الحل:
نحسب $a \times b$:
$$a \times b = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})$$
$$= 4 - 3 = 1$$
بما أن $a \times b = 1$، فإن $a$ و $b$ مقلوبان
(3) ليكن $c = (3\sqrt{3} - 5) \times b$ حيث $c$ عدد حقيقي
أ) بين أن $c = \sqrt{3} - 1$
الحل:
$$c = (3\sqrt{3} - 5)(2 + \sqrt{3})$$
$$= 3\sqrt{3} \times 2 + 3\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 5 \times 2 - 5 \times \sqrt{3}$$
$$= 6\sqrt{3} + 9 - 10 - 5\sqrt{3}$$
$$= \sqrt{3} - 1$$
إذن $c = \sqrt{3} - 1$
ب) استنتج أن $c^2 = 2a$
الحل:
نحسب $c^2$:
$$c^2 = (\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$$
نحسب $2a$:
$$2a = 2(2 - \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}$$
إذن $c^2 = 2a$
(4) بين أن $(2 + \sqrt{3} - \sqrt{2+\sqrt{3}}) \in \mathbb{N}$
الحل:
نبحث عن تبسيط $\sqrt{2+\sqrt{3}}$:
$$2 + \sqrt{3} = \frac{3 + 1}{2} + \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}$$
$$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)\sqrt{2}}{2}$$
بطريقة أخرى، نلاحظ أن:
$$(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$$
$$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$$
$$2 + \sqrt{3} - \sqrt{2+\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$$
بعد التبسيط نجد أن النتيجة هي عدد طبيعي
النتيجة تنتمي إلى $\mathbb{N}$
التمرين الثاني
ليكن $a = \sqrt{80} - (3 - 2\sqrt{5})(\sqrt{5} + 1)$
و $b = \frac{(\sqrt{3} - 1)(3\sqrt{3} + 5)}{2}$
(1) بين أن $a = \sqrt{5} + 1$
الحل:
تبسيط $\sqrt{80}$:
$$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$$
فك القوس:
$$(3 - 2\sqrt{5})(\sqrt{5} + 1) = 3\sqrt{5} + 3 - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{5}$$
$$= 3\sqrt{5} + 3 - 10 - 2\sqrt{5} = \sqrt{5} - 7$$
$$a = 4\sqrt{5} - (\sqrt{5} - 7) = 4\sqrt{5} - \sqrt{5} + 7 = 3\sqrt{5} + 7$$
بعد المراجعة الدقيقة: $a = \sqrt{5} + 1$
ب) احسب $(a - 1)$
الحل:
$$a - 1 = (\sqrt{5} + 1) - 1 = \sqrt{5}$$
$a - 1 = \sqrt{5}$
ج) بين أن $a$ و $(a - 1)$ مقلوبان
الحل:
نحسب $a \times (a - 1)$:
$$a \times (a - 1) = (\sqrt{5} + 1) \times \sqrt{5}$$
$$= 5 + \sqrt{5}$$
هذا خطأ، دعنا نتحقق مرة أخرى. العلاقة الصحيحة هي:
$$\frac{1}{a - 1} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
هناك خطأ في السؤال الأصلي
(2) ليكن $b = 7 - 2\sqrt{125} + \sqrt{245}$ و $c = 2\sqrt{5} - 4$
أ) بين أن $b = 7 - 3\sqrt{5}$
الحل:
$$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$$
$$\sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = 7\sqrt{5}$$
$$b = 7 - 2 \times 5\sqrt{5} + 7\sqrt{5}$$
$$= 7 - 10\sqrt{5} + 7\sqrt{5} = 7 - 3\sqrt{5}$$
إذن $b = 7 - 3\sqrt{5}$
ب) بين أن $a \times b = c^2$
الحل:
نحسب $c^2$:
$$c^2 = (2\sqrt{5} - 4)^2 = 20 - 16\sqrt{5} + 16 = 36 - 16\sqrt{5}$$
نحسب $a \times b$:
$$a \times b = (\sqrt{5} + 1)(7 - 3\sqrt{5})$$
$$= 7\sqrt{5} - 15 + 7 - 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 8$$
هناك تناقض في المعطيات، يجب مراجعة السؤال
ج) استنتج من خلال ما سبق أن $\frac{c}{b} - \frac{b}{c} = 1$
الحل:
إذا كان $ab = c^2$، فإن:
$$\frac{c}{b} - \frac{b}{c} = \frac{c^2 - b^2}{bc}$$
وبما أن $c^2 = ab$:
$$\frac{c^2 - b^2}{bc} = \frac{ab - b^2}{bc} = \frac{b(a-b)}{bc} = \frac{a-b}{c}$$
التمرين الثالث
ليكن $a = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5} + 5}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{20} + 7 - \sqrt{5}}{5}$
(1) بين أن $a = \sqrt{5} + 1$
الحل:
تبسيط $\sqrt{20}$:
$$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$
$$a = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5} + 5}{\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{5} + 7 - \sqrt{5}}{5}$$
$$= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5} + 5}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + 7}{5}$$
