سلسلة تمارين ومواضيع رياضيات

تمرين 1 : (4 نقاط) - الصفحة 7

يلي كل سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث مقترحات أحدها فقط صحيح. انقل رقم السؤال والإجابة الصحيحة الموافقة له.

1) إذا كان $a \in \mathbb{R}$ و $b \in \mathbb{R}$ بحيث $a < b$ فإن:

أ) $a - 1 < b - 2$ ب) $a - 2 < b - 1$ ج) $a - 1 > b - 2$

لدينا المعطى: $a < b$

نطرح العدد $2$ من طرفي المتباينة: $a - 2 < b - 2$

بما أن $-2 < -1$، فإن $a - 2 < a - 1$

وبالتالي بالمقارنة المباشرة: $a - 2 < b - 1$

الإجابة الصحيحة هي: ب

2) إذا كان $ABC$ مثلثًا قائم الزاوية في $A$ بحيث $AB = 2$ و $AC = \sqrt{5}$، وإذا كان $G$ مركز ثقل المثلث $ABC$ فإن:

أ) $AG = \frac{1}{2}$ ب) $AG = 1$ ج) $AG = \frac{3}{2}$

المثلث $ABC$ قائم في $A$، إذن حسب خاصية الوتر:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$

إذن $BC = \sqrt{9} = 3$

لتكن $I$ منتصف $[BC]$، فإن طول الموسط الصادر من القائمة $A$ هو: $AI = \frac{BC}{2} = \frac{3}{2}$

بما أن $G$ هو مركز ثقل المثلث، فإن $AG = \frac{2}{3} AI$

$AG = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$

الإجابة الصحيحة هي: ب

3) إذا كان $ABC$ مثلثًا قائم الزاوية في $A$ وإذا كان المسقط العمودي لـ $A$ على $(BC)$ هو $H$ بحيث $HB = \sqrt{3} - 1$ و $HC = \sqrt{3} + 1$ فإن:

أ) $AH = \sqrt{2}$ ب) $AH = \sqrt{3}$ ج) $AH = 2$

في المثلث القائم $ABC$ والارتفاع $AH$ الصادر من الرأس القائم:

تطبق العلاقات المترية: $AH^2 = HB \times HC$

$AH^2 = (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$

$AH^2 = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

بما أن الطول موجب: $AH = \sqrt{2}$

الإجابة الصحيحة هي: أ

4) في المستطيل $ABCD$ حيث $AB = \sqrt{3}$ و $AD = 1$، المسقط العمودي $HK$:

أ) $HK = 1$ ب) $HK = \frac{3}{2}$ ج) $HK = \frac{\sqrt{3}}{2}$

في المثلث القائم $ABD$، قطر المستطيل $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$

حساب مساحة المثلث $ABD$ بطريقتين: $\frac{AB \times AD}{2} = \frac{BD \times HK}{2}$

أي أن: $\sqrt{3} \times 1 = 2 \times HK$

بالتالي: $HK = \frac{\sqrt{3}}{2}$

الإجابة الصحيحة هي: ج

تمرين 2 : (6 نقاط) - الصفحة 7

نعتبر العددين:

$$a = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}}{2} - \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \quad \text{و} \quad b = \sqrt{45} - \sqrt{20} + 1$$

1) بين أن $a = \sqrt{10}$ و $b = \sqrt{5} + 1$.

تبسيط $a$:

$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

$\left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

$a = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{2} - \frac{7}{2} = \frac{7 + 2\sqrt{10} - 7}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

تبسيط $b$:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$b = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 1 = \sqrt{5} + 1$

2) أ) بين أن $a^{2} - b^{2} = 4 - 2\sqrt{5}$.
ب) قارن $4$ و $2\sqrt{5}$.
ج) استنتج مقارنة لـ $a$ و $b$.

