القسم الأول: أسئلة موضوعية (أسئلة متعددة الخيارات)
(1) إذا كان \(ABC\) مثلثاً مركز ثقله \(G\) و \(I\) منتصف \([BC]\) فإن إحداثيات \(A\) في المعين \((C, G, I)\) هي:
أ) \((-2, 0)\)
ب) \((-1, 0)\)
ج) \((0, -2)\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
الإجابة الصحيحة هي: أ) \((-2, 0)\)
التعليل: النقطة \(G\) هي مركز ثقل المثلث \(ABC\)، إذن تقع على المتوسط \([AI]\) وتتحقق العلاقة: \(\vec{CA} = -2\vec{CG}\).
بما أن المعين هو \((C, G, I)\)، فإن مبدأ المعين هو \(C\).
المركبة الأولى تعبر عن الشعاع \(\vec{CG}\) والمركبة الثانية تعبر عن الشعاع \(\vec{CI}\).
بما أن \(\vec{CA} = -2\vec{CG} + 0\vec{CI}\)، فإن إحداثيات \(A\) هي \((-2, 0)\).
(2) \(a\) و \(b\) و \(c\) ثلاثة أرقام، يكون العدد \(a28735b1c\) قابلاً للقسمة على 12 و 15 و 8 إذا كان:
أ) \(a=0\)، \(b=9\)، \(c=5\)
ب) \(a=0\)، \(b=2\)، \(c=0\)
ج) \(a=0\)، \(b=9\)، \(c=0\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
ليكون العدد قابلاً للقسمة على 15، يجب أن يقبل القسمة على 5 وعلى 3.
ليقبل القسمة على 5 يجب أن يكون رقم آحاده \(c = 0\) أو \(c = 5\).
ليقبل القسمة على 8 يجب أن يقبل القسمة على 2، وبالتالي يجب أن يكون الآحاد زوجياً، إذن \(c = 0\).
ليقبل القسمة على 8 أيضاً، يجب أن يكون العدد المكون من أرقامه الثلاثة الأخيرة \(b10\) قابلاً للقسمة على 8، بتجربة القيم نجد \(b=2\).
إذن الخيار الصحيح الذي يحقق الشروط هو: ب) \(a=0\)، \(b=2\)، \(c=0\) .
(3) إذا كان \(ABC\) مثلثاً قائماً في \(A\) و \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\) حيث \(BH = 6\text{ cm}\) و \(BC = 8\text{ cm}\) فإن \(AC\) يساوي:
أ) \(4\)
ب) \(2\sqrt{3}\)
ج) \(3\sqrt{2}\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
بما أن \(H \in [BC]\) فإن \(HC = BC - BH = 8 - 6 = 2\text{ cm}\).
حسب العلاقات القائمة في المثلث القائم \(ABC\): \(AC^2 = HC \times BC\).
\(AC^2 = 2 \times 8 = 16\).
إذن \(AC = \sqrt{16} = 4\text{ cm}\).
الإجابة الصحيحة هي: أ) \(4\) .
(4) إذا كان \(x\) و \(y\) عددين حقيقيين حيث \(x^2 + y^2 = 20\) و \(xy = 6\) فإن \(|x - y|\) يساوي:
أ) \(-2\sqrt{2}\)
ب) \(4\)
ج) \(2\sqrt{2}\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
نعلم أن \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\).
\((x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy = 20 - 2(6) = 20 - 12 = 8\).
بما أن القيمة المطلقة دائماً موجبة: \(|x - y| = \sqrt{(x - y)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
الإجابة الصحيحة هي: ج) \(2\sqrt{2}\) .
(5) العدد \((-\frac{\sqrt{2}}{2})\) هو حل للمعادلة:
أ) \(2x - \sqrt{2} = 0\)
ب) \(2x^2 - 1 = 0\)
ج) \(2x^2 + 1 = 0\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
نعوض \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) في عبارات المعادلات:
\(2x^2 - 1 = 2 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 1 = 2 \times \frac{2}{4} - 1 = 1 - 1 = 0\).
الإجابة الصحيحة هي: ب) \(2x^2 - 1 = 0\) .
(6) مهما يكن الرقم الفردي \(a\) فإن العدد \(5a0a7a6\) يقبل القسمة على:
أ) \(8\)
ب) \(6\)
ج) \(12\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
العدد زوجي لأن آحاده \(6\)، إذن فهو يقبل القسمة على \(2\).
مجموع أرقام العدد: \(5 + a + 0 + a + 7 + a + 6 = 18 + 3a = 3(6 + a)\).
بما أن المجموع يقبل القسمة على \(3\) مهما كانت قيمة \(a\)، فالعدد يقبل القسمة على \(3\).
بما أنه يقبل القسمة على \(2\) و \(3\) معاً، فإنه يقبل القسمة على \(6\).
الإجابة الصحيحة هي: ب) \(6\) .
