مراجعة الرياضيات

تمرين عدد 1

(I نعتبر العبارة: $A = (4 - x)^2 - 9$ حيث $x \in \mathbb{R}$.
1) فكك إلى جذاء عوامل العبارة $A$.
2) أوجد العدد الحقيقي $x$ حيث $A = 0$.
3) بين أن $A + 5 = (6 - x)(2 - x)$.

(II يُمثل الرسم التالي مثلثا $OAB$ قائم الزاوية في $O$ حيث $OA = 4$ و $OB = 2$ و $K$ منتصف $[AB]$ و $M$ نقطة من $[OA]$ بحيث $OM = x$.
المستقيم المار من $M$ والعمودي على $(OA)$ يقطع $(AB)$ في $N$. 1) بين أن $MN = \frac{4 - x}{2}$.
2) لتكن $P$ المسقط العمودي للنقطة $K$ على $(OA)$ و $S$ مساحة شبه المنحرف $MNKP$.
أ- بين أن $KP = 1$.
ب- بين أن $S = \frac{1}{4}(6 - x)(2 - x)$.
3) أوجد العدد الحقيقي $x$ حيث $4S = 5$.

إصلاح التمرين عدد 1:
I)

1) $A = (4 - x)^2 - 9$

$A = (4 - x - 3)(4 - x + 3)$

$A = (1 - x)(7 - x)$

2) $A = 0 \implies (1 - x)(7 - x) = 0$

يعني $(1 - x) = 0$ أو $(7 - x) = 0$

يعني $x = 1$ أو $x = 7$

3) $A + 5 = (4 - x)^2 - 9 + 5$

$A + 5 = (4 - x)^2 - 4$

$A + 5 = (4 - x - 2)(4 - x + 2)$

$A + 5 = (2 - x)(6 - x)$

II)

1) في المثلث $AOB$ لنا $M \in [OA]$ و $N \in [AB]$

بما أن $(MN) \perp (OA)$ و $(OB) \perp (OA)$ فإن $(MN) // (OB)$

حسب مبرهنة طالس: $\frac{AM}{AO} = \frac{MN}{OB}$

$\frac{4 - x}{4} = \frac{MN}{2}$

$MN = \frac{4 - x}{2}$

2) أ- في المثلث $AOB$ لنا $K$ منتصف $[AB]$ و $(PK) // (OB)$ فإن $P$ هي منتصف $[OA]$

إذن $KP = \frac{OB}{2} = \frac{2}{2} = 1$

ب- $S_{MNKP} = \frac{(PK + MN) \times MP}{2}$

$S = \frac{\left(1 + \frac{4 - x}{2}\right)(2 - x)}{2}$

$S = \frac{\left(\frac{6 - x}{2}\right)(2 - x)}{2}$

$S = \frac{(6 - x)(2 - x)}{4}$

3) $4S = 5 \implies 4 \times \frac{1}{4}(6 - x)(2 - x) = 5$

$(6 - x)(2 - x) = 5$

$A + 5 = 5$

$A = 0$

وبما أن $M \in [OA]$ فإن $0 \le x \le 4$

إذن $x = 1$

تمرين عدد 2

1) لتكن العبارة $A = \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{2}x + 9$ حيث $x \in \mathbb{R}$.
أ) احسب $A$ إذا علمت أن $x = 3$.
ب) بين بالنشر أن $A = (3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x)$.
ج) استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة $A$.

2) نعتبر الشكل التالي حيث $ABCD$ مربع و $EAD$ مثلث قائم الزاوية في $A$.
و $EB = 3$ و $EA = x$ ($x$ عدد حقيقي موجب أصغر من 3). ابحث عن العدد $x$ ليكون قيس مساحة المربع $ABCD$ يساوي قيس مساحة المثلث $EAD$.