أ) حساب الفارق $a^2 - b^2$:

$a^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$

$b^2 = (\sqrt{5} + 1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$

$a^2 - b^2 = 10 - (6 + 2\sqrt{5}) = 4 - 2\sqrt{5}$

ب) مقارنة $4$ و $2\sqrt{5}$:

$4^2 = 16$

$(2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$

بما أن $16 < 20$ والعددين موجبان، فإن $4 < 2\sqrt{5}$

ج) استنتاج مقارنة $a$ و $b$:

بما أن $4 < 2\sqrt{5}$، فإن $4 - 2\sqrt{5} < 0$

إذن $a^2 - b^2 < 0 \implies a^2 < b^2$

بما أن $a$ و $b$ عددان موجبان قطعا، فإن $a < b$

3) قارن: أ) $d = \sqrt{10} - \frac{1}{2}$ و $e = \sqrt{5} + \frac{1}{2}$
ب) $f = 2\sqrt{5}$ و $g = \sqrt{10} + \sqrt{2}$

أ) مقارنة $d$ و $e$:

$d - e = (\sqrt{10} - \frac{1}{2}) - (\sqrt{5} + \frac{1}{2}) = \sqrt{10} - \sqrt{5} - 1$

نعلم أن $a < b \implies \sqrt{10} < \sqrt{5} + 1 \implies \sqrt{10} - \sqrt{5} - 1 < 0$

إذن $d < e$

ب) مقارنة $f$ و $g$:

$f^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$

$g^2 = (\sqrt{10} + \sqrt{2})^2 = 10 + 2\sqrt{20} + 2 = 12 + 4\sqrt{5}$

نارن $20$ و $12 + 4\sqrt{5} \implies$ نطرح $12 \implies$ نقارن $8$ و $4\sqrt{5}$

$8^2 = 64$ و $(4\sqrt{5})^2 = 80 \implies 64 < 80$

إذن $f^2 < g^2 \implies f < g$

4) ليكن العدد $c = \frac{b-2}{4}$:
أ) بين أن العددين $b$ و $c$ مقلوبان.
ب) استنتج أن $\frac{ab}{4} < \frac{a}{2} + 1$.

أ) إثبات أن $b \times c = 1$:

$b - 2 = (\sqrt{5} + 1) - 2 = \sqrt{5} - 1$

$c = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

$b \times c = (\sqrt{5} + 1) \times \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

إذن $b$ و $c$ مقلوبان.

ب) المتباينة:

نعلم أن $a < b \implies a \times c < b \times c$ (لأن $c > 0$)

$a \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} < 1 \implies a(\sqrt{5}-1) < 4$

وبإعادة صياغة العبارة حسب مطلوب التمرين نصل للمطلوب بنفس التكافؤ.

تمرين 3 : (4 نقاط) - الصفحة 7

تعتبر العبارة $A = x^{2} - 6x - 3$ حيث $x \in \mathbb{R}$.

1) أحسب $A$ في حالة $x = 3 + 2\sqrt{3}$.

نعوض $x$ بـ $3 + 2\sqrt{3}$:

$A = (3 + 2\sqrt{3})^2 - 6(3 + 2\sqrt{3}) - 3$

$(3 + 2\sqrt{3})^2 = 3^2 + 2(3)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 12\sqrt{3} + 12 = 21 + 12\sqrt{3}$

$-6(3 + 2\sqrt{3}) = -18 - 12\sqrt{3}$

$A = 21 + 12\sqrt{3} - 18 - 12\sqrt{3} - 3 = (21 - 18 - 3) + (12\sqrt{3} - 12\sqrt{3}) = 0$

2) أ) بين أن $A = (x - 3)^{2} - 12$.
ب) استنتج تفكيكًا للعبارة $A$.

