حصّة مراجعة للمناظرة — 22 جوان 2021

الرياضيات — السنة التاسعة أساسي
القسم الأوّل : أسئلة موضوعيّة
(1) إذا كان \(ABC\) مثلّثا مركز ثقله \(G\) و \(I\) منتصف \([BC]\) فإنّ إحداثيّات \(A\) في المعيّن \((G,C,I)\) هي :
إظهار الإصلاح
في المعيّن \((G,C,I)\) : المبدأ هو \(G\) ، المحور الأوّل مدرّج بـ \(G\) و \(C\) ، و المحور الثاني مدرّج بـ \(G\) و \(I\).
\(G\) مركز ثقل المثلّث \(ABC\) و \(I\) منتصف \([BC]\) ، إذن \(A\) و \(G\) و \(I\) على استقامة واحدة (المتوسّط \([AI]\)).
إذن \(A\) تنتمي إلى المحور الثاني ، و بالتالي فاصلتها تساوي \(0\).
و في مركز الثقل : \(GA = 2\,GI\) ، و النقطتان \(A\) و \(I\) تقعان على جانبي \(G\) ، إذن ترتيبة \(A\) هي \(-2\).
إذن إحداثيّات \(A\) هي \((0\,;\,-2)\). الجواب الصحيح : ب)
(2) \(a\) و \(b\) و \(c\) ثلاثة أرقام ، يكون العدد \(\overline{28735c1ba}\) قابلا للقسمة على \(12\) و \(15\) إذا كان :
إظهار الإصلاح
الطريقة : يقبل العدد القسمة على \(12\) و على \(15\) يعني أنّه يقبل القسمة على \(3\) و على \(4\) و على \(5\).
القسمة على \(5\) : رقم الآحاد \(a\) يساوي \(0\) أو \(5\).
القسمة على \(4\) : العدد المكوّن من الرقمين الأخيرين \(\overline{ba}\) يقبل القسمة على \(4\) ، وهذا يستوجب أن يكون \(a\) زوجيّا ، إذن \(a=0\).
ومنه \(\overline{ba}=\overline{b0}=10b\) يقبل القسمة على \(4\) ، أي أنّ \(b\) زوجي.
القسمة على \(3\) : مجموع الأرقام \(2+8+7+3+5+c+1+b+0=26+b+c\) يجب أن يقبل القسمة على \(3\).
نلاحظ أنّ \(b=9\) فردي ، فالاقتراح المعروض لا يحقّق شرط القسمة على \(4\).
⚠️ ملاحظة على السند : في النسخة المصوّرة الاقتراحات الثلاثة متطابقة (\(a=0\) و \(b=9\) و \(c=5\)) ، و هي لا تحقّق شرط القسمة على \(4\). الأمر يتعلّق بخلل في الطباعة ؛ الطريقة المبيّنة أعلاه هي المطلوبة ، و يُرجى التثبّت من النسخة الأصلية.
(3) إذا كان \(ABC\) مثلّثا قائما في \(A\) و \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\) حيث \(BH=6\,\text{cm}\) و \(BC=8\,\text{cm}\) فإنّ \(AC\) يساوي :
إظهار الإصلاح
\(H\in[BC]\) إذن \(HC=BC-BH=8-6=2\,\text{cm}\).
حسب العلاقات القياسية في المثلّث القائم : \(AC^{2}=HC\times BC=2\times 8=16\).
إذن \(AC=4\,\text{cm}\). الجواب الصحيح : أ)
(4) إذا كان \(x\) و \(y\) عددين حقيقيين حيث \(x<y\) و \(x^{2}+y^{2}=20\) و \(x\,y=6\) فإنّ \((x-y)\) يساوي :
إظهار الإصلاح
\((x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}=(x^{2}+y^{2})-2xy=20-12=8\).
ومنه \(|x-y|=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).
و بما أنّ \(x<y\) فإنّ \(x-y<0\) ، إذن \(x-y=-2\sqrt{2}\).
الجواب الصحيح : أ) — انتبه : الشرط \(x<y\) هو الذي يحدّد الإشارة.
(5) العدد \(\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) هو حلّ للمعادلة :
إظهار الإصلاح
\(2\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-1=2\times\dfrac{2}{4}-1=1-1=0\).
✗ أ) : \(2\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}\neq 0\).
✗ ج) : \(2x^{2}+1>0\) مهما يكن \(x\) حقيقيّا.
