سلسلة تمارين: الجذاءات المعتبرة والعبارات الجبرية

التمرين عدد 3
لتكن العبارتين $A = 4x^2 + 4x - 3$ و $B = 4x^2 - 1$ حيث $x$ عدد حقيقي
(1)
أ) بين أن $A = (2x + 1)^2 - 4$ ثم استنتج أن $A = (2x - 1)(2x + 3)$
ب) حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $A = 0$
(2)
أ) أنشر و اختصر $(2x + 1)(1 - 2x)$
ب) تحقق أن $A + B = (2x - 1)(4x + 4)$
ج) أوجد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن $A$ و $B$ متقابلان .
(3) لتكن العبارة $C = (5x - 3)^2 - (x - 3)^2$ حيث $x$ عدد حقيقي
أ) أنشر و اختصر العبارة $C$
ب) فكك العبارة $C$ إلى جذاء
إصلاح التمرين عدد 3:

(1) أ)

$(2x + 1)^2 - 4 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 - 4$
$= 4x^2 + 4x + 1 - 4$
$= 4x^2 + 4x - 3 = A$
استنتاج التفكيك:
$A = (2x + 1)^2 - 2^2$
$A = [(2x + 1) - 2][(2x + 1) + 2]$
$A = (2x - 1)(2x + 3)$

(1) ب)

$A = 0 \iff (2x - 1)(2x + 3) = 0$
يعني $2x - 1 = 0$ أو $2x + 3 = 0$
يعني $2x = 1$ أو $2x = -3$
يعني $x = \frac{1}{2}$ أو $x = -\frac{3}{2}$
$S_{\mathbb{R}} = \left\{-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right\}$

(2) أ)

$(2x + 1)(1 - 2x) = (1 + 2x)(1 - 2x)$
$= 1^2 - (2x)^2$
$= 1 - 4x^2$

(2) ب)

$A + B = (2x - 1)(2x + 3) + (4x^2 - 1)$
نعلم أن $B = 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$
$A + B = (2x - 1)(2x + 3) + (2x - 1)(2x + 1)$
$= (2x - 1)[(2x + 3) + (2x + 1)]$
$= (2x - 1)(2x + 3 + 2x + 1)$
$= (2x - 1)(4x + 4)$

(2) ج)

$A$ و $B$ متقابلان يعني $A + B = 0$
$(2x - 1)(4x + 4) = 0$
يعني $2x - 1 = 0$ أو $4x + 4 = 0$
يعني $x = \frac{1}{2}$ أو $x = -1$

(3) أ)

$C = (5x - 3)^2 - (x - 3)^2$
$= (25x^2 - 30x + 9) - (x^2 - 6x + 9)$
$= 25x^2 - 30x + 9 - x^2 + 6x - 9$
$= 24x^2 - 24x$

(3) ب)

$C = [(5x - 3) - (x - 3)][(5x - 3) + (x - 3)]$
$= (5x - 3 - x + 3)(5x - 3 + x - 3)$
$= (4x)(6x - 6)$
$= 4x \times 6(x - 1)$
$= 24x(x - 1)$
التمرين عدد 4
لتكن العبارتين $E = x^2 - 4x - 5$ و $F = (2x - 1)^2 - (x + 4)^2$ حيث $x$ عدد حقيقي
(1) أحسب القيمة العددية للعبارة $E$ في حالة $x = 1 + \sqrt{2}$
(2)
أ) بين أن $E = (x - 2)^2 - 9$ ثم استنتج أن $E = (x - 5)(x + 1)$
ب) حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $E = 0$
(3)
أ) بين أن $F = (3x + 3)(x - 5)$
ب) أنشر و اختصر العبارة $F$
ج) تحقق أن $E + 2F = (x - 5)(7x + 7)$
د) أوجد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن $E = -2F$
(4) لتكن العبارة $G = x^2 - 10x + 25$
فكك العبارة $G$ ثم العبارة الحرفية $E + G$
إصلاح التمرين عدد 4:

(1)

نعوض $x$ بـ $1 + \sqrt{2}$ في $E$:
$E = (1 + \sqrt{2})^2 - 4(1 + \sqrt{2}) - 5$
$= (1^2 + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 4 - 4\sqrt{2} - 5$
$= 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 4 - 4\sqrt{2} - 5$
$= (1 + 2 - 4 - 5) + (2\sqrt{2} - 4\sqrt{2})$
$= -6 - 2\sqrt{2}$

(2) أ)

$(x - 2)^2 - 9 = x^2 - 4x + 4 - 9$
$= x^2 - 4x - 5 = E$
استنتاج التفكيك:
$E = (x - 2)^2 - 3^2$
$= [(x - 2) - 3][(x - 2) + 3]$
$= (x - 5)(x + 1)$

(2) ب)

$E = 0 \iff (x - 5)(x + 1) = 0$
يعني $x - 5 = 0$ أو $x + 1 = 0$
يعني $x = 5$ أو $x = -1$
$S_{\mathbb{R}} = \{-1, 5\}$

(3) أ)

$F = (2x - 1)^2 - (x + 4)^2$
$= [(2x - 1) - (x + 4)][(2x - 1) + (x + 4)]$
$= (2x - 1 - x - 4)(2x - 1 + x + 4)$
$= (x - 5)(3x + 3)$

(3) ب)

$F = (x - 5)(3x + 3)$
$= 3x^2 + 3x - 15x - 15$
$= 3x^2 - 12x - 15$

(3) ج)

$E + 2F = (x - 5)(x + 1) + 2(x - 5)(3x + 3)$
$= (x - 5)[(x + 1) + 2(3x + 3)]$
$= (x - 5)(x + 1 + 6x + 6)$
$= (x - 5)(7x + 7)$

(3) د)

$E = -2F \iff E + 2F = 0$
$(x - 5)(7x + 7) = 0$
يعني $x - 5 = 0$ أو $7x + 7 = 0$
يعني $x = 5$ أو $x = -1$

(4)

تفكيك العبارة $G$:
$G = x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = (x - 5)^2$
تفكيك العبارة $E + G$:
$E + G = (x - 5)(x + 1) + (x - 5)^2$
$= (x - 5)[(x + 1) + (x - 5)]$
$= (x - 5)(2x - 4)$
$= 2(x - 5)(x - 2)$