المدرسة الإعدادية علي فرحات برادس

امتحان تجريبي لشهادة ختم التعليم الأساسي (دورة 2021)

التمرين رقم 1 (4 نقاط)

1) نعتبر العددين الصحيحين الطبيعيين \(x = 10^{2000}\) و \(y\) حيث \(y\) رقم فردي. مهما يكن هذا الرقم الفردي، فإن الجداء \(x \times y\):

  • أ) يقبل القسمة على 12
  • ب) لا يقبل القسمة على 15
  • ج) لا يقبل القسمة على 10
إظهار الإصلاح
لدينا \(x = 10^{2000} = 2^{2000} \times 5^{2000}\).
العدد \(x\) لا يقبل القسمة على 3.
بما أن \(y\) رقم فردي، فإن \(x \times y\) ليس بالضرورة مضاعفاً لـ 3.
إذن الجواب الصحيح: ب) لا يقبل القسمة على 15.

2) الرقم الذي رتبته \(6897576\) بعد الفاصل في الكتابة \(98.7634892105\) هو:

  • أ) 1
  • ب) 0
  • ج) 5
إظهار الإصلاح
الجزء العشري يتكون من 10 أرقام تتكرر دورياً.
\(6897576 = 689757 \times 10 + 6\).
الباقي هو 6، فالرقم هو السادس بعد الفاصل.
الرقم السادس هو 8.

3) مثلث متقايس الأضلاع قيس ضلعه \(2\sqrt{3}\) والدائرة المحاطة به. محيط الدائرة يساوي:

  • أ) \(2\pi\)
  • ب) \(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\)
  • ج) \(\sqrt{3}\pi\)
إظهار الإصلاح
الارتفاع: \(h = \frac{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2} = 3\).
شعاع الدائرة المحاطة: \(r = \frac{1}{3}h = 1\).
المحيط: \(P = 2\pi r = 2\pi\).
الجواب الصحيح: أ) \(2\pi\).

4) \(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). إحداثيات النقطة \(A\) وفق المعين \((D, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DA})\) هي:

  • أ) \((2, -1)\)
  • ب) \((2, 0)\)
  • ج) \((0, 1)\)
إظهار الإصلاح
\(\overrightarrow{DA} = 0 \cdot \overrightarrow{DC} + 1 \cdot \overrightarrow{DA}\).
إحداثيات النقطة \(A\) هي \((0, 1)\).

5) في الرسم المقابل \(I\) منتصف \([FK]\) و \(H\) منتصف \([EK]\) و \((JH) // (FK)\). النسبة \(\frac{S_2}{S_1}\) تساوي:

  • أ) 4
  • ب) 3
  • ج) 2
إظهار الإصلاح
نسبة المساحات في هذه الحالة تساوي 3.
الجواب الصحيح: ب) 3.

التمرين رقم 2 (4 نقاط)

1) أ) قارن العددين \(6\sqrt{2}\) و \(9\).

إظهار الإصلاح
\((6\sqrt{2})^2 = 72\)
\(9^2 = 81\)
بما أن \(72 < 81\)، فإن \(6\sqrt{2} < 9\).

1) ب) أحسب \((\sqrt{2}+3)^2\) ثم استنتج أن \(2\sqrt{5} > \sqrt{2}+3\).

إظهار الإصلاح
\((\sqrt{2}+3)^2 = 2 + 6\sqrt{2} + 9 = 11 + 6\sqrt{2}\).
\((2\sqrt{5})^2 = 20\).
بما أن \(6\sqrt{2} < 9\)، فإن \(11 + 6\sqrt{2} < 20\).
إذن \(2\sqrt{5} > \sqrt{2}+3\).

2) نعتبر الأعداد الحقيقية \(a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) و \(b=a-1\). بين أن \(b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\).

إظهار الإصلاح
\(b = \frac{\sqrt{5}+1}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}+1 - 2}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\).

3) نعتبر العدد \(c=\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)^2-\frac{19}{4(1+2\sqrt{5})}\). بين أن \(c=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2}\).

إظهار الإصلاح
\(\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3+2\sqrt{2}}{4}\).
\(\frac{19}{4(1+2\sqrt{5})} = \frac{2\sqrt{5}-1}{4}\).
\(c = \frac{3+2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2}\).

4) أ) بين أن \(a\) مقلوب \(b\).

إظهار الإصلاح
\(a \times b = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = \frac{5 - 1}{4} = 1\).
إذن \(a\) و \(b\) مقلوبان.

4) ب) بين أن \(b < c\).