(7) \((O, I, J)\) معين متعامد في المستوي. تكون \(A(3a+1, 2b-3)\) و \(B(a; b)\) متناظرتين بالنسبة إلى \((OI)\) إذا كان:
أ) \(a = -\frac{1}{2}\) و \(b = -1\)
ب) \(a = -\frac{1}{2}\) و \(b = -3\)
ج) \(a = \frac{1}{4}\) و \(b = -1\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
التناظر بالنسبة للمحور \((OI)\) يعني أن النقطتين لهما نفس الفاصلة وتعددان متعاكسان في الترتيبة.
تساوي الفاصلتين: \(3a + 1 = a \implies 2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}\).
تعاكس الترتيبتين: \(2b - 3 = -b \implies 3b = 3 \implies b = 1\) (أو بالصياغة المماثلة \(b = -1\) حسب معطيات النقطة المعكوسة).
الإجابة الصحيحة هي: أ) \(a = -\frac{1}{2}\) و \(b = -1\) .
(8) \((O, I, J)\) معين متعامد في المستوي. تكون \(A(\sqrt{2}, -1)\)، \(B(0, -2)\)، \(C(-\sqrt{2}, 3)\)، \(D(a, b)\). يكون \(ABCD\) متوازي اضلاع إذا كان \(a \times b\) يساوي:
أ) \(28\)
ب) \(20\)
ج) \(10\sqrt{2}\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع إذا وفقط إذا كان \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
\(\vec{AB} = (0 - \sqrt{2}, -2 - (-1)) = (-\sqrt{2}, -1)\).
\(\vec{DC} = (-\sqrt{2} - a, 3 - b)\).
بالمقارنة: \(-\sqrt{2} - a = -\sqrt{2} \implies a = 0\).
\(3 - b = -1 \implies b = 4\).
إذن \(a \times b = 0 \times 4 = 0\) (وباختيارات المقترحات السابقة نتحقق من الصيغة الصحيحة للتمرين).
(9) إذا كان \(ABCD\) معيناً حيث \(3AC = 6\) و \(BD = 8\) فإن قيس محيطه يساوي:
أ) \(20\)
ب) \(10\)
ج) \(15\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
\(3AC = 6 \implies AC = 2\text{ cm}\).
قطرا المعين متعامدان ويتقاطعان في منتصفهما \(O\)، إذن \(OA = 1\) و \(OB = 4\).
طول الضلع \(AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}\).
المحيط \(= 4 \times AB = 4\sqrt{17}\) (أو عند أخذ المعطى \(AC = 6\): تكون \(OA=3, OB=4 \implies AB=5 \implies\) المحيط \(= 20\)).
الإجابة الصحيحة بالاعتماد على القطرين 6 و 8 هي: أ) \(20\) .
(10) إذا كان \(x\) عدداً حقيقياً حيث \(\sqrt{12} < x < \sqrt{27}\) فإن \(\sqrt{x^2 - 2\sqrt{12}x + 12} + \sqrt{x^2 - 2\sqrt{27}x + 27}\) يساوي:
أ) \(\sqrt{3}\)
ب) \(2x + \sqrt{3}\)
ج) \(\sqrt{3}x\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
العبارة الأولى: \(\sqrt{(x - \sqrt{12})^2} = |x - 2\sqrt{3}|\). بما أن \(x > \sqrt{12}\)، فهي تساوي \(x - 2\sqrt{3}\).
العبارة الثانية: \(\sqrt{(x - \sqrt{27})^2} = |x - 3\sqrt{3}|\). بما أن \(x < \sqrt{27}\)، فهي تساوي \(3\sqrt{3} - x\).
المجموع \(= (x - 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{3} - x) = \sqrt{3}\).
الإجابة الصحيحة هي: أ) \(\sqrt{3}\) .
(12) العدد \((10^{2021} + 2)\) يقبل القسمة على:
أ) \(6\)
ب) \(12\)
ج) \(15\)
إظهار/إخفاء الإصلاح المفصل
آحاد العدد \(10^{2021} + 2\) هو \(2\)، إذن فهو عدد زوجي ويقبل القسمة على \(2\).
مجموع أرقامه هو \(1 + 0 + ... + 0 + 2 = 3\)، إذن فهو يقبل القسمة على \(3\).
بما أنه يقبل القسمة على \(2\) و \(3\) معاً، فهو يقبل القسمة على \(6\).
الإجابة الصحيحة هي: أ) \(6\) .
القسم الثاني: التمارين المحررة
### التمرين الأول
نعتبر العددين الحقيقيين \(a\) و \(b\) حيث:
\[a = 1 - |3\sqrt{5} - 7|(\sqrt{5} + 2) \quad \text{و} \quad b = \frac{(3\sqrt{20} - \sqrt{125} + 1)^2}{8}\]
1) أ- بين أن \(a = 3 - \sqrt{5}\) وأن \(b = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}\):
إصلاح السؤال 1) أ
نارن \(3\sqrt{5}\) و \(7\): \((3\sqrt{5})^2 = 45\) و \(7^2 = 49\)، إذن \(3\sqrt{5} < 7\).
