الجذاءات المعتبرة والعبارات الجبرية (42 تمرين)

التمرين رقم 1

نعتبر العبارة : \(E=x^{2}-4x-5\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. احسب القيمة العددية لـ \(E\) إذا كان \(x=-\sqrt{3}\)
  2. بين أن \(E=(x-2)^{2}-9\)
  3. استنتج تفكيكا للعبارة \(E\) إلى جذاء عوامل
  4. أوجد الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \((x-5)(x+1)=0\)
إظهار الإصلاح
  1. حساب القيمة العددية لـ \(E\) عند \(x=-\sqrt{3}\) : \[E = (-\sqrt{3})^2 - 4(-\sqrt{3}) - 5 = 3 + 4\sqrt{3} - 5 = 4\sqrt{3} - 2\]
  2. تبيين أن \(E=(x-2)^{2}-9\) : \[(x-2)^2 - 9 = x^2 - 4x + 4 - 9 = x^2 - 4x - 5 = E\]
  3. تفكيك العبارة \(E\) : \[E = (x-2)^2 - 3^2 = ((x-2)-3)((x-2)+3) = (x-5)(x+1)\]
  4. إيجاد الأعداد الحقيقية \(x\) : \[(x-5)(x+1)=0 \iff x-5=0 \text{ أو } x+1=0 \iff x=5 \text{ أو } x=-1\]

التمرين رقم 2

نعتبر العبارة : \(A=4x^{2}+4x+1\) حيث \(x\) عدد حقيقي

  1. احسب القيمة العددية لـ \(A\) في حالة : \(x=2\) و \(x=-\frac{5}{2}\)
  2. أوجد \(x\) في حالة \(A=0\)
إظهار الإصلاح
  1. حساب القيمة العددية لـ \(A\) :
    • إذا كان \(x=2\) : \(A = 4(2)^2 + 4(2) + 1 = 16 + 8 + 1 = 25\)
    • إذا كان \(x=-\frac{5}{2}\) : \(A = 4\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{5}{2}\right) + 1 = 25 - 10 + 1 = 16\)
  2. إيجاد \(x\) في حالة \(A=0\) : \[A = (2x+1)^2 = 0 \iff 2x+1=0 \iff x=-\frac{1}{2}\]

التمرين رقم 3

فكك إلى جذاء عوامل العبارات التالية حيث \(a\) عدد حقيقي :

\(A=3a+6\)

\(B=6a-18\)

\(C=5(a+1)-3(a+1)\)

\(D=(a+1)(a-2)-a(2-a)\)

\(E=(a-2)(2a+5)+(2a-5)(2a-4)\)

إظهار الإصلاح
  • \(A = 3(a + 2)\)
  • \(B = 6(a - 3)\)
  • \(C = (a+1)(5 - 3) = 2(a+1)\)
  • \(D = (a+1)(a-2) + a(a-2) = (a-2)(2a+1)\)
  • \(E = (a-2)(2a+5) + 2(2a-5)(a-2) = (a-2)(6a-5)\)

التمرين رقم 32

  1. نعتبر العبارة : \(E=(x+1)^{2}-4\) حيث \(x\) عدد حقيقي .
    أ- احسب القيمة العددية للعبارة \(E\) في حالة \(x=-\frac{1}{2}\)
    ب- بين أن \(E=(x-1)(x+3)\)
    ج- أوجد \(x\) بحيث : \(E=0\)
  2. نعتبر الشكل التالي حيث كلا من ABCD و EFGD مربعات حيث : \(AB=2\sqrt{2}\) و \(x\) عدد حقيقي حيث \(0 \le x \le 2\sqrt{2}-1\)
    أوجد \(x\) بحيث : \(S_{EFGD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)
A B C D E F G 1 x 1 x AB = 2√2
إظهار الإصلاح
  1. أ- عند \(x=-\frac{1}{2}\) : \(E = -\frac{15}{4}\)
    ب- \(E = (x+1-2)(x+1+2) = (x-1)(x+3)\)
    ج- \(E=0 \iff x=1\) أو \(x=-3\)
  2. \(S_{ABCD} = (2\sqrt{2})^2 = 8\).
    \(S_{EFGD} = (x+1)^2\).
    \(S_{EFGD} = \frac{1}{2}S_{ABCD} \iff (x+1)^2 = 4 \iff (x+1)^2 - 4 = 0 \iff E = 0\).
    بما أن \(x \ge 0\)، فإن الحل هو \(x = 1\).

