التمرين عدد 3

الجذور الحقيقية والعمليات الجبرية

المعطيات:

\( x \in \mathbb{R} \) حيث:
\( a = 2\sqrt{50} - [3 - (\sqrt{8} - \sqrt{72})] - 3\sqrt{2} \)
\( b = \sqrt{2}\,(2 - \sqrt{2}) - 1 \)
تنبيه على نصّ التمرين

أُصلح نصّ هذا التمرين في خمسة مواضع، وهذه هي : (1) الكتابة \( a=2\sqrt{50}-[3-(2\sqrt{200}\times\sqrt{3})]-3\sqrt{2} \) تساوي \( 7\sqrt{2}+20\sqrt{6}-3 \) ولا يمكن أن تساوي \( 3\sqrt{2}-3 \) : الجذر \( \sqrt{6} \) لا يختفي. (2) وكذلك \( b=\sqrt{3}(2-\sqrt{2})=2\sqrt{3}-\sqrt{6} \). أُبدلت الكتابتان بكتابتين تعطيان فعلا القيمتين المطلوبتين. (3) السؤال الثاني كان « احسب القيمة العددية للعبارة \( x=\frac{1}{2}-3\sqrt{2} \) » ولا مطلوب فيه : \( x \) معطى. (4) السؤال الثالث كان يطلب \( x \) بينما \( a \) و \( b \) لا يحتويان \( x \) ؛ التصحيح القديم كان ينتهي إلى « \( \sqrt{2}=1{,}2 \) ». (5) العددان \( (1-\sqrt{2}) \) و \( (1+\sqrt{2}) \) ليسا متقابلين : مجموعهما 2. السؤال صار يطلب ملاحظة ذلك ثمّ إثبات أنّ \( (\sqrt{2}-1) \) و \( (\sqrt{2}+1) \) مقلوبان.

السؤال الأول

بين أن: \( a = 3\sqrt{2} - 3 \) و \( b = 2\sqrt{2} - 3 \)

التصحيح:

القاعدة : \( \sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b} \) ؛ وعلامة \( - \) أمام قوس معقوف تقلب إشارة كلّ ما بداخله.

نبسّط الجذور واحدا واحدا : \( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \)، إذن \( 2\sqrt{50}=10\sqrt{2} \).

\( \sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2} \) و \( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \).

إذن \( \sqrt{8}-\sqrt{72}=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}=-4\sqrt{2} \).

داخل القوس المعقوف : \( 3-\left(-4\sqrt{2}\right)=3+4\sqrt{2} \) (طرح عدد سالب = إضافة).

ننزع القوس المعقوف، والإشارة \( - \) أمامه تقلب الحدّين : \( a=10\sqrt{2}-3-4\sqrt{2}-3\sqrt{2} \).

نجمع الجذور : \( 10-4-3=3 \)، فيبقى \( a=3\sqrt{2}-3 \).

الجواب : \( a=3\sqrt{2}-3 \)
القاعدة : نشر جداء : \( \sqrt{u}\left(v-\sqrt{u}\right)=v\sqrt{u}-u \)، لأنّ \( \sqrt{u}\times\sqrt{u}=u \).

ننشر : \( \sqrt{2}\times 2=2\sqrt{2} \) و \( \sqrt{2}\times\sqrt{2}=2 \).

إذن \( \sqrt{2}\left(2-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-2 \).

ثمّ نطرح 1 : \( b=2\sqrt{2}-2-1 \).

الجواب : \( b=2\sqrt{2}-3 \)

السؤال الثاني

احسب \( a - b \) و \( a + b \)

التصحيح:

القاعدة : نطرح ونجمع حدّا بحدّ : الجذور مع الجذور، الأعداد مع الأعداد. ⛔ الإشارة \( - \) أمام القوس تقلب حدّيه معا.

\( a-b=\left(3\sqrt{2}-3\right)-\left(2\sqrt{2}-3\right) \).

ننزع القوس الثاني بقلب إشاراته : \( =3\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}+3 \).

الأعداد : \( -3+3=0 \) ؛ والجذور : \( 3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2} \).

وللمجموع : \( a+b=3\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}-3=5\sqrt{2}-6 \).

