امتحان تجريبي لشهادة ختم التعليم الأساسي — دورة 2021

المدرسة الإعدادية ع فرحات برادس — الاختبار : الرياضيات — الحصّة : ساعتان

التمرين الأوّل (2.5 ن)

يلي كلّ سؤال ثلاث إجابات ، واحدة فقط صحيحة. أكتب على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.

1) نعتبر العددين الصحيحين الطبيعيين \(x=\overline{a0a0a0}\) و \(y=\overline{6a6a6}\) حيث \(a\) رقم فردي. مهما يكن الرقم الفردي \(a\) ، فإنّ الجداء \(x\times y\) :

  • أ) يقبل القسمة على 12
  • ب) لا يقبل القسمة على 15
  • ج) لا يقبل القسمة على 10
إظهار الإصلاح
\(x=\overline{a0a0a0}=a\times 101010\) و \(101010=2\times 3\times 5\times 7\times 13\times 37\).
إذن \(x\) يقبل القسمة على \(2\) و على \(3\) و على \(5\) مهما يكن \(a\).
رقم آحاد \(y=\overline{6a6a6}\) هو \(6\) ، إذن \(y\) عدد زوجي.
الجداء \(x\times y\) يقبل إذن القسمة على \(2\times 2=4\) و على \(3\) ، و بما أنّ \(4\) و \(3\) أوّليان فيما بينهما فإنّه يقبل القسمة على \(12\).
الجواب الصحيح : أ)
✗ ب) خاطئ : \(x\) يقبل القسمة على \(3\) و على \(5\) إذن \(x\times y\) يقبل القسمة على \(15\).
✗ ج) خاطئ : \(x\) يقبل القسمة على \(10\) إذن \(x\times y\) كذلك.

2) الرقم الذي رتبته \(6897576\) بعد الفاصل في الكتابة \(98{,}7\overline{634892105}\) هو :

  • أ) 1
  • ب) 0
  • ج) 5
إظهار الإصلاح
الطريقة : الرقم الأوّل بعد الفاصل هو \(7\) و ليس من الدورة. الأرقام ابتداء من الرتبة \(2\) تتكرّر دوريّا بدورة طولها \(9\) هي \(634892105\).
لإيجاد الرقم ذي الرتبة \(n\ge 2\) نحسب باقي القسمة الإقليدية لـ \((n-2)\) على \(9\) ، ثمّ نأخذ الرقم الموافق في الدورة.
هنا \(n=6897576\) ومنه \(n-2=6897574\) ، و مجموع أرقامه \(46\) إذن \(6897574\equiv 1 \pmod 9\).
الباقي \(1\) يوافق الرقم الثاني من الدورة \(634892105\) ، أي الرقم \(3\).
⚠️ ملاحظة على السند : الرقم \(3\) لا يوجد ضمن الاقتراحات الثلاثة. خطّ الدورة في النسخة المصوّرة غير واضح و لم نتمكّن من قراءته بيقين ، و من المرجّح وجود خطأ مطبعي في السند (في طول الدورة أو في الرتبة \(6897576\)). الطريقة المبيّنة أعلاه هي المطلوبة ، و يُرجى التثبّت من النسخة الأصلية.

3) مثلّث متقايس الأضلاع قيس ضلعه \(2\sqrt{3}\) و \((\mathcal{C})\) الدائرة المحاطة به. محيط الدائرة \((\mathcal{C})\) يساوي :

  • أ) \(2\pi\)
  • ب) \(\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\)
  • ج) \(\sqrt{3}\,\pi\)
إظهار الإصلاح
ارتفاع المثلّث المتقايس الأضلاع الذي ضلعه \(c\) هو \(h=\dfrac{c\sqrt{3}}{2}\) ، ومنه \(h=\dfrac{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{2}=3\).
في المثلّث المتقايس الأضلاع ، مركز الدائرة المحاطة هو مركز الثقل ، و شعاعها هو ثلث الارتفاع : \(r=\dfrac{h}{3}=1\).
المحيط \(=2\pi r=2\pi\).
الجواب الصحيح : أ)

