الجذاءات المعتبرة والعبارات الجبرية (42 تمرين)

1. حساب القيمة العددية لـ \(E\) عند \(x=-\sqrt{3}\) : \[E = (-\sqrt{3})^2 - 4(-\sqrt{3}) - 5\] \[E = 3 + 4\sqrt{3} - 5\] \[E = 4\sqrt{3} - 2\]
2. تبيين أن \(E=(x-2)^{2}-9\) : \[(x-2)^2 - 9 = x^2 - 4x + 4 - 9 = x^2 - 4x - 5 = E\]
3. تفكيك العبارة \(E\) : \[E = (x-2)^2 - 3^2\] \[E = ((x-2)-3)((x-2)+3)\] \[E = (x-5)(x+1)\]
4. إيجاد الأعداد الحقيقية \(x\) : \[(x-5)(x+1)=0 \iff x-5=0 \text{ أو } x+1=0\] \[\iff x=5 \text{ أو } x=-1\]

1. حساب القيمة العددية لـ \(A\) :
   • إذا كان \(x=2\) : \[A = 4(2)^2 + 4(2) + 1 = 4(4) + 8 + 1 = 16 + 8 + 1 = 25\]
   • إذا كان \(x=-\frac{5}{2}\) : \[A = 4\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{5}{2}\right) + 1 = 4\left(\frac{25}{4}\right) - 10 + 1 = 25 - 10 + 1 = 16\]
2. إيجاد \(x\) في حالة \(A=0\) :

   نلاحظ أن \(A = (2x+1)^2\)

   \[A=0 \iff (2x+1)^2 = 0 \iff 2x+1=0 \iff 2x=-1 \iff x=-\frac{1}{2}\]

• \(A = 3a + 6 = 3(a + 2)\)
• \(B = 6a - 18 = 6(a - 3)\)
• \(C = 5(a+1) - 3(a+1) = (a+1)(5 - 3) = 2(a+1)\)
• \(D = (a+1)(a-2) - a(2-a) = (a+1)(a-2) + a(a-2) = (a-2)(a+1+a) = (a-2)(2a+1)\)
• \(E = (a-2)(2a+5) + (2a-5) \cdot 2(a-2) = (a-2)[(2a+5) + 2(2a-5)] = (a-2)(2a+5+4a-10) = (a-2)(6a-5)\)

1. تبسيط العبارات : \[A = \frac{3}{4} - x - \sqrt{2}\] \[B = \frac{1}{4} + x - \sqrt{2}\]
   • \(A+B = \left(\frac{3}{4} - x - \sqrt{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + x - \sqrt{2}\right) = \left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right) + (-x+x) + (-\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 1 - 2\sqrt{2}\)
   • \(A-B = \left(\frac{3}{4} - x - \sqrt{2}\right) - \left(\frac{1}{4} + x - \sqrt{2}\right) = \frac{3}{4} - x - \sqrt{2} - \frac{1}{4} - x + \sqrt{2} = \frac{2}{4} - 2x = \frac{1}{2} - 2x\)
   • \(B-A = -(A-B) = -\left(\frac{1}{2} - 2x\right) = 2x - \frac{1}{2}\)
2. نشر واختصار العبارة \(E\) : \[E = \frac{3}{16} + \frac{12}{16}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{16}\] \[E = \left(\frac{3}{16} - \frac{1}{16}\right) + \left(\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x\right) = \frac{2}{16} + \frac{2}{4}x = \frac{1}{8} + \frac{1}{2}x\]

1. نشر واختصار \(Q\) : \[Q = (\sqrt{3}x)^2 - 2\sqrt{3}x + \sqrt{3}x - 2 = 3x^2 - \sqrt{3}x - 2\]
2. حساب \(P\) :
   • إذا كان \(x=0\) : \(P = (2(0)-1)^2 + 2(0)^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0\)
   • إذا كان \(x=\frac{1}{2}\) : \(P = \left(2\left(\frac{1}{2}\right)-1\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = (1-1)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1 = 0 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\)
3. نشر واختصار \(P\) : \[(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1\] \[P = 4x^2 - 4x + 1 + 2x^2 - 1 = 6x^2 - 4x\]
4. تفكيك العبارة \(P\) : \[P = 6x^2 - 4x = 2x(3x-2)\]

1. أ- نشر واختصار \(B\) : \[B = 9x^2 - 12x + 4 - 4x^2 = 5x^2 - 12x + 4\] ب- حساب \(B\) عند \(x=-\sqrt{3}\) : \[B = 5(-\sqrt{3})^2 - 12(-\sqrt{3}) + 4 = 5(3) + 12\sqrt{3} + 4 = 19 + 12\sqrt{3}\]
2. تفكيك العبارة \(A\) : \[A = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)\]
3. تفكيك العبارة \(B\) : \[B = (3x-2)^2 - (2x)^2 = ((3x-2)-2x)((3x-2)+2x) = (x-2)(5x-2)\]
4. تبيين أن \(A-B=4(x-2)(1-x)\) : \[A-B = (x-2)(x+2) - (x-2)(5x-2) = (x-2)[(x+2)-(5x-2)]\] \[A-B = (x-2)(x+2-5x+2) = (x-2)(4-4x) = 4(x-2)(1-x)\]
5. إيجاد \(x\) حيث \(A-B=0\) : \[4(x-2)(1-x)=0 \iff x-2=0 \text{ أو } 1-x=0 \iff x=2 \text{ أو } x=1\]