التمرين رقم 33

في الرسم التالي :

احسب ، بدلالة \(x\) ، مساحة الجزء الملون .

A B C D E F H x + 1 x
إظهار الإصلاح
\[S = S_{ABCD} - S_{EFCH} = (x+1)^2 - x^2 = 2x + 1\]

التمرين رقم 34

يمثل الرسم التالي مربعا و مستطيلا حيث \(a\) عدد صحيح طبيعي

a + 2 a 1
  1. بين أن قيس المساحة الملونة يساوي \((a+1)^{2}\)
  2. استنتج حساب \(\sqrt{2013\times2011+1}\)
إظهار الإصلاح
  1. مساحة المستطيل هي \(a(a+2)\) ومساحة المربع هي \(1\).
    المساحة الملونة الإجمالية : \(S = a(a+2) + 1 = a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2\).
  2. \(\sqrt{2013 \times 2011 + 1} = \sqrt{(2011+1)^2} = 2012\).

التمرين رقم 36

  1. بين أن \((4-x)^{2}-9=(1-x)(7-x)\) حيث \(x\) عدد حقيقي
  2. في الرسم التالي :
    • ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث \(AB=4\) و \(AC=8\)
    • M نقطة من [AB] بحيث \(MB=x\)
    • N نقطة من [AC] بحيث \((MN)//(BC)\)
    أ- بين أن \(CN=2x\)
    ب- بين أن قيس مساحة المثلث AMN يساوي \(\frac{1}{2}(4-x)(8-2x)\)
    ج- أوجد \(x\) بحيث يكون قيس مساحة المثلث AMN يساوي 9
A B C M N x AC = 8 AB = 4
إظهار الإصلاح
  1. \((4-x)^2 - 9 = (4-x-3)(4-x+3) = (1-x)(7-x)\)
  2. أ- بتطبيق طاليس : \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies CN = 2x\).
    ب- \(S_{AMN} = \frac{1}{2} AM \times AN = \frac{1}{2}(4-x)(8-2x) = (4-x)^2\).
    ج- \(S_{AMN} = 9 \iff (4-x)^2 - 9 = 0 \iff (1-x)(7-x) = 0 \iff x = 1\).

التمرين رقم 38

في الرسم التالي : ABC مثلث قائم في B حيث \(AB=4\) و \(BC=3\). M نقطة من [AB] بحيث \(AM=x\). المستقيم العمودي على (AB) في M يقطع [AC] في N.

A B C M N x AB = 4 BC = 3
  1. برهن أنّ \(MN = \frac{3}{4}x\)
  2. جد قيمة \(x\) بحيث تكون مساحتا المثلث \(AMN\) و الرباعي \(MNCB\) متقايستين
إظهار الإصلاح
  1. في المثلث \(ABC\) لنا \(M\in[AB]\) و \(N\in[AC]\) و \((MN)\perp(AB)\) و \((BC)\perp(AB)\) إذن \((MN)//(BC)\).
    حسب مبرهنة طالس : \(\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\) أي \(\frac{x}{4}=\frac{MN}{3}\) ومنه \(MN=\frac{3}{4}x\).
  2. \(S_{AMN}=\frac{AM\times MN}{2}=\frac{x\times\frac{3}{4}x}{2}=\frac{3}{8}x^{2}\) و \(S_{ABC}=\frac{4\times 3}{2}=6\).
    الرباعي \(MNCB\) هو ما تبقّى من المثلث \(ABC\) بعد حذف \(AMN\) ، فتقايس المساحتين يعني \(S_{AMN}=\frac{1}{2}S_{ABC}=3\).
    \(\frac{3}{8}x^{2}=3 \iff x^{2}=8 \iff x=2\sqrt{2}\) (لأنّ \(x>0\)).

التمرين رقم 39

لاحظ الرسم حيث \(AB=x-6\) و \(AC=x-5\) و \(AM=x\) و \(FB=PC=x+6\) حيث \(x > 6\).