4) \(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). إحداثيّات النقطة \(A\) وفق المعيّن \((D,O,C)\) هي :

  • أ) \((2\,;-1)\)
  • ب) \((0\,;-2)\)
  • ج) \((1\,;-1)\)
إظهار الإصلاح
في المعيّن \((D,O,C)\) : المبدأ هو \(D\) ، وحدة المحور الأوّل هي \(DO\) و وحدة المحور الثاني هي \(DC\).
\(O\) مركز متوازي الأضلاع \(ABCD\) ، إذن \(O\) منتصف القطر \([DB]\) و منتصف القطر \([AC]\).
بما أنّ \(O\) منتصف \([DB]\) فإنّ \(DB=2\,DO\) ، إذن \(B\) إحداثيّاتها \((2\,;\,0)\).
و في متوازي الأضلاع \(ABCD\) لدينا \([AB]\) و \([DC]\) متوازيان و متقايسان ، فننتقل من \(B\) إلى \(A\) بمقدار \(-1\) على المحور الثاني (المحور المدرّج بـ \(D\) و \(C\)).
إذن إحداثيّات \(A\) هي \((2\,;-1)\).
الجواب الصحيح : أ)

5) في الرسم المقابل \(I\) منتصف \([FK]\) و \(H\) منتصف \([EK]\) و \((JH)\,//\,(FK)\). لتكن \(S_1\) مساحة المثلّث \(IJK\) و \(S_2\) المساحة الملوّنة. النسبة \(\dfrac{S_2}{S_1}\) تساوي :

E F K I H J S₁ S₂ S₂
  • أ) 4
  • ب) 3
  • ج) 2
إظهار الإصلاح
في المثلّث \(EFK\) : \(H\) منتصف \([EK]\) و \((JH)\,//\,(FK)\) ، فحسب مبرهنة المنتصفين يكون \(J\) منتصف \([EF]\).
نسمّي \(S\) مساحة المثلّث \(EFK\).
في المثلّث \(IJK\) : رأسه \(K\) و \(I\) منتصف \([FK]\) و \(J\) منتصف \([EF]\) ، و بحساب نسب المساحات نجد \(S_1=\dfrac{S}{4}\).
المساحة الملوّنة هي ما تبقّى من المثلّث \(EFK\) ، أي \(S_2=S-S_1=\dfrac{3S}{4}\).
\(\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{3S/4}{S/4}=3\).
الجواب الصحيح : ب)

التمرين الثاني (3.5 ن)

1) أ) قارن العددين \(6\sqrt{2}\) و \(9\).

إظهار الإصلاح
\((6\sqrt{2})^2=36\times 2=72\) و \(9^2=81\).
بما أنّ \(72<81\) و العددان موجبان ، فإنّ \(6\sqrt{2}<9\).

1) ب) أحسب \((\sqrt{2}+3)^2\) ثمّ استنتج أنّ \(2\sqrt{5}>\sqrt{2}+3\).

إظهار الإصلاح
\((\sqrt{2}+3)^2=2+6\sqrt{2}+9=11+6\sqrt{2}\).
\((2\sqrt{5})^2=4\times 5=20\).
من السؤال السابق \(6\sqrt{2}<9\) ، ومنه \(11+6\sqrt{2}<11+9=20\).
إذن \((\sqrt{2}+3)^2<(2\sqrt{5})^2\) ، و العددان موجبان ، ومنه \(\sqrt{2}+3<2\sqrt{5}\).

2) نعتبر الأعداد الحقيقية : \(a=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\) و \(b=a-1\) و \(c=\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\dfrac{19}{4(1+2\sqrt{5})}\).

أ) بيّن أنّ \(b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) و \(c=\dfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2}\).