الجواب الصحيح : ب)
(6) مهما يكن الرقم الفردي \(a\) فإنّ العدد \(\overline{5a0a7a6}\) يقبل القسمة على :
إظهار الإصلاح
مجموع الأرقام : \(5+a+0+a+7+a+6=18+3a=3(6+a)\) ، إذن العدد يقبل القسمة على \(3\) مهما يكن \(a\).
العدد المكوّن من الرقمين الأخيرين هو \(\overline{a6}=10a+6\) ، و بما أنّ \(a\) فردي فإنّ \(10a+6=2(5a+3)\) و \(5a+3\) زوجي ، إذن \(\overline{a6}\) يقبل القسمة على \(4\).
العدد يقبل القسمة على \(3\) و على \(4\) و هما أوّليان فيما بينهما ، إذن يقبل القسمة على \(12\).
✗ أ) \(8\) : العدد المكوّن من الأرقام الثلاثة الأخيرة هو \(\overline{7a6}=706+10a\) ، و هو لا يقبل القسمة على \(8\) إلاّ إذا كان \(a=3\) أو \(a=7\) (مثلا \(a=1\) يعطي \(716\) و \(716\) لا يقبل القسمة على \(8\)).
✗ ب) \(9\) : \(18+3a\) يقبل القسمة على \(9\) فقط إذا كان \(a\) مضاعفا لـ \(3\) ، أي \(a=3\) أو \(a=9\).
الجواب الصحيح : ج)
(7) \((O,I,J)\) معيّن متعامد في المستوي و \(A(3a-1\,;\,2b+3)\) و \(B(a\,;\,b)\) نقطتان من المستوي حيث \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان. تكون \(A\) و \(B\) متناظرتين بالنسبة إلى \((OI)\) إذا كان :
إظهار الإصلاح
التناظر بالنسبة إلى المحور \((OI)\) يحفظ الفاصلة و يعاكس الترتيبة.
تساوي الفاصلتين : \(3a-1=a\) ومنه \(2a=1\) أي \(a=\dfrac{1}{2}\).
تعاكس الترتيبتين : \(2b+3=-b\) ومنه \(3b=-3\) أي \(b=-1\).
الجواب الصحيح : ب)
(8) \((O,I,J)\) معيّن متعامد في المستوي و \(A(\sqrt{2}\,;\,-1)\) و \(B(0\,;\,-a)\) و \(C(-\sqrt{2}\,;\,3)\) و \(D(|a|-2\,;\,0)\) نقاط من المستوي. يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع إذا كان \(a\) يساوي :
إظهار الإصلاح
يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع إذا و فقط إذا كان للقطرين \([AC]\) و \([BD]\) نفس المنتصف.
منتصف \([AC]\) : \(\left(\dfrac{\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}{2}\,;\,\dfrac{-1+3}{2}\right)=(0\,;\,1)\).
منتصف \([BD]\) : \(\left(\dfrac{0+|a|-2}{2}\,;\,\dfrac{-a+0}{2}\right) =\left(\dfrac{|a|-2}{2}\,;\,\dfrac{-a}{2}\right)\).
تساوي المنتصفين يعطي : \(\dfrac{|a|-2}{2}=0\) و \(\dfrac{-a}{2}=1\).
أي \(|a|=2\) و \(a=-2\) ، و القيمتان متوافقتان.
تحقّق : عند \(a=-2\) لدينا \(B(0\,;\,2)\) و \(D(0\,;\,0)\) ، و منتصف \([BD]\) هو \((0\,;\,1)\) = منتصف \([AC]\).
الجواب الصحيح : ج)
(9) إذا كان \(ABCD\) معيّنا حيث \(AC=6\) و \(BD=8\) فإنّ قيس محيطه يساوي :
إظهار الإصلاح
قطرا المعيّن متعامدان و يتقاطعان في منتصفهما \(O\).
\(OA=\dfrac{AC}{2}=3\) و \(OB=\dfrac{BD}{2}=4\).
المثلّث \(OAB\) قائم في \(O\) ، فحسب مبرهنة فيثاغور \(AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\).
أضلاع المعيّن متقايسة ، إذن المحيط \(=4\times 5=20\).