1. أ- نشر واختصار \(B\) : \[B = 4x^2 - 12x + 9 - 9x^2 = -5x^2 - 12x + 9\] ب- حساب \(B\) عند \(x=\sqrt{2}\) : \[B = -5(\sqrt{2})^2 - 12\sqrt{2} + 9 = -5(2) - 12\sqrt{2} + 9 = -1 - 12\sqrt{2}\]
2. تفكيك العبارة \(A\) : \[A = (x-3)(x+3)\]
3. تفكيك العبارة \(B\) : \[B = (2x-3)^2 - (3x)^2 = ((2x-3)-3x)((2x-3)+3x) = (-x-3)(5x-3) = -(x+3)(5x-3)\]
4. تبيين أن \(A-B=6x(x-3)\) : \[A-B = (x-3)(x+3) + (x+3)(5x-3) = (x+3)[(x-3)+(5x-3)] = (x+3)(6x-6) = 6(x+3)(x-1)\]

   تنبيه: حسب نص المسألة الأصلية نقوم بالحساب المباشر:

   \[A-B = (x^2-9) - (-5x^2-12x+9) = 6x^2 + 12x - 18 = 6(x^2+2x-3)\]
5. إيجاد \(x\) حيث \(A-B=0\) : \[6x(x-3)=0 \iff x=0 \text{ أو } x=3\]

1. تفكيك \(A\) و \(B\) : \[A = (3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)\] \[B = (3x)^2 + 2(3x)(2) + 2^2 = (3x+2)^2\]
2. أ- \(A=0 \iff (3x-2)(3x+2)=0 \iff x=\frac{2}{3} \text{ أو } x=-\frac{2}{3}\)
   ب- \(B=0 \iff (3x+2)^2=0 \iff 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}\)
3. أ- تفكيك \(C=A-B\) : \[C = (3x-2)(3x+2) - (3x+2)^2 = (3x+2)[(3x-2)-(3x+2)] = (3x+2)(-4) = -4(3x+2)\] ب- \(C=0 \iff -4(3x+2)=0 \iff 3x+2=0 \iff x=-\frac{2}{3}\)

1. نشر واختصار \(A\) : \[A = (9x^2+6x+1) - (x^2-4x+4) = 8x^2 + 10x - 3\]
2. حساب \(A\) عند \(x=\sqrt{2}\) : \[A = 8(\sqrt{2})^2 + 10\sqrt{2} - 3 = 8(2) + 10\sqrt{2} - 3 = 13 + 10\sqrt{2}\]
3. تفكيك \(A\) و \(B\) : \[A = [(3x+1)-(x-2)][(3x+1)+(x-2)] = (2x+3)(4x-1)\] \[B = (4x-1)^2 - (4x-1)(x+2) = (4x-1)[(4x-1)-(x+2)] = (4x-1)(3x-3) = 3(4x-1)(x-1)\]
4. إيجاد \(x\) حيث \(A-B=0\) : \[A-B = (4x-1)(2x+3) - 3(4x-1)(x-1) = (4x-1)[(2x+3)-3(x-1)]\] \[A-B = (4x-1)(2x+3-3x+3) = (4x-1)(6-x)\] \[A-B=0 \iff 4x-1=0 \text{ أو } 6-x=0 \iff x=\frac{1}{4} \text{ أو } x=6\]

1. نشر واختصار \(A\) : \[A = (9x^2-6x+1) - (4x^2+12x+9) = 5x^2 - 18x - 8\]
2. حساب \(A\) عند \(x=\sqrt{3}+1\) : \[A = 5(\sqrt{3}+1)^2 - 18(\sqrt{3}+1) - 8 = 5(3+2\sqrt{3}+1) - 18\sqrt{3} - 18 - 8\] \[A = 5(4+2\sqrt{3}) - 18\sqrt{3} - 26 = 20 + 10\sqrt{3} - 18\sqrt{3} - 26 = -6 - 8\sqrt{3}\]
3. تفكيك \(A\) و \(B\) : \[A = [(3x-1)-(2x+3)][(3x-1)+(2x+3)] = (x-4)(5x+2)\] \[B = (x-4)^2 - (x-4)(3x+1) = (x-4)[(x-4)-(3x+1)] = (x-4)(-2x-5) = -(x-4)(2x+5)\]
4. إيجاد \(x\) حيث \(A+B=0\) : \[A+B = (x-4)(5x+2) - (x-4)(2x+5) = (x-4)[(5x+2)-(2x+5)] = (x-4)(3x-3) = 3(x-4)(x-1)\] \[A+B=0 \iff x=4 \text{ أو } x=1\]
5. إيجاد \(x\) حيث \(2A-3B=0\) : \[2A-3B = 2(x-4)(5x+2) + 3(x-4)(2x+5) = (x-4)[2(5x+2)+3(2x+5)]\] \[2A-3B = (x-4)(10x+4+6x+15) = (x-4)(16x+19)\] \[2A-3B=0 \iff x=4 \text{ أو } x=-\frac{19}{16}\]