الجواب : \( a-b=\sqrt{2} \) و \( a+b=5\sqrt{2}-6 \)

السؤال الثالث

أوجد العدد الحقيقي \( x \) بحيث يكون \( a \) و \( b + x \) متقابلين

التصحيح:

القاعدة : عددان متقابلان إذا كان مجموعهما منعدما. ⛔ لاحظ أوّلا أنّ \( a \) و \( b \) وحدهما ليسا متقابلين : مجموعهما \( 5\sqrt{2}-6\simeq 1{,}07 \)، وهو غير منعدم. لذلك السؤال يضيف \( x \).

الشرط : \( a+\left(b+x\right)=0 \).

أي \( x=-\left(a+b\right) \).

ومن السؤال الثاني : \( a+b=5\sqrt{2}-6 \).

إذن \( x=-\left(5\sqrt{2}-6\right)=6-5\sqrt{2} \).

نتحقّق : \( b+x=2\sqrt{2}-3+6-5\sqrt{2}=3-3\sqrt{2} \)، وهو فعلا مقابل \( a=3\sqrt{2}-3 \).

⚠️ \( x=6-5\sqrt{2}\simeq -1{,}07 \) : عدد حقيقي، ولا داعي لأيّ قيمة تقريبية في الجواب.

الجواب : \( x=6-5\sqrt{2} \)

السؤال الرابع

بيّن أنّ \( (1-\sqrt{2}) \) و \( (1+\sqrt{2}) \) ليسا متقابلين، ثمّ بيّن أنّ \( (\sqrt{2}-1) \) و \( (\sqrt{2}+1) \) مقلوبان

التصحيح:

القاعدة : كلمتان لا تُخلطان : متقابلان يعني المجموع منعدم، مقلوبان يعني الجداء يساوي 1.

نجمع : \( \left(1-\sqrt{2}\right)+\left(1+\sqrt{2}\right)=2 \) ؛ الجذران يتقابلان ويبقى 2.

و \( 2\neq 0 \)، إذن العددان ليسا متقابلين.

⚠️ وليسا كذلك متساويين في القيمة المطلقة : \( \left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1\simeq 0{,}41 \) بينما \( \left|1+\sqrt{2}\right|\simeq 2{,}41 \).

أمّا \( \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right) \) فهو فرق مربّعين : \( =\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}=2-1=1 \).

الجداء يساوي 1، إذن هذان العددان مقلوبان.

الجواب : \( (1-\sqrt{2}) \) و \( (1+\sqrt{2}) \) ليسا متقابلين (مجموعهما 2) ؛ و \( (\sqrt{2}-1) \) و \( (\sqrt{2}+1) \) مقلوبان (جداؤهما 1)

السؤال الخامس

استنتج حسابياً العبارة \( c = \frac{2}{3 + 2\sqrt{2}} - b + \sqrt{2} \)

التصحيح:

القاعدة : ترشيد المقام : نضرب البسط والمقام في مرافق المقام، ثمّ فرق مربّعين \( (u+v)(u-v)=u^{2}-v^{2} \).

مرافق \( 3+2\sqrt{2} \) هو \( 3-2\sqrt{2} \) ؛ نضرب الطرفين فيه.

المقام : \( \left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}=9-8=1 \).

⚠️ المقام يساوي 1 : لا قسمة بعد ذلك. إذن \( \dfrac{2}{3+2\sqrt{2}}=2\left(3-2\sqrt{2}\right)=6-4\sqrt{2} \).

نعوّض \( b=2\sqrt{2}-3 \) : \( c=6-4\sqrt{2}-\left(2\sqrt{2}-3\right)+\sqrt{2} \).

ننزع القوس بقلب إشاراته : \( c=6-4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+3+\sqrt{2} \).

الأعداد : \( 6+3=9 \) ؛ والجذور : \( -4-2+1=-5 \).

⚠️ للفضوليين : \( 3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^{2} \) و \( 3-2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^{2} \) — وهذا يفسّر لماذا جداؤهما يساوي 1 (السؤال الرابع).

الجواب : \( c=9-5\sqrt{2} \)