الجواب الصحيح : ب)
(10) إذا كان \(x\) عددا حقيقيّا حيث \(\sqrt{12}<x<\sqrt{27}\) فإنّ \(\left(\sqrt{x^{2}-2\sqrt{12}\,x+12}+\sqrt{x^{2}-2\sqrt{27}\,x+27}\right)\) يساوي :
إظهار الإصلاح
\(x^{2}-2\sqrt{12}\,x+12=(x-\sqrt{12})^{2}\) ومنه \(\sqrt{x^{2}-2\sqrt{12}\,x+12}=|x-2\sqrt{3}|\).
\(x^{2}-2\sqrt{27}\,x+27=(x-\sqrt{27})^{2}\) ومنه \(\sqrt{x^{2}-2\sqrt{27}\,x+27}=|x-3\sqrt{3}|\).
بما أنّ \(x>\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) فإنّ \(|x-2\sqrt{3}|=x-2\sqrt{3}\).
و بما أنّ \(x<\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) فإنّ \(|x-3\sqrt{3}|=3\sqrt{3}-x\).
المجموع \(=(x-2\sqrt{3})+(3\sqrt{3}-x)=\sqrt{3}\).
الجواب الصحيح : أ)
(11) في الرسم المجاور \((\mathcal{C})\) نصف دائرة مركزها \(O\) و قطرها \([AB]\) حيث \(AB=4\) ، و \(ODEF\) مربّع حيث \(ED=1\). \(DC\) يساوي :
A B O D E F C 1 AB = 4
إظهار الإصلاح
نختار المعيّن \((O,I,J)\) المتعامد المتجانس ذا المبدأ \(O\) و محور الفواصل \((AB)\).
\(AB=4\) إذن شعاع نصف الدائرة يساوي \(2\) ، و \(A(-2\,;\,0)\) و \(B(2\,;\,0)\).
\(ODEF\) مربّع ضلعه \(ED=1\) ، ومنه \(D(0\,;\,1)\) و \(E(-1\,;\,1)\) و \(F(-1\,;\,0)\).
النقطة \(C\) هي نقطة تقاطع المستقيم \((AD)\) مع نصف الدائرة.
نقاط \((AD)\) من الشكل \((-2+2t\,;\,t)\) ، و شرط الانتماء إلى الدائرة \(x^{2}+y^{2}=4\) يعطي \((-2+2t)^{2}+t^{2}=4\) أي \(5t^{2}-8t=0\) ومنه \(t=0\) (وهي \(A\)) أو \(t=\dfrac{8}{5}\).
إذن \(C\left(\dfrac{6}{5}\,;\,\dfrac{8}{5}\right)\).
\(DC=\sqrt{\left(\dfrac{6}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{8}{5}-1\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{36}{25}+\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{45}{25}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\).
الجواب الصحيح : أ)
(12) العدد \(\left(10^{2021}+2\right)\) يقبل القسمة على :
إظهار الإصلاح
كتابة العدد هي \(1\) متبوعا بـ \(2020\) صفرا ثمّ \(2\) ، أي \(1\underbrace{0\ldots 0}_{2020}2\).
رقم الآحاد هو \(2\) ، إذن العدد زوجي و يقبل القسمة على \(2\).
مجموع أرقامه هو \(1+2=3\) ، إذن يقبل القسمة على \(3\).
و بما أنّ \(2\) و \(3\) أوّليان فيما بينهما فإنّه يقبل القسمة على \(6\).
✗ ب) : العدد المكوّن من الرقمين الأخيرين هو \(02\) و هو لا يقبل القسمة على \(4\).
✗ ج) : رقم الآحاد ليس \(0\) و لا \(5\) ، إذن لا يقبل القسمة على \(5\).
الجواب الصحيح : أ)
(13) في الرسم المجاور \(ABC\) مثلّث قائم في \(A\) و \(E\) مركز ثقله ، حيث \(AB=4\) و \(ED=1\) ، \(F\) منتصف \([AB]\) و \(H\) المسقط العمودي لـ \(F\) على \((AD)\).
A B C D F E H AB = 4
إظهار الإصلاح
تمهيد : \(F\) منتصف \([AB]\) و \((FD)\,//\,(AC)\) ، فحسب مبرهنة المنتصفين \(D\) منتصف \([BC]\) ، ومنه \([AD]\) متوسّط.
\(E\) مركز الثقل يقع على \([AD]\) و \(ED=\dfrac{AD}{3}=1\) ، إذن \(AD=3\).
في المثلّث القائم في \(A\) ، الموسّط \([AD]\) يساوي نصف الوتر : \(BC=2\,AD=6\).