A B C M F P x − 6 x − 5 x x + 6 x + 6
الرسم ليس مرسوما بمقياس (أبعاده ليست متناسبة مع الأبعاد المقدّمة)
  1. أ- بيّن أنّ \(AF^{2}=(x+6)^{2}-(x-6)^{2}\)
    ب- نعتبر العبارة الجبريّة \(T=AF^{2}\) . بيّن أنّ \(T=24x\)
  2. نعتبر العبارة الجبريّة \(S=AP^{2}\) . بيّن أنّ \(S=11(2x+1)\)
    احسب كلاّ من العددين : \(a=\dfrac{456789006^{2}-456788994^{2}}{24000}\) و \(b=409308011^{2}-409308000^{2}\)
إظهار الإصلاح
  1. أ- \(AF^2 = (x+6)^2 - (x-6)^2\)
    ب- \(T = 24x\)
  2. \(S = AP^2 = 11(2x+1)\)
  3. \(a = 456789\)، \(b = 9004776121\).

التمرين رقم 40

في الرسم : ABCD مربع قيس ضلعه 10. E نقطة من [BC] بحيث \(EB=1,6\). O نقطة من [AB] بحيث \(OA=x\).

A B C D O E x 1,6 cote = 10
  1. احسب \(DE\)
  2. احسب \(OD^{2}\) و \(OE^{2}\) بدلالة \(x\)
  3. بيّن أنّه : إذا كان \(ODE\) قائما في \(O\) فإنّ \(x^{2}-10x+16=0\)
  4. أ- بيّن أنّ \(x^{2}-10x+16=(x-5)^{2}-9\)
    ب- فكّك العبارة \((x-5)^{2}-9\)
    ج- أوجد \(x\) بحيث يكون المثلث \(ODE\) قائما في \(O\)
  5. لتكن \(I\) منتصف \([DE]\) . بيّن أنّه في حالة \(x=2\) فإنّ النقاط \(O\) و \(E\) و \(C\) و \(D\) تنتمي إلى نفس الدائرة \(\mathcal{C}\) محدّدا مركزها و شعاعها
إظهار الإصلاح
  1. المثلث \(DCE\) قائم في \(C\) و \(CE = BC - EB = 10 - 1{,}6 = 8{,}4\).
    حسب مبرهنة فيثاغور : \(DE^{2}=DC^{2}+CE^{2}=10^{2}+(8{,}4)^{2}=100+70{,}56=170{,}56\) ومنه \(DE=\sqrt{170{,}56}\).
  2. \(OD^2 = 100 + x^2\)، \(OE^2 = x^2 - 20x + 102.56\)
  3. \(ODE\) قائم في O \(\iff x^2 - 10x + 16 = 0\)
  4. \(x^{2}-10x+16=(x-5)^{2}-9=(x-5-3)(x-5+3)=(x-8)(x-2)\) ، ومنه \(x = 8\) أو \(x = 2\).
  5. في حالة \(x=2\) يكون المثلث \(ODE\) قائما في \(O\) ، إذن \(O\) تنتمي إلى الدائرة التي قطرها \([DE]\).
    و المثلث \(DCE\) قائم في \(C\) ، إذن \(C\) تنتمي أيضا إلى الدائرة التي قطرها \([DE]\).
    و \(D\) و \(E\) طرفا هذا القطر. إذن النقاط \(O\) و \(E\) و \(C\) و \(D\) تنتمي إلى نفس الدائرة \(\mathcal{C}\) التي مركزها \(I\) منتصف \([DE]\) و شعاعها \(\frac{DE}{2}=\frac{\sqrt{170{,}56}}{2}\).

التمرين رقم 42 (امتحان ختم التعليم الأساسي 2014)

في الرسم المقابل لدينا :

  1. بيّن أنّ \(AH^{2}=x(6-x)\) ثمّ استنتج أنّ العدد الحقيقي \(x\) يحقّق المساواة \(x^{2}-6x+\frac{27}{4}=0\)
  2. بيّن أنّ \(x^{2}-6x+\frac{27}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{9}{2}\right)\)
  3. استنتج \(CH\) ثمّ احسب \(AB\)
A B C H I AH
إظهار الإصلاح
  1. \(AH^2 = HB \times HC \implies x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0\).
  2. \((x-\frac{3}{2})(x-\frac{9}{2}) = x^2 - 6x + \frac{27}{4}\).
  3. \(x^{2}-6x+\frac{27}{4}=0\) يعني \(x=\frac{3}{2}\) أو \(x=\frac{9}{2}\).
    حسب الرسم \(CH<HB\) ، إذن \(CH=\frac{3}{2}\) و \(HB=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\).
    في المثلث \(ABC\) القائم في \(A\) : \(AB^{2}=BH\times BC=\frac{9}{2}\times 6=27\) ومنه \(AB=3\sqrt{3}\).