مراجعة في الرياضيات - السنة التاسعة أساسي | إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
I) نعتبر العبارة: $A = (4 - x)^2 - 9$ حيث $x \in \mathbb{R}$.
$A = (4 - x)^2 - 3^2$
$A = [(4 - x) - 3][(4 - x) + 3]$
$A = (4 - x - 3)(4 - x + 3)$
$A = (1 - x)(7 - x)$
$A = 0 \iff (1 - x)(7 - x) = 0$
يعني $1 - x = 0$ أو $7 - x = 0$
يعني $x = 1$ أو $x = 7$
لدينا $A + 5 = (4 - x)^2 - 9 + 5$
$A + 5 = (4 - x)^2 - 4$
$A + 5 = (4 - x)^2 - 2^2$
$A + 5 = [(4 - x) - 2][(4 - x) + 2]$
$A + 5 = (2 - x)(6 - x)$
$A + 5 = (6 - x)(2 - x)$
II) يُمثل الرسم مثلثًا $OAB$ قائم الزاوية في $O$ حيث $OA = 4$ و $OB = 2$ و $K$ منتصف $[AB]$ و $M$ نقطة من $[OA]$ بحيث $OM = x$ ($0 < x < 2$). المستقيم المار من $M$ والعمودي على $(OA)$ يقطع $(AB)$ في $N$.
في المثلث $OAB$، لدينا $(MN) \perp (OA)$ و $(OB) \perp (OA)$ إذن $(MN) \parallel (OB)$.
حسب مبرهنة طالس في المثلث $OAB$، والنقطة $M$ تنتمي إلى $[OA]$:
$\frac{AM}{AO} = \frac{MN}{OB}$
بما أن $AM = OA - OM = 4 - x$
فإن $\frac{4 - x}{4} = \frac{MN}{2}$
$MN = \frac{2(4 - x)}{4}$
$MN = \frac{4 - x}{2}$
في المثلث $OAB$، لدينا $K$ منتصف $[AB]$ و $(KP) \perp (OA)$ إذن $(KP) \parallel (OB)$.
حسب مبرهنة طالس في المثلث $OAB$:
$\frac{AK}{AB} = \frac{KP}{OB}$
بما أن $K$ منتصف $[AB]$ فإن $\frac{AK}{AB} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{KP}{2} \implies KP = 1$
$S = \frac{(MN + KP) \times MP}{2}$
لدينا $P$ منتصف $[OA]$ إذن $OP = 2$، وبالتالي $MP = OP - OM = 2 - x$.
$MN + KP = \frac{4 - x}{2} + 1 = \frac{4 - x + 2}{2} = \frac{6 - x}{2}$
$S = \frac{\frac{6 - x}{2} \times (2 - x)}{2} = \frac{(6 - x)(2 - x)}{4} = \frac{1}{4}(6 - x)(2 - x)$
$4S = 5 \iff 4 \times \frac{1}{4}(6 - x)(2 - x) = 5$
$(6 - x)(2 - x) = 5$
نعلم من السؤال الأول أن $(6 - x)(2 - x) = A + 5$
$A + 5 = 5 \iff A = 0$
وبما أن $0 < x < 2$ فإن $x = 1$.
(1) لتكن العبارة $A = \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{2}x + 9$.
$A = \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{15}{2}(3) + 9$
$A = \frac{3}{2}(9) - \frac{45}{2} + 9$
$A = \frac{27}{2} - \frac{45}{2} + 9$
$A = \frac{-18}{2} + 9 = -9 + 9 = 0$
$(3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x) = 9 - 6x + x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}x^2$
$= \left(x^2 + \frac{1}{2}x^2\right) + \left(-6x - \frac{3}{2}x\right) + 9$
$= \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{2}x + 9 = A$
$A = (3 - x)\left[(3 - x) - \frac{1}{2}x\right]$
$A = (3 - x)\left(3 - \frac{3}{2}x\right)$
$A = \frac{3}{2}(3 - x)(2 - x)$
بما أن $EAD$ قائم في $A$ و $A \in [EB]$ فإن $AB = EB - EA = 3 - x$.
ضلع المربع $ABCD$ هو $AB = 3 - x$ إذن مساحته $S_{ABCD} = (3 - x)^2$.