أ) \(AC\) : حسب مبرهنة فيثاغور \(AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=36-16=20\) ومنه \(AC=2\sqrt{5}\).
ب) \(CE\) : المتوسّط الصادر من \(C\) يصل إلى \(F\) منتصف \([AB]\) ، و \(CF^{2}=AC^{2}+AF^{2}=20+4=24\) ومنه \(CF=2\sqrt{6}\).
و \(CE=\dfrac{2}{3}CF=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\).
ج) \(FH\) : نختار المعيّن ذا المبدأ \(A\) : \(A(0\,;\,0)\) ، \(B(0\,;\,4)\) ، \(C(2\sqrt{5}\,;\,0)\) ، \(D(\sqrt{5}\,;\,2)\) ، \(F(0\,;\,2)\).
\(H\) المسقط العمودي لـ \(F\) على \((AD)\) ، و بالحساب نجد \(H\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{9}\,;\,\dfrac{8}{9}\right)\) ومنه \(FH=\sqrt{\dfrac{80}{81}+\dfrac{100}{81}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\).
د) إحداثيّات \(E\) في المعيّن \((A,F,C)\) : \(E\) مركز الثقل إذن \(E\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)\) في المعيّن السابق.
في المعيّن \((A,F,C)\) : وحدة المحور الأوّل هي \(AF=2\) و وحدة المحور الثاني هي \(AC=2\sqrt{5}\) ، ومنه إحداثيّات \(E\) هي \(\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right)\).
⚠️ ملاحظة على السند : الأسئلة الفرعيّة الأربعة و اقتراحاتها غير مقروءة بيقين في النسخة المصوّرة (خاصّة تسمية القطعة في السؤال ج و ترتيب نقاط المعيّن في السؤال د). الحلول أعلاه محسوبة انطلاقا من معطيات الرسم ، و يُرجى التثبّت من النسخة الأصلية.
القسم الثاني : التمارين المحرّرة
التمرين الأوّل — ليكن : \(a=1-\left|3\sqrt{5}-7\right|(\sqrt{5}+2)\) و \(b=\dfrac{\left(3\sqrt{20}-\sqrt{125}+1\right)^{2}}{8}\).
1) أ) بيّن أنّ \(a=3-\sqrt{5}\) و \(b=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\).
إظهار الإصلاح
نقارن \(3\sqrt{5}\) و \(7\) : \((3\sqrt{5})^{2}=45\) و \(7^{2}=49\) ، و بما أنّ \(45<49\) فإنّ \(3\sqrt{5}<7\).
إذن \(\left|3\sqrt{5}-7\right|=7-3\sqrt{5}\).
\((7-3\sqrt{5})(\sqrt{5}+2)=7\sqrt{5}+14-3\times 5-6\sqrt{5}=\sqrt{5}-1\).
ومنه \(a=1-(\sqrt{5}-1)=2-\sqrt{5}\).
\(3\sqrt{20}=3\times 2\sqrt{5}=6\sqrt{5}\) و \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) ، إذن \(3\sqrt{20}-\sqrt{125}+1=\sqrt{5}+1\).
\(b=\dfrac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{8}=\dfrac{5+2\sqrt{5}+1}{8}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{8} =\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}\).
⚠️ ملاحظة على السند : عبارة \(a\) كما هي مكتوبة في السند تعطي \(a=2-\sqrt{5}\) و ليس \(3-\sqrt{5}\). و بما أنّ بقيّة التمرين تستوجب \(a\times b=1\) ، فإنّ القيمة المقصودة هي \(a=3-\sqrt{5}\) (لأنّ \(\left(3-\sqrt{5}\right)\times\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} =\dfrac{9-5}{4}=1\)) ، و في السند خطأ مطبعي في عبارة \(a\). نعتمد فيما يلي \(a=3-\sqrt{5}\).
1) ب) بيّن أنّ \(a\) و \(b\) مقلوبان ثمّ استنتج علامة \(a\).
إظهار الإصلاح
\(a\times b=(3-\sqrt{5})\times\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} =\dfrac{3^{2}-(\sqrt{5})^{2}}{4}=\dfrac{9-5}{4}=1\).
إذن \(a\) و \(b\) مقلوبان.
\(b=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}>0\) ، و جداء \(a\) و \(b\) يساوي \(1>0\) ، إذن \(a\) موجب قطعا.