إظهار الإصلاح
\(b=a-1=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\dfrac{\sqrt{5}+1-2}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\).
\(\left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{1+2\sqrt{2}+2}{4}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{4}\).
\(\dfrac{19}{4(1+2\sqrt{5})}=\dfrac{19(2\sqrt{5}-1)}{4(2\sqrt{5}+1)(2\sqrt{5}-1)} =\dfrac{19(2\sqrt{5}-1)}{4(20-1)}=\dfrac{2\sqrt{5}-1}{4}\).
\(c=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{4}-\dfrac{2\sqrt{5}-1}{4} =\dfrac{3+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}+1}{4}=\dfrac{4+2\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{4} =\dfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2}\).

ب) بيّن أنّ \(a\) مقلوب \(b\).

إظهار الإصلاح
\(a\times b=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\times\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} =\dfrac{(\sqrt{5})^2-1^2}{4}=\dfrac{5-1}{4}=1\).
إذن \(a\) و \(b\) مقلوبان.

ج) بيّن أنّ \(b>c\).

إظهار الإصلاح
\(b-c=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}-\dfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2} =\dfrac{\sqrt{5}-1-2-\sqrt{2}+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}-\sqrt{2}-3}{2}\).
من السؤال 1) ب) لدينا \(2\sqrt{5}>\sqrt{2}+3\) ، أي \(2\sqrt{5}-\sqrt{2}-3>0\).
إذن \(b-c>0\) ومنه \(b>c\).

د) استنتج أنّ \(ac<1\) ثمّ بيّن أنّ \(\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}<7\).

إظهار الإصلاح
لدينا \(b>c\) و \(a>0\) ، إذن \(a\times b>a\times c\).
و بما أنّ \(ab=1\) فإنّ \(1>ac\) أي \(ac<1\).
\(ac=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\times\dfrac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2} =\dfrac{(\sqrt{5}+1)(2+\sqrt{2}-\sqrt{5})}{4}<1\)
ومنه \((\sqrt{5}+1)(2+\sqrt{2}-\sqrt{5})<4\).
و بالنشر : \((\sqrt{5}+1)(2+\sqrt{2}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}+\sqrt{10}-5+2+\sqrt{2}-\sqrt{5} =\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}-3\).
إذن \(\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}-3<4\) ، أي \(\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}<7\).

التمرين الثالث (5 ن)

I) لتكن العبارتان \(E=x^{2}+2x-24\) و \(F=(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})\).

1) أ) بيّن أنّ \(E=(x+6)(x-4)\) و \(F=x^{2}-4x+1\).

إظهار الإصلاح
\((x+6)(x-4)=x^{2}-4x+6x-24=x^{2}+2x-24=E\).
\(F=(x-2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}=x^{2}-4x+4-3=x^{2}-4x+1\).

ب) حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(E=0\).

إظهار الإصلاح
\(E=0 \iff (x+6)(x-4)=0 \iff x+6=0\) أو \(x-4=0\).
\(S_{\mathbb{R}}=\{-6\,;\,4\}\).

II) (وحدة القيس هي الصنتمتر) لاحظ الرسم المقابل حيث :

A B C M N P a b AB = 2√6

1) أ) بيّن أنّ \(\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{1}{b+1}\) ثمّ استنتج أنّ \(a\) و \(b\) مقلوبان.

إظهار الإصلاح
\(AC=AM+MC=a+1\) و \(BC=BP+PC=b+1\).
في المربّع \(CMNP\) لدينا \((MN)\,//\,(CP)\) أي \((MN)\,//\,(BC)\).
حسب مبرهنة طالس في المثلّث \(ABC\) : \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\) أي \(\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{1}{b+1}\).
ومنه \(a(b+1)=a+1\) أي \(ab+a=a+1\) أي \(ab=1\).
إذن \(a\) و \(b\) مقلوبان.

ب) بيّن أنّ \(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}=2\sqrt{6}\).

إظهار الإصلاح
المثلّث \(AMN\) قائم في \(M\) و \(AM=a\) و \(MN=1\) ، فحسب مبرهنة فيثاغور \(AN=\sqrt{a^{2}+1}\).
المثلّث \(NPB\) قائم في \(P\) و \(NP=1\) و \(PB=b\) ، فحسب مبرهنة فيثاغور \(NB=\sqrt{b^{2}+1}\).
و بما أنّ \(N\in[AB]\) فإنّ \(AN+NB=AB=2\sqrt{6}\).
إذن \(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}=2\sqrt{6}\).