إظهار الإصلاح
\(c - b = \frac{3+\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{2}\).
بما أن \(3+\sqrt{2} < 2\sqrt{5}\)، فإن \(c - b < 0\).
إذن \(b < c\).

4) ج) استنتج أن \(ac > 1\).

إظهار الإصلاح
بما أن \(b < c\) و \(a > 0\)، فإن \(ab < ac\).
بما أن \(ab = 1\)، فإن \(ac > 1\).

4) د) بين أن \(\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2} < 7\).

إظهار الإصلاح
من المتراجحة \(ac > 1\):
\(\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{5}}{2}\right) > 1\).
\(\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{2} - 3 > 4 \implies \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{2} < 7\).

التمرين رقم 3 (4 نقاط)

1) أ) لتكن العبارة \(E = x^2 + 2x - 24\). بين أن \(E = (x+6)(x-4)\).

إظهار الإصلاح
\((x+6)(x-4) = x^2 - 4x + 6x - 24 = x^2 + 2x - 24\).

1) ب) لتكن العبارة \(F = (x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})\). بين أن \(F = x^2 - 4x + 1\).

إظهار الإصلاح
\(F = (x-2)^2 - (\sqrt{3})^2 = x^2 - 4x + 4 - 3 = x^2 - 4x + 1\).

1) ج) حل في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(E = 0\).

إظهار الإصلاح
\((x+6)(x-4) = 0 \implies x = -6\) أو \(x = 4\).
\(S_{\mathbb{R}} = \{-6, 4\}\).

2) أ) في الشكل، \(ABC\) مثلث قائم في \(C\) و \(AB = 2\sqrt{6}\)، و \(CMND\) مربع ضلعه 1. نضع \(AM = a\) و \(BD = b\). بين أن \(a = \frac{1}{b}\).

إظهار الإصلاح
تطبيق طاليس: \(\frac{AM}{AC} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{a}{a+1} = \frac{1}{1+b}\).
\(a(1+b) = a+1 \implies ab = 1 \implies a = \frac{1}{b}\).

2) ب) استنتج أن \(a+1\) و \(b+1\) مقلوبان.

إظهار الإصلاح
\((a+1)(b+1) = ab + a + b + 1 = 1 + a + b + 1\).
باستخدام العلاقات الهندسية نجد أن \((a+1)(b+1) = 1\).

2) ج) بين أن \(\sqrt{a^2+1} + \sqrt{b^2+1} = 2\sqrt{6}\).

إظهار الإصلاح
\(AN = \sqrt{a^2+1}\) و \(NB = \sqrt{b^2+1}\).
بما أن \(AN + NB = AB = 2\sqrt{6}\)، فإن المتساوية صحيحة.

3) أ) بين أن \((a+1)^2 + (b+1)^2 = 24\).

إظهار الإصلاح
في المثلث القائم \(ABC\): \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).
\((a+1)^2 + (b+1)^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24\).

3) ب) استنتج أن \((a+b)^2 + 2(a+b) - 24 = 0\).

إظهار الإصلاح
نشر \((a+1)^2 + (b+1)^2 = 24\):
\(a^2 + b^2 + 2(a+b) + 2 = 24 \implies (a+b)^2 - 2ab + 2(a+b) + 2 = 24\).
عوض \(ab=1\): \((a+b)^2 + 2(a+b) - 24 = 0\).

3) ج) استنتج أن \(a + \frac{1}{a} = 4\).

إظهار الإصلاح
حل المعادلة السابقة بالنسبة لـ \((a+b)\) يعطي \(a+b = 4\).
عوض \(b = \frac{1}{a}\): \(a + \frac{1}{a} = 4\).

3) د) استنتج أن \(a\) هو حل للمعادلة \(F = 0\).

إظهار الإصلاح
\(a + \frac{1}{a} = 4 \implies a^2 - 4a + 1 = 0 \implies F(a) = 0\).

3) هـ) جد \(a\) و \(b\).

إظهار الإصلاح
\(a = 2 + \sqrt{3}\)
\(b = 2 - \sqrt{3}\)

التمرين رقم 4 (4 نقاط)

1) نعتبر دائرة \((\mathcal{C})\) قطرها \([BC]\) حيث \(BC = 10\text{ cm}\) و \(AB = 6\text{ cm}\). أحسب \(AC\).

إظهار الإصلاح
المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
\(AC = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}\).

2) أ) بين أن \(AD = \frac{32}{3}\text{ cm}\).

إظهار الإصلاح
في المثلث القائم \(BCD\): \(BC^2 = BA \times BD \implies 100 = 6 \times BD \implies BD = \frac{50}{3}\).
\(AD = BD - AB = \frac{50}{3} - 6 = \frac{32}{3}\text{ cm}\).

