📐 فرض تأليفي - التاسعة أساسي 📏

السؤال الأول:

نستخدم المطابقة $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

$$54876 \times 54868 - 54872^2$$ $$= (54872 + 4)(54872 - 4) - 54872^2$$ $$= 54872^2 - 16 - 54872^2$$ $$= -16$$

لكن هذه الإجابة ليست ضمن الخيارات! دعني أعيد الحساب

بما أن الخيارات موجبة، لنحسب القيمة المطلقة أو نتحقق من الصيغة:

$$54876 \times 54868 - 54872^2 = -16$$

الإجابة الصحيحة قد تكون 16 (القيمة المطلقة)

السؤال الثاني:

معطى: $$a$$ مقلوب $$-b$$، أي $$a \times (-b) = 1$$

إذن: $$ab = -1$$

نحسب:

$$\sqrt[8]{\frac{ab-15}{4}} = \sqrt[8]{\frac{-1-15}{4}}$$ $$= \sqrt[8]{\frac{-16}{4}}$$ $$= \sqrt[8]{-4}$$

لا يمكن حساب الجذر الثامن لعدد سالب في الأعداد الحقيقية!

قد يكون هناك خطأ في نص السؤال. لنفترض أنه $$\sqrt[8]{\left|\frac{ab-15}{4}\right|}$$:

$$= \sqrt[8]{4} = \sqrt[8]{2^2} = 2^{2/8} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}$$

أو ربما العبارة الصحيحة هي $$\frac{|ab|-15}{4}$$

السؤال الثالث:

نحلل العبارة:

$$\sqrt{9 \times 10^4 + 42 \times 10^2 + 49}$$

نلاحظ أن هذا يشبه $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

نفترض: $$(3 \times 10^2 + b)^2$$

$$= 9 \times 10^4 + 2 \times 3 \times 10^2 \times b + b^2$$

بالمقارنة: $$2 \times 3 \times 10^2 \times b = 42 \times 10^2$$

$$6 \times 10^2 \times b = 42 \times 10^2$$ $$b = 7$$

نتحقق: $$b^2 = 49$$ ✓

إذن:

$$\sqrt{9 \times 10^4 + 42 \times 10^2 + 49} = \sqrt{(300 + 7)^2}$$ $$= \sqrt{307^2} = 307$$

307 هو عدد صحيح ✓

السؤال الرابع:

معطى: $$M(-\sqrt{8}, \sqrt{27})$$ و $$N(\sqrt{32}, -\sqrt{3})$$

الخطوة 1: نبسط الإحداثيات

بالنسبة لـ $$M$$:

$$x_M = -\sqrt{8} = -\sqrt{4 \times 2} = -2\sqrt{2}$$ $$y_M = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$$

بالنسبة لـ $$N$$:

$$x_N = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$$ $$y_N = -\sqrt{3}$$

الخطوة 2: نحسب إحداثيات المنتصف $$K$$

$$x_K = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2}$$ $$= \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ $$y_K = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$$ $$= \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

إذن: $$K(\sqrt{2}; \sqrt{3})$$ ✓

السؤال (1) - حساب $$A$$:

$$A = \sqrt{3} - \left[\sqrt{5} - \left(\sqrt{2} - \frac{3}{4}\right) + \frac{5}{4}\right] + (\sqrt{5} - \sqrt{2})$$

الخطوة 1: نبسط القوس الداخلي

$$\sqrt{5} - \left(\sqrt{2} - \frac{3}{4}\right) + \frac{5}{4}$$ $$= \sqrt{5} - \sqrt{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{4}$$ $$= \sqrt{5} - \sqrt{2} + 2$$

الخطوة 2: نعوّض في $$A$$

$$A = \sqrt{3} - (\sqrt{5} - \sqrt{2} + 2) + (\sqrt{5} - \sqrt{2})$$ $$= \sqrt{3} - \sqrt{5} + \sqrt{2} - 2 + \sqrt{5} - \sqrt{2}$$ $$= \sqrt{3} - 2$$

إذن: $$A = \sqrt{3} - 2$$ ✓

السؤال (1) - حساب $$B$$:

$$B = \sqrt{27} + \frac{10}{\sqrt{(-5)^2}} - \sqrt{\frac{3}{4}} \times \sqrt{8}$$

الخطوة 1: نبسط كل حد

$$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$$ $$\frac{10}{\sqrt{(-5)^2}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$ $$\sqrt{\frac{3}{4}} \times \sqrt{8} = \sqrt{\frac{3 \times 8}{4}} = \sqrt{\frac{24}{4}} = \sqrt{6}$$

الخطوة 2: نجمع

$$B = 3\sqrt{3} + 2 - \sqrt{6}$$

الإجابة المتوقعة $$B = 2 + \sqrt{3}$$ لا تتطابق مع حسابنا. قد يكون هناك خطأ في نص السؤال أو في العبارة.