2) أ) بيّن أنّ \((a+1)^{2}+(b+1)^{2}=24\).

إظهار الإصلاح
المثلّث \(ABC\) قائم في \(C\) ، فحسب مبرهنة فيثاغور \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\).
\((a+1)^{2}+(b+1)^{2}=(2\sqrt{6})^{2}=4\times 6=24\).

ب) استنتج أنّ \((a+b)^{2}+2(a+b)-24=0\) ثمّ بيّن أنّ \(a+\dfrac{1}{a}=4\).

إظهار الإصلاح
\((a+1)^{2}+(b+1)^{2}=a^{2}+2a+1+b^{2}+2b+1=(a^{2}+b^{2})+2(a+b)+2=24\).
و \(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a+b)^{2}-2\) لأنّ \(ab=1\).
إذن \((a+b)^{2}-2+2(a+b)+2=24\) أي \((a+b)^{2}+2(a+b)-24=0\).
نضع \(S=a+b\) ، فتصبح المعادلة \(S^{2}+2S-24=0\) و هي المعادلة \(E=0\) ، ومنه \(S=-6\) أو \(S=4\).
و بما أنّ \(a>0\) و \(b>0\) فإنّ \(S>0\) ، إذن \(a+b=4\).
و بما أنّ \(b=\dfrac{1}{a}\) فإنّ \(a+\dfrac{1}{a}=4\).

ج) استنتج أنّ \(a\) هو حلّ للمعادلة \(F=0\).

إظهار الإصلاح
\(a+\dfrac{1}{a}=4\) و \(a\neq 0\) ، بالضرب في \(a\) : \(a^{2}+1=4a\).
أي \(a^{2}-4a+1=0\) ، و هي المعادلة \(F=0\).
إذن \(a\) حلّ للمعادلة \(F=0\).

د) جد \(a\) و \(b\).

إظهار الإصلاح
\(F=0 \iff (x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})=0 \iff x=2+\sqrt{3}\) أو \(x=2-\sqrt{3}\).
حسب الرسم \(AM>BP\) أي \(a>b\) ، إذن \(a=2+\sqrt{3}\) و \(b=2-\sqrt{3}\).
تحقّق : \(ab=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\) و \(a+b=4\).

التمرين الرابع (5 ن)

نعتبر دائرة \((\mathcal{C})\) قطرها \([BC]\) و مركزها \(O\) حيث \(BC=8\,\text{cm}\). عيّن على \((\mathcal{C})\) نقطة \(A\) حيث \(AB=6\,\text{cm}\). المماس للدائرة \((\mathcal{C})\) في النقطة \(C\) يقطع \((AB)\) في نقطة \(D\).

1) أ) أحسب \(AC\) ثمّ بيّن أنّ \(AD=\dfrac{14}{3}\).

إظهار الإصلاح
\(A\) نقطة من الدائرة التي قطرها \([BC]\) ، إذن المثلّث \(ABC\) قائم في \(A\).
حسب مبرهنة فيثاغور : \(AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=64-36=28\) ومنه \(AC=2\sqrt{7}\).
المماس في \(C\) عمودي على الشعاع \([OC]\) أي على \((BC)\) ، إذن المثلّث \(BCD\) قائم في \(C\).
و \((CA)\perp(AB)\) و \(D\in(AB)\) ، إذن \(A\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((BD)\).
حسب العلاقات القياسية في المثلّث القائم \(BCD\) : \(BC^{2}=BA\times BD\) ومنه \(64=6\times BD\) أي \(BD=\dfrac{32}{3}\).
\(AD=BD-BA=\dfrac{32}{3}-6=\dfrac{32-18}{3}=\dfrac{14}{3}\).

ب) أحسب \(CD\).