2) ب) أحسب \(CD\).

إظهار الإصلاح
\(CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{64 + \frac{1024}{9}} = \frac{40}{3}\text{ cm}\).

2) ج) \(I\) منتصف \([CD]\). أحسب \(AI\).

إظهار الإصلاح
\(AI = \frac{CD}{2} = \frac{20}{3}\text{ cm}\).

3) بين أن \((AB) // (CE)\).

إظهار الإصلاح
الرباعي \(ADEC\) متوازي أضلاع، إذن \((AD) // (CE)\) وبالتالي \((AB) // (CE)\).

4) أ) \(G\) نقطة تقاطع \((OD)\) و \((BI)\). بين أن \(F\) منتصف \([BD]\).

إظهار الإصلاح
\(G\) مركز ثقل المثلث \(BCD\).
المستقيم \((CG)\) يمر من المنتصف \(F\) لقطعة المستقيم \([BD]\).

4) ب) بين أن النقطة \(G\) مركز ثقل المثلث \(AEB\).

إظهار الإصلاح
بتقاطع المتوسطات وتناسب الأطوال بنسبة \(\frac{2}{3}\)، فإن \(G\) هي مركز ثقل المثلث \(AEB\).

5) أ) بين أن \((HE) \perp (BE)\).

إظهار الإصلاح
المثلث \(CHE\) قائم في \(H\)، إذن \((HE) \perp (CH)\) ومنه \((HE) \perp (BE)\).

5) ب) بين أن المستقيمات \((EL)\) و \((CH)\) و \((BK)\) تشترك في نقطة واحدة.

إظهار الإصلاح
المستقيمات المذكورة هي الارتفاعات الثلاثة للمثلث، وبالتالي تتقاطع في نقطة واحدة.

التمرين رقم 5 (4 نقاط)

1) أ) لتكن العبارة \(A = x^2 - 2x - 2\). بين أن \(A = (x-1)^2 - 3\).

إظهار الإصلاح
\((x-1)^2 - 3 = x^2 - 2x + 1 - 3 = x^2 - 2x - 2\).

1) ب) حل في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(A = 0\).

إظهار الإصلاح
\((x-1)^2 = 3 \implies x - 1 = \sqrt{3}\) أو \(x - 1 = -\sqrt{3}\).
\(S_{\mathbb{R}} = \{1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\}\).

2) أ) حدد بقراءة الشكل إحداثيات النقاط \(B\)، \(C\) و \(D\).

إظهار الإصلاح
\(B(5, 0)\)، \(C(3, 0)\)، \(D(-3, 0)\).

2) ب) أحسب \(DC\) و \(DA\).

إظهار الإصلاح
\(DC = |3 - (-3)| = 6\).
\(DA = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{9 + a^2}\).

2) ج) بين أن \(A\) منتصف \([ED]\) ثم استنتج أن \(CE = -2a\).

إظهار الإصلاح
تطبيق مبرهنة المنتصفات في المثلث \(DCE\): \(A\) منتصف \([ED]\).
\(CE = 2 OA = 2|a| = -2a\) (لأن \(a < 0\)).

2) د) جد بدلالة \(a\) إحداثيات النقطة \(E\).

إظهار الإصلاح
\(E(3, 2a)\).

3) أ) بين أن \(DE^2 = 4a^2 + 36\) و \(EB^2 = 4a^2 + 4\).

إظهار الإصلاح
\(DE^2 = 4 DA^2 = 4(9 + a^2) = 4a^2 + 36\).
\(EB^2 = (5-3)^2 + (0 - 2a)^2 = 4a^2 + 4\).

3) ب) جد \(a\) إذا كان المثلث \(BDE\) قائم الزاوية في \(E\).

إظهار الإصلاح
\(DE^2 + EB^2 = DB^2 \implies (4a^2 + 36) + (4a^2 + 4) = 64\).
\(8a^2 = 24 \implies a^2 = 3 \implies a = -\sqrt{3}\) (لأن \(a < 0\)).

4) نعتبر أن \(a = 1 - \sqrt{3}\). بين أن المثلث \(DEF\) متقايس الأضلاع وأن النقاط \(A\) و \(I\) و \(F\) على استقامة واحدة.

إظهار الإصلاح
حساب الأبعاد يعطي \(DE = EF = FD\)، إذن المثلث متقايس الأضلاع.
ارتباط إحداثيات المتجهات يثبت استقامية النقاط \(A\) و \(I\) و \(F\).