إصلاح التمرين عدد 2:

1) أ) إذا كان $x = 3$:

$A = \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{15}{2}(3) + 9$

$A = \frac{27}{2} - \frac{45}{2} + \frac{18}{2} = 0$

ب) $(3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x) = 9 - 6x + x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}x^2$

$= \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{2}x + 9 = A$

ج) $A = (3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x)$

$A = (3 - x)\left[(3 - x) - \frac{1}{2}x\right]$

$A = (3 - x)\left(3 - \frac{3}{2}x\right)$

2) $S_{ABCD} = S_{AED}$

بما أن $AB = EB - EA = 3 - x$ فإن ضلع المربع هو $(3 - x)$

و $AD = AB = 3 - x$

مساحة المربع: $S_{ABCD} = (3 - x)^2$

مساحة المثلث القائم: $S_{AED} = \frac{EA \times AD}{2} = \frac{1}{2}x(3 - x)$

$(3 - x)^2 = \frac{1}{2}x(3 - x)$

$(3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x) = 0$

$A = 0$

$(3 - x)\left(3 - \frac{3}{2}x\right) = 0$

يعني $3 - x = 0$ أو $3 - \frac{3}{2}x = 0$

يعني $x = 3$ أو $x = 2$

بما أن $x < 3$ فإن الحل هو $x = 2$

تمرين عدد 3

(I لتكن العبارة $A = x^2 + 2x - 80$.
1) بين أن $A = (x + 1)^2 - 81$.
2) استنتج تفكيكا للعبارة $A$.

(II $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ بحيث $AC = x$ و $AB = x + 2$ و $x \in \mathbb{R}_+$.
1) أوجد $x$ إذا علمت أن مساحة المثلث $ABC$ تساوي $40\text{ cm}^2$.
2) لتكن $J$ نقطة من $[AB]$ حيث $BJ = 2\text{ cm}$ و $\Delta$ المستقيم المار من $J$ والعمودي على $(AB)$ يقطع $[BC]$ في $I$.
أ) بين أن $\frac{IB}{IC} = \frac{2}{x}$.
ب) أوجد $x$ ليكون $I$ منتصف $[BC]$.

إصلاح التمرين عدد 3:
I)

1) $(x + 1)^2 - 81 = x^2 + 2x + 1 - 81 = x^2 + 2x - 80 = A$

2) $A = (x + 1)^2 - 81 = (x + 1 - 9)(x + 1 + 9)$

$A = (x - 8)(x + 10)$

II)

1) $S_{ABC} = 40 \implies \frac{AC \times AB}{2} = 40$

$\frac{x(x + 2)}{2} = 40 \implies x(x + 2) = 80$

$x^2 + 2x - 80 = 0 \implies A = 0$

$(x - 8)(x + 10) = 0$

يعني $x = 8$ أو $x = -10$

بما أن $x$ عدد موجب فإن $x = 8$

2) أ) لنا $(IJ) \perp (AB)$ و $(AC) \perp (AB)$ إذن $(IJ) // (AC)$

حسب مبرهنة طالس في المثلث $ABC$:

$\frac{IB}{IC} = \frac{JB}{JA}$

بما أن $BJ = 2$ و $JA = AB - BJ = (x + 2) - 2 = x$

فإن $\frac{IB}{IC} = \frac{2}{x}$

ب) $I$ منتصف $[BC]$ يعني $IB = IC \implies \frac{IB}{IC} = 1$

يعني $\frac{2}{x} = 1 \implies x = 2$

تمرين عدد 5

1) نعتبر العدد الحقيقي $a = \sqrt{3}^{1001} \times \sqrt{3}^{-1000} + \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}$.
بين أن $a = 2\sqrt{3} - \sqrt{2}$.

2) أوجد كتابة مقامها عدد صحيح للعدد $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$.

3) نعتبر العدد الحقيقي $b = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} - \sqrt{48} + \sqrt{8}$.
بين أن $b = \sqrt{2} - 3\sqrt{3}$.
أ- أوجد حصرا مداه $10^{-1}$ لكل من $\sqrt{2}$ و $\sqrt{3}$.
ب- بين أن $a \in ]1.9, 2.2[$ و $b \in ]-4, -3.6[$.
ج- استنتج حصرا للعدد $ab$.

4) نعتبر المتراجحة $I : ax \le \sqrt{3}a - bx$.
أ- حل في $\mathbb{R}$ المتراجحة $I$.
ب- حدد مجموعة حلول المتراجحة $I$ في المجال $[-3, -2[$.