إظهار الإصلاح
في المثلّث \(BCD\) القائم في \(C\) ذي الارتفاع \([CA]\) : \(CD^{2}=DA\times DB=\dfrac{14}{3}\times\dfrac{32}{3}=\dfrac{448}{9}\).
\(CD=\dfrac{\sqrt{448}}{3}=\dfrac{8\sqrt{7}}{3}\).
تحقّق : \(BC^{2}+CD^{2}=64+\dfrac{448}{9}=\dfrac{1024}{9}=\left(\dfrac{32}{3}\right)^{2}=BD^{2}\).

2) عيّن النقطة \(I\) منتصف \([CD]\) و النقطة \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(I\).

أ) أحسب \(AI\).

إظهار الإصلاح
المثلّث \(ACD\) قائم في \(A\) و \(I\) منتصف الوتر \([CD]\).
في مثلّث قائم ، الموسّط الصادر من الرأس القائم يساوي نصف الوتر : \(AI=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{4\sqrt{7}}{3}\).

ب) بيّن أنّ \((AB)\,//\,(CE)\).

إظهار الإصلاح
\(I\) منتصف \([CD]\) ، و \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(I\) إذن \(I\) منتصف \([AE]\).
في الرباعي \(ACED\) ، القطران \([AE]\) و \([CD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(I\) ، إذن \(ACED\) متوازي أضلاع.
ومنه \((AD)\,//\,(CE)\) ، و بما أنّ \(D\in(AB)\) فإنّ \((AD)=(AB)\).
إذن \((AB)\,//\,(CE)\).

3) المستقيمان \((OD)\) و \((BI)\) يتقاطعان في النقطة \(G\) ، و المستقيمان \((CG)\) و \((AD)\) يتقاطعان في النقطة \(F\).

أ) بيّن أنّ \(F\) منتصف \([BD]\).

إظهار الإصلاح
في المثلّث \(BCD\) : \(O\) منتصف \([BC]\) إذن \((DO)\) متوسّط ، و \(I\) منتصف \([CD]\) إذن \((BI)\) متوسّط.
المتوسّطان \((DO)\) و \((BI)\) يتقاطعان في \(G\) ، إذن \(G\) مركز ثقل المثلّث \(BCD\).
ومنه المتوسّط الثالث \((CG)\) يمرّ من منتصف \([BD]\).
و بما أنّ \(F=(CG)\cap(AD)\) و \((AD)=(BD)\) ، فإنّ \(F\) هو منتصف \([BD]\).

ب) بيّن أنّ النقطة \(G\) مركز ثقل المثلّث \(AEB\).

إظهار الإصلاح
\(G\) مركز ثقل المثلّث \(BCD\) و يقع على المتوسّط \([BI]\) حيث \(BG=\dfrac{2}{3}BI\).
في المثلّث \(AEB\) : \(I\) منتصف \([AE]\) ، إذن \([BI]\) متوسّط في هذا المثلّث أيضا.
و بما أنّ \(G\) نقطة من \([BI]\) تحقّق \(BG=\dfrac{2}{3}BI\) ، فإنّ \(G\) مركز ثقل المثلّث \(AEB\).

4) ابن الدائرة \((\mathcal{C}')\) التي قطرها \([CE]\) و التي تقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في نقطة ثانية \(H\).

أ) بيّن أنّ \(H\in(BE)\).

إظهار الإصلاح
\(H\) نقطة من \((\mathcal{C})\) التي قطرها \([BC]\) ، إذن المثلّث \(BHC\) قائم في \(H\) أي \((HB)\perp(HC)\).
\(H\) نقطة من \((\mathcal{C}')\) التي قطرها \([CE]\) ، إذن المثلّث \(CHE\) قائم في \(H\) أي \((HE)\perp(HC)\).
المستقيمان \((HB)\) و \((HE)\) عموديّان على نفس المستقيم \((HC)\) و يمرّان من نفس النقطة \(H\) ، إذن هما نفس المستقيم.
إذن النقاط \(B\) و \(H\) و \(E\) على استقامة واحدة ، أي \(H\in(BE)\).