2) أ) بيّن أنّ \(a-b=\dfrac{9-5\sqrt{5}}{4}\).
إظهار الإصلاح
\(a-b=(3-\sqrt{5})-\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}=\dfrac{4(3-\sqrt{5})-(3+\sqrt{5})}{4}\).
\(=\dfrac{12-4\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}{4}=\dfrac{9-5\sqrt{5}}{4}\).
2) ب) قارن \(9\) و \(5\sqrt{5}\) ثمّ استنتج أنّ \(a<b\).
إظهار الإصلاح
\(9^{2}=81\) و \((5\sqrt{5})^{2}=25\times 5=125\).
بما أنّ \(81<125\) و العددان موجبان فإنّ \(9<5\sqrt{5}\).
ومنه \(9-5\sqrt{5}<0\) أي \(a-b<0\) ، إذن \(a<b\).
2) ج) بيّن أنّ \(a^{2}<1<b^{2}\).
إظهار الإصلاح
لدينا \(a>0\) و \(b>0\) و \(a<b\) و \(a\,b=1\).
بضرب طرفي \(a<b\) في العدد الموجب \(a\) : \(a^{2}<ab=1\).
بضرب طرفي \(a<b\) في العدد الموجب \(b\) : \(ab<b^{2}\) أي \(1<b^{2}\).
إذن \(a^{2}<1<b^{2}\).
3) أحسب \((6-a)\) ثمّ استنتج أنّ \(\dfrac{a}{b}\) و \(\sqrt{6a-\dfrac{a}{b}}\) مقلوبان.
إظهار الإصلاح
\(6-a=6-(3-\sqrt{5})=3+\sqrt{5}\).
\(\dfrac{a}{b}=a\times\dfrac{1}{b}=a\times a=a^{2}\) لأنّ \(\dfrac{1}{b}=a\).
\(a^{2}=(3-\sqrt{5})^{2}=9-6\sqrt{5}+5=14-6\sqrt{5}\).
\(6a-\dfrac{a}{b}=6a-a^{2}=a(6-a)=(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4\).
إذن \(\sqrt{6a-\dfrac{a}{b}}=\sqrt{4}=2\).
و \(\dfrac{a}{b}\times\sqrt{6a-\dfrac{a}{b}}=a^{2}\times 2=2(14-6\sqrt{5})=28-12\sqrt{5}\).
ملاحظة : \(28-12\sqrt{5}\approx 1{,}166\neq 1\) ، فالنتيجة المطلوبة في السند لا تتحقّق بالمعطيات المكتوبة ، و هذا أثر آخر للخطأ المطبعي في عبارة \(a\).
التمرين الثاني — \(a\) عدد حقيقي موجب حيث \(a^{2}=(5-\sqrt{2})^{2}-2(5-\sqrt{2})+1\) ، و \(b=9-3\sqrt{8}+\sqrt{50}\) و \(c=\dfrac{(4\sqrt{2}+5)(3-\sqrt{2})}{7}\).
1) أ) بيّن أنّ \(a^{2}=18-8\sqrt{2}\) و \(b=9-\sqrt{2}\) و \(c=\sqrt{2}+1\).
إظهار الإصلاح
\((5-\sqrt{2})^{2}=25-10\sqrt{2}+2=27-10\sqrt{2}\).
\(-2(5-\sqrt{2})=-10+2\sqrt{2}\).
\(a^{2}=27-10\sqrt{2}-10+2\sqrt{2}+1=18-8\sqrt{2}\).
\(3\sqrt{8}=3\times 2\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) و \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) ، إذن \(b=9-6\sqrt{2}+5\sqrt{2}=9-\sqrt{2}\).
\((4\sqrt{2}+5)(3-\sqrt{2})=12\sqrt{2}-4\times 2+15-5\sqrt{2}=7\sqrt{2}+7\).
\(c=\dfrac{7\sqrt{2}+7}{7}=\sqrt{2}+1\).
1) ب) لاحظ أنّ \(a^{2}\) هو نشر لجذاء معتبر ثمّ فكّك \(a^{2}\).
إظهار الإصلاح
العبارة من الشكل \(X^{2}-2X+1=(X-1)^{2}\) حيث \(X=5-\sqrt{2}\).
\(a^{2}=\left((5-\sqrt{2})-1\right)^{2}=(4-\sqrt{2})^{2}\).
1) ج) استنتج أنّ \(a=4-\sqrt{2}\).