إصلاح التمرين عدد 5:

1) $a = \sqrt{3}^{1001 - 1000} + |\sqrt{2} - \sqrt{3}|$

بما أن $\sqrt{2} < \sqrt{3}$ فإن $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

$a = \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{2}$

2) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

3) $b = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - \sqrt{16 \times 3} + \sqrt{4 \times 2}$

$b = \sqrt{3} - \sqrt{2} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{2} = -3\sqrt{3} + \sqrt{2}$

أ- $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ و $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$

ب- حصر $a$:

$1.7 < \sqrt{3} < 1.8 \implies 3.4 < 2\sqrt{3} < 3.6$

$1.4 < \sqrt{2} < 1.5 \implies -1.5 < -\sqrt{2} < -1.4$

$3.4 - 1.5 < 2\sqrt{3} - \sqrt{2} < 3.6 - 1.4 \implies 1.9 < a < 2.2$

إذن $a \in ]1.9, 2.2[$

حصر $b$:

$1.7 < \sqrt{3} < 1.8 \implies -5.4 < -3\sqrt{3} < -5.1$

$1.4 - 5.4 < \sqrt{2} - 3\sqrt{3} < 1.5 - 5.1 \implies -4 < b < -3.6$

إذن $b \in ]-4, -3.6[$

ج- لدينا $3.6 < -b < 4$ و $1.9 < a < 2.2$

$1.9 \times 3.6 < a(-b) < 2.2 \times 4$

$6.84 < -ab < 8.8 \implies -8.8 < ab < -6.84$

4) أ- $ax \le \sqrt{3}a - bx \implies ax + bx \le \sqrt{3}a$

$x(a + b) \le \sqrt{3}a$

نحسب $a + b = (2\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 3\sqrt{3}) = -\sqrt{3} < 0$

$- \sqrt{3}x \le \sqrt{3}a \implies x \ge \frac{\sqrt{3}a}{-\sqrt{3}}$

$x \ge -a \implies S_{\mathbb{R}} = [-a, +\infty[$

ب- الحصر $1.9 < a < 2.2$ لا يكفي للفصل ؛ نقارن $a$ بـ $2$ :

$a > 2 \iff 2\sqrt{3} > 2+\sqrt{2} \iff 12 > 6+4\sqrt{2} \iff 36 > 32$ ، وهو صحيح ، إذن $a > 2$ ومنه $-a < -2$

$S = [-a, +\infty[ \;\cap\; [-3, -2[ \;=\; [-a, -2[ \;=\; [\sqrt{2}-2\sqrt{3}, -2[$
(السند الأصلي يجيب $\emptyset$ وهي غلطة : بما أنّ $a>2$ فإنّ التقاطع غير فارغ)

تمرين عدد 6

نعتبر المجالين التاليين $I = [-2, 3]$ و $J = [-\frac{5}{2}, -1]$.
1) ليكن $x \in I$ و $y \in J$. أوجد حصرا لـ $x + y$ و $y - x$.
2) أ- بين أن $0 \le (2x - 1)^2 \le 25$.
ب- استنتج أن $-\frac{1}{4} \le x^2 - x \le 6$.
3) أ- مثل على المستقيم العددي المجالين $I$ و $J$ ثم حدد $I \cap J$ و $I \cap \mathbb{N}$.
ب- بين أن $-\frac{\sqrt{7}}{2} \in I \cap J$.
4) لتكن $x$ عددا حقيقيا حيث $-5 < 3x - 5 < -2$.
أ- بين أن $x \in ]0, 1[$.
ب- لتكن العبارة $A = |3x - 5| - |x - 4|$. اختصر العبارة $A$ ثم استنتج أن $|A| < 1$.

إصلاح التمرين عدد 6:

1) $-2 \le x \le 3$ و $-\frac{5}{2} \le y \le -1$

$-2 + \left(-\frac{5}{2}\right) \le x + y \le 3 + (-1) \implies -\frac{9}{2} \le x + y \le 2$

$-3 \le -x \le 2 \implies -\frac{5}{2} + (-3) \le y - x \le -1 + 2 \implies -\frac{11}{2} \le y - x \le 1$

2) أ- $-2 \le x \le 3 \implies -4 \le 2x \le 6 \implies -5 \le 2x - 1 \le 5$

إذن $|2x - 1| \le 5 \implies 0 \le (2x - 1)^2 \le 25$

ب- $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$

$0 \le 4x^2 - 4x + 1 \le 25 \implies -1 \le 4(x^2 - x) \le 24$

$-\frac{1}{4} \le x^2 - x \le 6$

3) أ- $I \cap J = [-2, -1]$

$I \cap \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3\}$

ب- $\left(-\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 = \frac{7}{4} = 1.75$