أ) النشر والتفكيك:

$(x - 3)^2 - 12 = (x^2 - 6x + 9) - 12 = x^2 - 6x - 3 = A$

ب) التفكيك إلى جذاء عوامل:

$A = (x - 3)^2 - (\sqrt{12})^2 = (x - 3)^2 - (2\sqrt{3})^2$

باستعمال الجذاء المعتبر $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$A = ((x - 3) - 2\sqrt{3})((x - 3) + 2\sqrt{3}) = (x - 3 - 2\sqrt{3})(x - 3 + 2\sqrt{3})$

3) هندسة: المستطيل $OABC$ والدائرة $\mathcal{C}$.
أ) بين أن $y = x - 1$.
ب) بين أن $x^{2} + (x - 1)^{2} = (x + 2)^{2}$.
ج) أوجد شعاع الدائرة $\mathcal{C}$.

أ) بيان أن $y = x - 1$:

شعاع الدائرة $R = OI = OJ$.

$OI = OA + AI = x + 2$

$OJ = OC + CJ = y + 3$

إذن $x + 2 = y + 3 \implies y = x + 2 - 3 \implies y = x - 1$

ب) المعادلة:

النقطة $B$ ينتمي إلى الدائرة $\mathcal{C}$ إذن $OB = R = x + 2$

في المثلث القائم $OAB$: $OB^2 = OA^2 + AB^2 = x^2 + y^2$

نعوض $y$ بـ $(x-1)$: $x^2 + (x - 1)^2 = (x + 2)^2$

ج) شعاع الدائرة:

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = x^2 + 4x + 4 \implies x^2 - 6x - 3 = 0 \implies A = 0$

حلول المعادلة $A=0$ هي $x = 3 + 2\sqrt{3}$ أو $x = 3 - 2\sqrt{3}$ (مرفوض لأنه سالب)

إذن $x = 3 + 2\sqrt{3}$ وشعاع الدائرة $R = x + 2 = 5 + 2\sqrt{3}$

تمرين: الجذاءات المعتبرة والعبارات الجبرية - الصفحة 8

نعتبر العبارة $A = x^{2} - 4x - 12$ حيث $x$ عدد حقيقي.

1) احسب القيمة العددية للعبارة $A$ إذا كان:
أ) $x = 1$
ب) $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

أ) من أجل $x = 1$:

$A = (1)^2 - 4(1) - 12 = 1 - 4 - 12 = -15$

ب) من أجل $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$A = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 12$

$A = \frac{3}{4} + 2\sqrt{3} - 12 = 2\sqrt{3} - \frac{45}{4}$

2) أ) بين أن $A = (x - 2)^{2} - 16$.
ب) استنتج تفكيكًا إلى جذاء عوامل للعبارة $A$.
ج) أوجد الأعداد الحقيقية $x$ حيث $A = 0$.

أ) إثبات الصيغة:

$(x - 2)^2 - 16 = x^2 - 4x + 4 - 16 = x^2 - 4x - 12 = A$

ب) التفكيك:

$A = (x - 2)^2 - 4^2 = ((x - 2) - 4)((x - 2) + 4) = (x - 6)(x + 2)$

ج) حل المعادلة $A = 0$:

$(x - 6)(x + 2) = 0$

يعني $x - 6 = 0$ أو $x + 2 = 0$

إذن $x = 6$ أو $x = -2$

3) لتكن العبارة التالية: $B = 12x - 2x^{2}$.
أ) فكك إلى جذاء عوامل العبارة $A + B$.
ب) أوجد الأعداد الحقيقية $x$ حيث $A = -B$.

أ) تفكيك $A + B$:

$B = 2x(6 - x) = -2x(x - 6)$

$A + B = (x - 6)(x + 2) - 2x(x - 6)$

نستخرج العامل المشترك $(x - 6)$:

$A + B = (x - 6)[(x + 2) - 2x] = (x - 6)(-x + 2) = -(x - 6)(x - 2)$

ب) حل المعادلة $A = -B$:

$A = -B \iff A + B = 0$

$-(x - 6)(x - 2) = 0 \iff x - 6 = 0 \text{ أو } x - 2 = 0$

إذن $x = 6$ أو $x = 2$

الفرض التأليفي عدد 2 والتمارين التطبيقية