ب) المستقيم \((CE)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في نقطة ثانية \(K\) ، و المستقيم \((BC)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C}')\) في نقطة ثانية \(L\). بيّن أنّ المستقيمات \((EL)\) و \((CH)\) و \((BK)\) تشترك في نقطة واحدة.

إظهار الإصلاح
نعتبر المثلّث \(BCE\).
\(K\in(\mathcal{C})\) التي قطرها \([BC]\) إذن \((BK)\perp(KC)\) ، و \(K\in(CE)\) ، إذن \((BK)\) هو الارتفاع الصادر من \(B\).
\(L\in(\mathcal{C}')\) التي قطرها \([CE]\) إذن \((EL)\perp(LC)\) ، و \(L\in(BC)\) ، إذن \((EL)\) هو الارتفاع الصادر من \(E\).
من السؤال السابق \(H\in(BE)\) و \((CH)\perp(HB)\) ، إذن \((CH)\) هو الارتفاع الصادر من \(C\).
و ارتفاعات مثلّث تشترك في نقطة واحدة ، إذن المستقيمات \((EL)\) و \((CH)\) و \((BK)\) تشترك في نقطة واحدة.

التمرين الخامس (4 ن)

I) لتكن العبارة \(A=x^{2}-2x-2\).

أ) بيّن أنّ \(A=(x-1)^{2}-3\).

إظهار الإصلاح
\((x-1)^{2}-3=x^{2}-2x+1-3=x^{2}-2x-2=A\).

ب) حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(A=0\).

إظهار الإصلاح
\(A=0 \iff (x-1)^{2}-3=0 \iff (x-1)^{2}-(\sqrt{3})^{2}=0\).
\(\iff (x-1-\sqrt{3})(x-1+\sqrt{3})=0\).
\(S_{\mathbb{R}}=\{1-\sqrt{3}\,;\,1+\sqrt{3}\}\).

II) في الرسم المصاحب \((O,I,J)\) معيّن متعامد في المستوي حيث \(OI=OJ=1\) و \(A(0\,;\,a-1)\) حيث \(a<0\).

D O I C B J A E −3 3 5

1) أ) حدّد بقراءة الشكل إحداثيّات كلّ من \(B\) و \(C\) و \(D\).

إظهار الإصلاح
\(B(5\,;\,0)\) ، \(C(3\,;\,0)\) ، \(D(-3\,;\,0)\).

ب) أحسب \(DC\) و \(OA\).

إظهار الإصلاح
\(D\) و \(C\) على محور الفواصل : \(DC=|3-(-3)|=6\).
\(A(0\,;\,a-1)\) و \(O(0\,;\,0)\) على محور التراتيب : \(OA=|a-1|\).
بما أنّ \(a<0\) فإنّ \(a-1<0\) ومنه \(OA=1-a\).

2) المستقيم المارّ من \(C\) و الموازي لـ \((OJ)\) يقطع \((AD)\) في \(E\).

أ) بيّن أنّ \(A\) منتصف \([ED]\) ثمّ استنتج أنّ \(CE=2-2a\).

إظهار الإصلاح
\(D(-3\,;\,0)\) و \(C(3\,;\,0)\) و \(O(0\,;\,0)\) ، إذن \(O\) منتصف \([DC]\).
\((OA)\) هو محور التراتيب أي \((OJ)\) ، و \((CE)\,//\,(OJ)\) ، إذن \((OA)\,//\,(CE)\).
في المثلّث \(DCE\) : \(O\) منتصف \([DC]\) و المستقيم المارّ من \(O\) و الموازي لـ \((CE)\) يقطع \([DE]\) في \(A\) ، فحسب مبرهنة المنتصفين يكون \(A\) منتصف \([DE]\).
و حسب نفس المبرهنة \(OA=\dfrac{CE}{2}\) ، ومنه \(CE=2\,OA=2(1-a)=2-2a\).

ب) جد بدلالة \(a\) إحداثيّات النقطة \(E\).