مساحة المثلث $EAD$ هي $S_{EAD} = \frac{AD \times EA}{2} = \frac{(3 - x) \cdot x}{2} = \frac{1}{2}x(3 - x)$.
تساوي المساحتين يعني $S_{ABCD} = S_{EAD}$
$(3 - x)^2 = \frac{1}{2}x(3 - x) \iff (3 - x)^2 - \frac{1}{2}x(3 - x) = 0$
أي أن $A = 0 \iff \frac{3}{2}(3 - x)(2 - x) = 0$
بما أن $x < 3$ فإن $3 - x \neq 0$، بالتالي $2 - x = 0 \implies x = 2$.
I) لتكن العبارة $A = x^2 + 2x - 80$.
$(x + 1)^2 - 81 = x^2 + 2x + 1 - 81 = x^2 + 2x - 80 = A$
$A = (x + 1)^2 - 9^2$
$A = [(x + 1) - 9][(x + 1) + 9]$
$A = (x - 8)(x + 10)$
II) $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ بحيث $AC = x$ و $AB = x + 2$ ($x \in \mathbb{R}_+^*$).
$S_{ABC} = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{(x + 2)x}{2} = \frac{x^2 + 2x}{2}$
$S_{ABC} = 40 \iff \frac{x^2 + 2x}{2} = 40 \iff x^2 + 2x = 80 \iff x^2 + 2x - 80 = 0$
أي أن $A = 0 \iff (x - 8)(x + 10) = 0$
بما أن $x > 0$ فإن $x + 10 > 0$ وبالتالي $x - 8 = 0 \implies x = 8$.
في المثلث $ABC$، لدينا $(IJ) \perp (AB)$ و $(AC) \perp (AB)$ إذن $(IJ) \parallel (AC)$.
حسب مبرهنة طالس في المثلث $ABC$، النقطة $I$ تنتمي إلى $[BC]$:
$\frac{IB}{IC} = \frac{JB}{JA}$
لدينا $BJ = 2$ و $JA = AB - BJ = (x + 2) - 2 = x$.
إذن $\frac{IB}{IC} = \frac{2}{x}$.
يكون $I$ منتصف $[BC]$ إذا كان $IB = IC \iff \frac{IB}{IC} = 1$.
$\frac{2}{x} = 1 \implies x = 2$.
يمثل الرسم شبه منحرف $ABCD$ قائم الزاوية في $A$ و $D$ حيث $AD = 3\text{ cm}$ و $AC = 2x + 1$ و $DC = 2x$ و $AB = y$ ($x \in \mathbb{R}^*$ و $0 < y \le 10$).
في المثلث $ADC$ القائم في $D$، حسب مبرهنة بيتاغور:
$AC^2 = AD^2 + DC^2$
$(2x + 1)^2 = 3^2 + (2x)^2$
$4x^2 + 4x + 1 = 9 + 4x^2$
$4x + 1 = 9 \iff 4x = 8 \iff x = 2$.
بما أن $x = 2$ فإن $DC = 2(2) = 4$.
$S = \frac{(DC + AB) \times AD}{2} = \frac{(4 + y) \times 3}{2} = \frac{3}{2}(4 + y)$.
لدينا $0 < y \le 10$
بإضافة $4$: $4 < 4 + y \le 14$
بالضرب في $\frac{3}{2}$: $4 \times \frac{3}{2} < \frac{3}{2}(4 + y) \le 14 \times \frac{3}{2}$
$6 < S \le 21 \implies S \in ]6, 21]$.
لدينا $AHCD$ مستطيل لأن زاواياه قائمة، إذن $AH = DC = 4$ و $CH = AD = 3$.
بما أن $AB = 8$ فإن $H$ منتصف $[AB]$ لأن $HB = AB - AH = 8 - 4 = 4$.
في الرباعي $ACBE$، القطران $[AB]$ و $[CE]$ يتقاطعان في منتصفهما $H$ ومتعامدان، إذن $ACBE$ معين.
مساحة المعين $ACBE$: $S_{ACBE} = \frac{AB \times CE}{2}$.
بما أن $H$ منتصف $[CE]$ و $CH = 3$ فإن $CE = 6$.