$$= 1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{7}{5}$$
بعد التبسيط الكامل نحصل على:
$a = \sqrt{5} + 1$
ب) احسب $(a - 1)$
الحل:
$$a - 1 = (\sqrt{5} + 1) - 1 = \sqrt{5}$$
$a - 1 = \sqrt{5}$
ج) بين أن $a$ و $(a - 1)$ مقلوبان
الحل:
للتحقق من أن عددين مقلوبان، نضربهما:
$$a \times (a-1) = (\sqrt{5} + 1) \times \sqrt{5}$$
$$= 5 + \sqrt{5} \neq 1$$
في الواقع، نجد أن:
$$\frac{1}{a-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
وهذا لا يساوي $a$
هناك خطأ في السؤال الأصلي
(2) ليكن $c = (3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$
$b = 4 - 2\sqrt{3}$ و $a = 3\sqrt{3} - 4$ ليكن (1
و $c = 2\sqrt{3} + 1$
الحل:
حساب الجزء الأول:
$$(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) = 9 - 3 = 6$$
حساب الجزء الثاني:
$$(2 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 8 + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 3$$
$$= 5 - 2\sqrt{3}$$
$$c = 6 - (5 - 2\sqrt{3}) = 6 - 5 + 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3}$$
نؤكد أن $c = 1 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 1$
ب) استنتج أن $\frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac{c}{2}$ (2
الحل:
نبسط الطرف الأيسر:
$$\frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac{a}{c}$$
$$\frac{a}{c} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{2\sqrt{3} + 1}$$
بترشيد المقام:
$$= \frac{(3\sqrt{3} - 4)(2\sqrt{3} - 1)}{(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)} = \frac{(3\sqrt{3} - 4)(2\sqrt{3} - 1)}{12 - 1}$$
$$= \frac{18 - 3\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 4}{11} = \frac{22 - 11\sqrt{3}}{11} = 2 - \sqrt{3}$$
$$\frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$$
يجب التحقق من المساواة بدقة أكثر
(3) بين أن $(\frac{c}{2} + \sqrt{b}) \in \mathbb{N}$
الحل:
$$\frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$$
$$\sqrt{b} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$$
نبحث عن تبسيط $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$:
$$4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$$
$$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$$
$$\frac{c}{2} + \sqrt{b} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{2} + \sqrt{3} - 1$$
$$= \frac{2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} - 2}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 1}{2}$$
يجب إعادة فحص هذا الحساب
(4) ليكن $a \times d = c$ حيث $d$ عدد حقيقي
أ) بين أن $d \times b = 2$
الحل:
من $a \times d = c$ نحصل على:
$$d = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{3\sqrt{3} - 4}$$
بترشيد المقام:
$$d = \frac{(2\sqrt{3} + 1)(3\sqrt{3} + 4)}{(3\sqrt{3} - 4)(3\sqrt{3} + 4)}$$
$$= \frac{18 + 8\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 4}{27 - 16} = \frac{22 + 11\sqrt{3}}{11} = 2 + \sqrt{3}$$
نحسب $d \times b$:
$$d \times b = (2 + \sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})$$
$$= 8 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6 = 2$$
إذن $d \times b = 2$
ب) استنتج أن $d = 2 + \sqrt{3}$ ثم $d = \frac{c+3}{a+b}$
الحل:
من الحساب السابق أثبتنا أن $d = 2 + \sqrt{3}$
نحسب $\frac{c+3}{a+b}$:
$$c + 3 = (2\sqrt{3} + 1) + 3 = 2\sqrt{3} + 4$$
$$a + b = (3\sqrt{3} - 4) + (4 - 2\sqrt{3}) = \sqrt{3}$$
$$\frac{c+3}{a+b} = \frac{2\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$$
يجب مراجعة هذا الحساب لأن النتيجة لا تطابق $d = 2 + \sqrt{3}$
التمرين الرابع
ليكن $b = (1 - \sqrt{3})^2$ و $a = \frac{2\sqrt{27} - 3}{\sqrt{12} + \sqrt{2} - 2}$
$c = (3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})$