بما أن $1 < 1.75 < 4$ فإن $1 < -\frac{\sqrt{7}}{2} < 2 \implies -2 < -\frac{\sqrt{7}}{2} < -1$

إذن $-\frac{\sqrt{7}}{2} \in [-2, -1] = I \cap J$

4) أ- $-5 < 3x - 5 < -2 \implies 0 < 3x < 3 \implies 0 < x < 1 \implies x \in ]0, 1[$

ب- بما أن $3x - 5 < 0$ فإن $|3x - 5| = -3x + 5$

بما أن $x \in ]0, 1[$ فإن $x - 4 < 0 \implies |x - 4| = -x + 4$

$A = (-3x + 5) - (-x + 4) = -2x + 1$

$0 < x < 1 \implies 0 < 2x < 2 \implies -1 < -2x + 1 < 1 \implies |A| < 1$

تمرين عدد 7

(I نعتبر العبارة $A = 2x^2 - 8$ حيث $x \in \mathbb{R}$.
1) أ- أحسب القيمة العددية للعبارة $A$ إذا كان $x = -1 + \sqrt{2}$.
ب- بين أن $\frac{A}{2} = (x - 2)(x + 2)$.
2) لتكن العبارة $B = 2(x - 1)^2 - 4(x - \frac{3}{2})$.
أ- انشر واختصر العبارة $B$.
ب- استنتج أن $B = 2(x - 2)^2$.
3) بين أن $\frac{A}{2} - B = (x - 2)(6 - x)$.
4) حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $\frac{A}{2} = B$.

(II نعتبر الرسم التالي حيث $BCE$ مثلث قائم في $C$ و $M$ منتصف $[BE]$.
$ABCD$ مربع مساحته $x^2 - 4x + 4$ و $CE = 8x + 16$ و $x > 2$. 1) بين أن $BC = x - 2$.
2) بين أن مساحة المثلث $BCE$ هي $4(x + 2)(x - 2)$.
3) أحسب $S_{MBC}$.
4) أوجد $x$ في حالة ربع مساحة $MBC$ تساوي مساحة المربع $ABCD$.

الرسم ليس مرسوما بمقياس

إصلاح التمرين عدد 7:
I)

1) أ- $A = 2(-1 + \sqrt{2})^2 - 8 = 2(1 - 2\sqrt{2} + 2) - 8 = 6 - 4\sqrt{2} - 8 = -2 - 4\sqrt{2}$

ب- $\frac{A}{2} = \frac{2(x^2 - 4)}{2} = (x - 2)(x + 2)$

2) أ- $B = 2(x^2 - 2x + 1) - 4x + 6 = 2x^2 - 4x + 2 - 4x + 6 = 2x^2 - 8x + 8$

ب- $B = 2(x^2 - 4x + 4) = 2(x - 2)^2$

3) $\frac{A}{2} - B = (x - 2)(x + 2) - 2(x - 2)^2 = (x - 2)[(x + 2) - 2(x - 2)]$

$= (x - 2)(x + 2 - 2x + 4) = (x - 2)(6 - x)$

4) $\frac{A}{2} = B \implies \frac{A}{2} - B = 0 \implies (x - 2)(6 - x) = 0$

يعني $x = 2$ أو $x = 6$

II)

1) $S_{ABCD} = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

بما أن $x > 2$ فإن طول الضلع $BC = \sqrt{(x - 2)^2} = x - 2$

2) $S_{BCE} = \frac{CE \times BC}{2} = \frac{(8x + 16)(x - 2)}{2} = \frac{8(x + 2)(x - 2)}{2} = 4(x + 2)(x - 2)$

3) بما أن $M$ منتصف $[BE]$ فإن $[CM]$ هو الموسط الموافق لـ $[BE]$ في المثلث $BCE$

$S_{MBC} = \frac{S_{BCE}}{2} = 2(x + 2)(x - 2)$

4) $\frac{1}{4} S_{MBC} = S_{ABCD} \implies \frac{2(x + 2)(x - 2)}{4} = (x - 2)^2$

$(x + 2)(x - 2) = 2(x - 2)^2 \implies \frac{A}{2} = B$

وبما أن $x > 2$ فإن الحل هو $x = 6$

المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة

سلسلة تمارين مراجعة - 9 أساسي | الأستاذ: فوزي الغربي