$S_{ACBE} = \frac{8 \times 6}{2} = 24\text{ cm}^2$.
لحساب الارتفاع $h$: نعلم أن $AC = 2x + 1 = 5$. طول ضلع المعين هو $AC = 5$.
$S_{ACBE} = AC \times h \implies 24 = 5 \times h \implies h = \frac{24}{5} = 4.8\text{ cm}$.
تأمل الشكل حيث $ABCD$ مستطيل مركزه $O$ حيث $AB = 5\sqrt{3}$ و $AD = 5$.
في المثلث $ADC$ القائم في $D$، حسب مبرهنة بيتاغور:
$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100$
$AC = \sqrt{100} = 10$.
في المثلث $EAC$ القائم في $A$ و $D$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(EC)$:
نعلم أن $AD^2 = ED \times DC \implies 5^2 = ED \times 5\sqrt{3} \implies 25 = 5\sqrt{3} ED \implies ED = \frac{25}{5\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$.
في المثلث $EDA$ القائم في $D$:
$AE^2 = AD^2 + ED^2 = 25 + \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 25 + \frac{75}{9} = 25 + \frac{25}{3} = \frac{100}{3}$
$AE = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.
$EC = ED + DC = \frac{5\sqrt{3}}{3} + 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$.
لدينا $(AB) \parallel (EC)$ و $J \in [AB]$ و $I \in [EC]$ إذن $(AJ) \parallel (EI)$.
وبما أن $AJ = EI$ فإن الرباعي $AEIJ$ متوازي أضلاع.
حساب $EI$: $EI = \frac{EC}{2} = \frac{\frac{20\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.
لاحظ أن $AE = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ إذن $AE = EI$.
متوازي أضلاع فيه ضلعان متجاوران متقايسان فهو معين.
في المثلث $EAC$ القائم في $A$، النقطة $I$ منتصف الوتر $[EC]$ إذن $IA = IC = IE = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.
بما أن $IA = IC$ فإن $I$ ينتمي إلى الموسط العمودي لـ $[AC]$.
كذلك في المستطيل $ABCD$ لدينا $OA = OC$ إذن $O$ ينتمي إلى الموسط العمودي لـ $[AC]$.
إذن $(OI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AC]$ وبالتالي $(OI) \perp (AC)$.
في المعين $AEIJ$، القطران متطابقان متعامدان، إذن $(JI) \perp (AE)$، وبما أن $(AE) \perp (AC)$ فإن $(JI) \parallel (AC)$.
بالتالي $O$ هو منتصف قطر المعين $[JI]$.
نعتبر العبارة $E = (2x - 1)(2x + 1)$ حيث $x \in \mathbb{R}$.
$E = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.
$2x = 3 + \sqrt{3} \implies 2x - 1 = 2 + \sqrt{3}$ و $2x + 1 = 4 + \sqrt{3}$.
$E = 4\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = 4 \times \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{4} - 1 = 12 + 6\sqrt{3} - 1 = 11 + 6\sqrt{3}$.
$4x^2 - 1 = 15 \iff 4x^2 = 16 \iff x^2 = 4 \iff x = 2$ أو $x = -2$.
$(2x - 1)(2x + 1) = 2x + 1 \iff (2x - 1)(2x + 1) - (2x + 1) = 0$
$(2x + 1)[(2x - 1) - 1] = 0 \iff (2x + 1)(2x - 2) = 0$
يعني $2x + 1 = 0$ أو $2x - 2 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}$ أو $x = 1$.
يكون المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$ إذا وفقط إذا كان الموسط الصادر من $C$ يساوي نصف طول الوتر المقابل $[AB]$.
أي أن $OC = \frac{AB}{2} \iff x + \frac{1}{2} = \frac{4x^2 - 1}{2}$
$2\left(x + \frac{1}{2}\right) = 4x^2 - 1 \iff 2x + 1 = 4x^2 - 1$
وهي المعالجة نفسها للحالة السابقة $E = 2x + 1$ حيث $4x^2 - 1 = 2x + 1$.
وجدنا $x = -\frac{1}{2}$ أو $x = 1$.
بما أن $x > \frac{1}{2}$ فإن القيمة المقبولة هي $x = 1$.