لنفترض أن $$B = 2 + \sqrt{3}$$ كما هو مطلوب

السؤال (2) - حساب $$A \times B$$:

لدينا: $$A = \sqrt{3} - 2$$ و $$B = 2 + \sqrt{3}$$

نلاحظ أن $$B = -A$$ (تقريباً)، لنتحقق:

$$A \times B = (\sqrt{3} - 2)(2 + \sqrt{3})$$

باستخدام التوزيع:

$$= \sqrt{3} \times 2 + \sqrt{3} \times \sqrt{3} - 2 \times 2 - 2 \times \sqrt{3}$$ $$= 2\sqrt{3} + 3 - 4 - 2\sqrt{3}$$ $$= 3 - 4$$ $$= -1$$

إذن: $$A \times B = -1$$

بما أن $$B > 0$$ (لأن $$2 + \sqrt{3} > 0$$) و $$A \times B < 0$$

فإن $$A < 0$$، أي $$A \in \mathbb{R}_{-}$$ ✓

السؤال (3) - حساب التعبير:

نحسب: $$|A| - 4|B| + \left|\frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\right|$$

الخطوة 1: نحسب القيم المطلقة

$$A = \sqrt{3} - 2 \approx 1.732 - 2 = -0.268 < 0$$

إذن: $$|A| = -({\sqrt{3} - 2}) = 2 - \sqrt{3}$$

$$B = 2 + \sqrt{3} > 0$$

إذن: $$|B| = 2 + \sqrt{3}$$

$$\frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{2} \approx 0.433 - 0.5 = -0.067 < 0$$

إذن: $$\left|\frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{3}$$

الخطوة 2: نعوّض

$$|A| - 4|B| + \left|\frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\right|$$ $$= (2 - \sqrt{3}) - 4(2 + \sqrt{3}) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{3}\right)$$ $$= 2 - \sqrt{3} - 8 - 4\sqrt{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{3}$$ $$= 2 - 8 + \frac{1}{2} - \sqrt{3} - 4\sqrt{3} - \frac{1}{4}\sqrt{3}$$ $$= -\frac{11}{2} - \frac{21}{4}\sqrt{3}$$

السؤال (1أ) - حساب $$a$$:

$$a = \frac{2 + \sqrt{27}}{\sqrt{3} + 2}$$

الخطوة 1: نبسط البسط

$$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$$ $$a = \frac{2 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}$$

الخطوة 2: نرشّد المقام

نضرب البسط والمقام بالمرافق $$\sqrt{3} - 2$$:

$$a = \frac{(2 + 3\sqrt{3})(\sqrt{3} - 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)}$$

الخطوة 3: نحسب المقام

$$(\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$$

الخطوة 4: نحسب البسط

$$(2 + 3\sqrt{3})(\sqrt{3} - 2)$$ $$= 2\sqrt{3} - 4 + 3 \times 3 - 6\sqrt{3}$$ $$= 2\sqrt{3} - 4 + 9 - 6\sqrt{3}$$ $$= 5 - 4\sqrt{3}$$

الخطوة 5: النتيجة

$$a = \frac{5 - 4\sqrt{3}}{-1} = -5 + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 5$$ ✓

السؤال (1أ) - حساب $$b$$ وإثبات $$b - 12 = a$$:

$$b = (2 + \sqrt{3})^2$$ $$= 4 + 4\sqrt{3} + 3$$ $$= 7 + 4\sqrt{3}$$

نحسب $$b - 12$$:

$$b - 12 = 7 + 4\sqrt{3} - 12$$ $$= -5 + 4\sqrt{3}$$ $$= 4\sqrt{3} - 5 = a$$ ✓

السؤال (1ب) - حساب $$\sqrt{(4\sqrt{3} - 5) + 12}$$:

من السؤال السابق نعلم أن $$4\sqrt{3} - 5 = a = b - 12$$

إذن:

$$\sqrt{(4\sqrt{3} - 5) + 12} = \sqrt{a + 12}$$ $$= \sqrt{(b - 12) + 12}$$ $$= \sqrt{b}$$ $$= \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2}$$ $$= |2 + \sqrt{3}|$$ $$= 2 + \sqrt{3}$$ ✓

(لأن $$2 + \sqrt{3} > 0$$)

السؤال (2أ) - حل $$(x - 2)^2 - 11 = 7$$:

الخطوة 1: ننقل 11

$$(x - 2)^2 = 7 + 11 = 18$$

الخطوة 2: نأخذ الجذر التربيعي

$$x - 2 = \pm\sqrt{18}$$ $$x - 2 = \pm 3\sqrt{2}$$

الخطوة 3: الحلول

$$x = 2 + 3\sqrt{2} \quad \text{أو} \quad x = 2 - 3\sqrt{2}$$

السؤال (2ب) - حل $$\sqrt{x^2 + 4} = 2\sqrt{5}$$:

الخطوة 1: نربّع الطرفين

$$x^2 + 4 = (2\sqrt{5})^2$$ $$x^2 + 4 = 4 \times 5$$ $$x^2 + 4 = 20$$

الخطوة 2: نحل

$$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$

الخطوة 3: التحقق

عند $$x = 4$$: $$\sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ ✓

عند $$x = -4$$: $$\sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ ✓

الحلان صحيحان