إظهار الإصلاح
\(a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{(4-\sqrt{2})^{2}}=\left|4-\sqrt{2}\right|\) لأنّ \(a\) موجب.
و بما أنّ \(4>\sqrt{2}\) فإنّ \(a=4-\sqrt{2}\).
2) أ) تحقّق من أنّ \(b-c=2a\) ثمّ قارن \(b\) و \(c\).
إظهار الإصلاح
\(b-c=(9-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+1)=8-2\sqrt{2}=2(4-\sqrt{2})=2a\).
و بما أنّ \(a>0\) فإنّ \(b-c>0\) ، إذن \(b>c\).
2) ب) أحسب \((b\times c)\) ثمّ استنتج أنّ \(b^{2}+c^{2}=86-16\sqrt{2}\).
إظهار الإصلاح
\(b\times c=(9-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)=9\sqrt{2}+9-2-\sqrt{2}=8\sqrt{2}+7\).
\(b^{2}+c^{2}=(b-c)^{2}+2bc=(2a)^{2}+2(8\sqrt{2}+7)=4a^{2}+16\sqrt{2}+14\).
\(4a^{2}=4(18-8\sqrt{2})=72-32\sqrt{2}\).
\(b^{2}+c^{2}=72-32\sqrt{2}+16\sqrt{2}+14=86-16\sqrt{2}\).
3) أ) تحقّق من أنّ \(a-c=(\sqrt{2}-1)^{2}\) ثمّ قارن \(a\) و \(c\).
إظهار الإصلاح
\(a-c=(4-\sqrt{2})-(\sqrt{2}+1)=3-2\sqrt{2}\).
\((\sqrt{2}-1)^{2}=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}\) ، إذن \(a-c=(\sqrt{2}-1)^{2}\).
مربّع عدد حقيقي دائما مخالف للصفر موجب قطعا ، إذن \(a-c>0\) أي \(a>c\).
3) ب) بيّن أنّ \((a-c)\) و \(c^{2}\) مقلوبان.
إظهار الإصلاح
\(c^{2}=(\sqrt{2}+1)^{2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}\).
\((a-c)\times c^{2}=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}=9-8=1\).
إذن \((a-c)\) و \(c^{2}\) مقلوبان.
3) ج) استنتج أنّ \(b^{2}\times(a-c)>1\).
إظهار الإصلاح
من السؤال 2) أ) لدينا \(b>c>0\) ، ومنه \(b^{2}>c^{2}\).
و \((a-c)>0\) ، فبضرب طرفي المتراجحة في \((a-c)\) : \(b^{2}(a-c)>c^{2}(a-c)\).
و بما أنّ \(c^{2}(a-c)=1\) فإنّ \(b^{2}\times(a-c)>1\).
4) لتكن \(E=x^{2}-10x+7+8\sqrt{2}\) حيث \(x\) عدد حقيقي.
أ) أحسب \(E\) في حالة \(x=c\).
إظهار الإصلاح
\(x=c=\sqrt{2}+1\) ومنه \(x^{2}=c^{2}=3+2\sqrt{2}\).
\(E=(3+2\sqrt{2})-10(\sqrt{2}+1)+7+8\sqrt{2}=3+2\sqrt{2}-10\sqrt{2}-10+7+8\sqrt{2}\).
\(E=(3-10+7)+(2-10+8)\sqrt{2}=0\).
ب) بيّن أنّ \(E=(x-5)^{2}-a^{2}\).
إظهار الإصلاح
\((x-5)^{2}-a^{2}=x^{2}-10x+25-(18-8\sqrt{2})=x^{2}-10x+7+8\sqrt{2}=E\).
ج) استنتج أنّ \(E=(x-b)(x-c)\) ثمّ حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(E=0\).
إظهار الإصلاح
\(E=(x-5)^{2}-a^{2}=\left((x-5)-a\right)\left((x-5)+a\right)\).
\((x-5)-a=x-5-(4-\sqrt{2})=x-9+\sqrt{2}=x-(9-\sqrt{2})=x-b\).
\((x-5)+a=x-5+4-\sqrt{2}=x-1-\sqrt{2}=x-(\sqrt{2}+1)=x-c\).
إذن \(E=(x-b)(x-c)\).
\(E=0 \iff x=b\) أو \(x=c\) ، ومنه \(S_{\mathbb{R}}=\left\{9-\sqrt{2}\,;\,\sqrt{2}+1\right\}\).