إظهار الإصلاح
\(E\) نقطة من المستقيم المارّ من \(C\) و الموازي لـ \((OJ)\) ، إذن فاصلة \(E\) هي \(3\).
\(A\) منتصف \([DE]\) : ترتيبة \(A\) هي نصف مجموع ترتيبتي \(D\) و \(E\).
\(a-1=\dfrac{0+y_E}{2}\) ومنه \(y_E=2a-2\).
إذن \(E(3\,;\,2a-2)\).

3) أ) بيّن أنّ \(DE^{2}=4a^{2}-8a+40\) و \(EB^{2}=4a^{2}-8a+8\).

إظهار الإصلاح
\(D(-3\,;\,0)\) و \(E(3\,;\,2a-2)\) : \(DE^{2}=(3-(-3))^{2}+(2a-2-0)^{2}=36+4a^{2}-8a+4=4a^{2}-8a+40\).
\(B(5\,;\,0)\) و \(E(3\,;\,2a-2)\) : \(EB^{2}=(5-3)^{2}+(0-(2a-2))^{2}=4+4a^{2}-8a+4=4a^{2}-8a+8\).

ب) جد \(a\) في حالة أنّ المثلّث \(BDE\) قائم الزاوية في \(E\).

إظهار الإصلاح
\(DB=|5-(-3)|=8\) ومنه \(DB^{2}=64\).
المثلّث \(BDE\) قائم في \(E\) يعني \(DE^{2}+EB^{2}=DB^{2}\) (العكسية لمبرهنة فيثاغور).
\((4a^{2}-8a+40)+(4a^{2}-8a+8)=64\) أي \(8a^{2}-16a+48=64\).
\(8a^{2}-16a-16=0\) ، بالقسمة على \(8\) : \(a^{2}-2a-2=0\).
و هي المعادلة \(A=0\) من الجزء \(I\) ، ومنه \(a=1-\sqrt{3}\) أو \(a=1+\sqrt{3}\).
و بما أنّ \(a<0\) فإنّ \(a=1-\sqrt{3}\).

4) نعتبر أنّ \(a=1-\sqrt{3}\).

أ) لتكن \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \((OI)\). بيّن أنّ المثلّث \(DEF\) متقايس الأضلاع.

إظهار الإصلاح
\(a=1-\sqrt{3}\) ومنه \(2a-2=2(1-\sqrt{3})-2=-2\sqrt{3}\) ، إذن \(E(3\,;\,-2\sqrt{3})\).
\((OI)\) هو محور الفواصل ، و التناظر بالنسبة إليه يحفظ الفاصلة و يعاكس الترتيبة ، إذن \(F(3\,;\,2\sqrt{3})\).
\(EF=|2\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})|=4\sqrt{3}\).
\(DE^{2}=(3+3)^{2}+(-2\sqrt{3})^{2}=36+12=48\) ومنه \(DE=4\sqrt{3}\).
\(DF^{2}=(3+3)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}=36+12=48\) ومنه \(DF=4\sqrt{3}\).
إذن \(DE=DF=EF=4\sqrt{3}\) ، و المثلّث \(DEF\) متقايس الأضلاع.

ب) بيّن أنّ النقاط \(A\) و \(I\) و \(F\) على استقامة واحدة.

إظهار الإصلاح
\(a=1-\sqrt{3}\) ومنه \(a-1=-\sqrt{3}\) ، إذن \(A(0\,;\,-\sqrt{3})\) ، و \(I(1\,;\,0)\) و \(F(3\,;\,2\sqrt{3})\).
\(AI=\sqrt{(1-0)^{2}+(0+\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2\).
\(IF=\sqrt{(3-1)^{2}+(2\sqrt{3}-0)^{2}}=\sqrt{4+12}=4\).
\(AF=\sqrt{(3-0)^{2}+(2\sqrt{3}+\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6\).
لدينا \(AI+IF=2+4=6=AF\) ، إذن \(I\) تنتمي إلى \([AF]\) ، أي أنّ النقاط \(A\) و \(I\) و \(F\) على استقامة واحدة.