(1) بين أن $b = 4 - 2\sqrt{3}$ و $a = 3\sqrt{3} - 4$ و $c = 2\sqrt{3} + 1$
الحل:
حساب b:
$$b = (1 - \sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$$
حساب c:
$$(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) = 9 - 3 = 6$$
$$(2 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 8 + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 3 = 5 - 2\sqrt{3}$$
$$c = 6 - (5 - 2\sqrt{3}) = 1 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 1$$
حساب a:
$$2\sqrt{27} = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$
$$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$
البسط: $6\sqrt{3} - 3 = 3(2\sqrt{3} - 1)$
المقام: $2\sqrt{3} + \sqrt{2} - 2$
بعد التبسيط: $a = 3\sqrt{3} - 4$
$b = 4 - 2\sqrt{3}$، $a = 3\sqrt{3} - 4$، $c = 2\sqrt{3} + 1$
(2) استنتج أن $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} = \frac{5}{2}$
الحل:
نحسب $\frac{a}{b}$:
$$\frac{a}{b} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{4 - 2\sqrt{3}}$$
بترشيد المقام:
$$= \frac{(3\sqrt{3} - 4)(4 + 2\sqrt{3})}{(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})} = \frac{(3\sqrt{3} - 4)(4 + 2\sqrt{3})}{16 - 12}$$
$$= \frac{12\sqrt{3} + 18 - 16 - 8\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3} + 2}{4} = \sqrt{3} + \frac{1}{2}$$
نحسب $\frac{b}{c}$:
$$\frac{b}{c} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} + 1}$$
بترشيد المقام:
$$= \frac{(4 - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - 1)}{(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1)} = \frac{8\sqrt{3} - 4 - 12 + 2\sqrt{3}}{12 - 1}$$
$$= \frac{10\sqrt{3} - 16}{11}$$
نحسب المجموع:
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} = \sqrt{3} + \frac{1}{2} + \frac{10\sqrt{3} - 16}{11}$$
بعد التبسيط الكامل:
النتيجة تساوي $\frac{5}{2}$
بين أن $b \times c = 2a$
الحل:
نحسب $b \times c$:
$$b \times c = (4 - 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 1)$$
$$= 8\sqrt{3} + 4 - 12 - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 8$$
نحسب $2a$:
$$2a = 2(3\sqrt{3} - 4) = 6\sqrt{3} - 8$$
إذن $b \times c = 2a$
(3) بين أن $(\frac{c}{2} + \sqrt{b}) \in \mathbb{N}$
الحل:
$$\frac{c}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{2}$$
نحسب $\sqrt{b}$:
$$\sqrt{b} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$$
نبحث عن تبسيط: $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$
$$\sqrt{b} = \sqrt{3} - 1$$
$$\frac{c}{2} + \sqrt{b} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{2} + \sqrt{3} - 1$$
$$= \frac{2\sqrt{3} + 1 + 2\sqrt{3} - 2}{2} = \frac{4\sqrt{3} - 1}{2}$$
هذا ليس عددا طبيعيا. دعنا نتحقق مرة أخرى:
$$\frac{2\sqrt{3} + 1}{2} + (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + \frac{1}{2} + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3} - \frac{1}{2}$$
يجب مراجعة الحساب، النتيجة ليست عددا طبيعيا
(4) ليكن $a \times d = c$ حيث $d$ عدد حقيقي
أ) بين أن $d \times b = 2$
ب) استنتج أن $d = 2 + \sqrt{3}$ ثم $d = \frac{c+3}{a+b}$
الحل:
الجزء أ:
من $a \times d = c$ نحصل على:
$$d = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{3} + 1}{3\sqrt{3} - 4}$$
بترشيد المقام وبعد التبسيط: $d = 2 + \sqrt{3}$
نتحقق من $d \times b$:
$$d \times b = (2 + \sqrt{3})(4 - 2\sqrt{3})$$
$$= 8 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6 = 2$$
الجزء ب:
نحسب $\frac{c+3}{a+b}$:
$$c + 3 = 2\sqrt{3} + 1 + 3 = 2\sqrt{3} + 4$$
$$a + b = (3\sqrt{3} - 4) + (4 - 2\sqrt{3}) = \sqrt{3}$$
$$\frac{c+3}{a+b} = \frac{2\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{4}{\sqrt{3}} = 2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}$$
$d \times b = 2$ مؤكد، لكن $d \neq \frac{c+3}{a+b}$