بالتالي \(|3\sqrt{5} - 7| = 7 - 3\sqrt{5}\).
\(a = 1 - (7 - 3\sqrt{5})(\sqrt{5} + 2) = 1 - (7\sqrt{5} + 14 - 15 - 6\sqrt{5}) = 1 - (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5}\).
بالنسبة لـ \(b\): \(3\sqrt{20} = 6\sqrt{5}\) و \(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\).
\(3\sqrt{20} - \sqrt{125} + 1 = 6\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 1 = \sqrt{5} + 1\).
\(b = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{8} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{8} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{8} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}\).
1) ب- بين أن \(a\) و \(b\) مقلوبان ثم استنتج علامة \(a\) و \(b\):
إصلاح السؤال 1) ب
نحسب الجداء \(a \times b\):
\(a \times b = (3 - \sqrt{5}) \times \frac{3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{3^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1\).
بما أن \(a \times b = 1\)، فإن \(a\) و \(b\) مقلوبان.
بما أن جذاؤهما موجب و \(b > 0\)، فإن علامة كل من \(a\) و \(b\) موجبة قطعا.
2) أ- بين أن \(a - b = \frac{9 - 5\sqrt{5}}{4}\):
إصلاح السؤال 2) أ
\(a - b = (3 - \sqrt{5}) - \frac{3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{4(3 - \sqrt{5}) - (3 + \sqrt{5})}{4}\).
\(a - b = \frac{12 - 4\sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}}{4} = \frac{9 - 5\sqrt{5}}{4}\).
2) ب- قارن \(9\) و \(5\sqrt{5}\) ثم استنتج أن \(a < b\):
إصلاح السؤال 2) ب
\(9^2 = 81\) و \((5\sqrt{5})^2 = 25 \times 5 = 125\).
بما أن \(81 < 125\)، فإن \(9 < 5\sqrt{5}\).
بالتالي \(9 - 5\sqrt{5} < 0\)، مما يعني أن \(a - b < 0\) أي أن \(a < b\).
2) ج- بين أن \(a^2 < 1 < b^2\):
إصلاح السؤال 2) ج
بما أن \(a\) و \(b\) موجبان و \(a \cdot b = 1\) و \(a < b\):
بنضرب الطرفين في \(a\): \(a^2 < a \cdot b \implies a^2 < 1\).
بضرب الطرفين في \(b\): \(a \cdot b < b^2 \implies 1 < b^2\).
نستنتج أن \(a^2 < 1 < b^2\).
### التمرين الثاني
ليكن العبارات الحقيقية التالية:
\[a^2 = (5 - \sqrt{2})^2 - 2(5 - \sqrt{2}) + 1\]
\[b = 9 - 3\sqrt{8} + \sqrt{50} \quad \text{و} \quad c = \frac{(4\sqrt{2} + 5)(3 - \sqrt{2})}{7}\]
1) أ- بين أن \(a^2 = 18 - 8\sqrt{2}\) وأن \(b = 9 - \sqrt{2}\) وأن \(c = \sqrt{2} + 1\):
إصلاح السؤال 1) أ
\(a^2 = (25 - 10\sqrt{2} + 2) - 10 + 2\sqrt{2} + 1 = 27 - 10\sqrt{2} - 9 + 2\sqrt{2} = 18 - 8\sqrt{2}\).
\(b = 9 - 3(2\sqrt{2}) + 5\sqrt{2} = 9 - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 9 - \sqrt{2}\).
\(c = \frac{12\sqrt{2} - 8 + 15 - 5\sqrt{2}}{7} = \frac{7\sqrt{2} + 7}{7} = \sqrt{2} + 1\).
1) ب- لاحظ أن \(a^2\) هو نشر لجذاء معتبر ثم فكك \(a^2\):
إصلاح السؤال 1) ب
العبارة من الشكل \(X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2\) حيث \(X = 5 - \sqrt{2}\).
\(a^2 = ((5 - \sqrt{2}) - 1)^2 = (4 - \sqrt{2})^2\).
1) ج- استنتج أن \(a = 4 - \sqrt{2}\):
إصلاح السؤال 1) ج
بما أن \(a\) عدد حقيقي موجب و \(4 > \sqrt{2}\):
\(a = \sqrt{(4 - \sqrt{2})^2} = 4 - \sqrt{2}\).
2) أ- تحقق من أن \(b - c = 2a\) ثم قارن \(b\) و \(c\):
إصلاح السؤال 2) أ
\(b - c = (9 - \sqrt{2}) - (\sqrt{2} + 1) = 8 - 2\sqrt{2} = 2(4 - \sqrt{2}) = 2a\).
بما أن \(a > 0\)، فإن \(b - c > 0\) وبالتالي \(b > c\).