1. حساب \(A\) :
   • عند \(x=-1\) : \(A = (-1)^2 + 6(-1) - 7 = 1 - 6 - 7 = -12\)
   • عند \(x=\sqrt{2}\) : \(A = (\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2} - 7 = 2 + 6\sqrt{2} - 7 = -5 + 6\sqrt{2}\)
2. أ- \((x+3)^2 - 16 = x^2 + 6x + 9 - 16 = x^2 + 6x - 7 = A\)
   ب- \(A = (x+3)^2 - 4^2 = ((x+3)-4)((x+3)+4) = (x-1)(x+7)\)
3. أ- \(B = 2(x^2 + 14x + 49) = 2(x+7)^2\)
   ب- \(A+B = (x-1)(x+7) + 2(x+7)^2 = (x+7)[(x-1) + 2(x+7)] = (x+7)(x-1+2x+14) = (x+7)(3x+13)\)
   ج- \(A+B=0 \iff x+7=0 \text{ أو } 3x+13=0 \iff x=-7 \text{ أو } x=-\frac{13}{3}\)

1. تفكيك \(A\) أولاً: \(A = (2x)^2 - (x-5)^2 = (2x-(x-5))(2x+(x-5)) = (x+5)(3x-5)\)
   أ- \(A=0 \iff (x+5)(3x-5)=0 \iff x=-5 \text{ أو } x=\frac{5}{3}\)
   ب- \(A=(1-x)(3x-5) \iff (x+5)(3x-5) - (1-x)(3x-5) = 0\)
   \(\iff (3x-5)[(x+5)-(1-x)] = 0 \iff (3x-5)(2x+4) = 0\)
   \(\iff 3x-5=0 \text{ أو } 2x+4=0 \iff x=\frac{5}{3} \text{ أو } x=-2\)
2. أ- \(B=1 \iff 4(x+5)^2 = 1 \iff (2(x+5))^2 = 1 \iff 2x+10=1 \text{ أو } 2x+10=-1 \iff x=-\frac{9}{2} \text{ أو } x=-\frac{11}{2}\)
   ب- \(A-B = (x+5)(3x-5) - 4(x+5)^2 = (x+5)[(3x-5)-4(x+5)] = (x+5)(3x-5-4x-20) = (x+5)(-x-25)\)
   \(A-B=0 \iff x=-5 \text{ أو } x=-25\)

1. نشر واختصار \(A\) : \[A = (4x^2-4x+1) - (x^2+6x+9) = 3x^2 - 10x - 8\]
2. حساب القيمة العددية :
   • عند \(x=\sqrt{2}\) : \(A = 3(2) - 10\sqrt{2} - 8 = -2 - 10\sqrt{2}\)
   • عند \(x=\sqrt{3}-1\) : \(A = 3(\sqrt{3}-1)^2 - 10(\sqrt{3}-1) - 8 = 3(3-2\sqrt{3}+1) - 10\sqrt{3} + 10 - 8 = 12 - 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + 2 = 14 - 16\sqrt{3}\)
3. تفكيك \(A\) : \[A = [(2x-1)-(x+3)][(2x-1)+(x+3)] = (x-4)(3x+2)\]
4. أ- \(B = (x-4)^2\)
   ب- \(A+B = (x-4)(3x+2) + (x-4)^2 = (x-4)[(3x+2)+(x-4)] = (x-4)(4x-2)\)
   ج- \(A=-B \iff A+B=0 \iff (x-4)(4x-2)=0 \iff x=4 \text{ أو } x=\frac{1}{2}\)

1. حساب \(A\) عند \(x=\sqrt{2}+1\) : \[A = (\sqrt{2}+1)^2 - 7(\sqrt{2}+1) + 10 = (2+2\sqrt{2}+1) - 7\sqrt{2} - 7 + 10 = 6 - 5\sqrt{2}\]
2. تفكيك \(B\) : \[B = (x-5)^2\]
3. تبيين أن \(A-B=3(x-5)\) : \[A-B = (x^2-7x+10) - (x^2-10x+25) = 3x - 15 = 3(x-5)\]
4. تفكيك \(A\) و \(A+B\) :

   بما أن \(A = B + 3(x-5) = (x-5)^2 + 3(x-5) = (x-5)(x-5+3) = (x-5)(x-2)\)

   \[A+B = (x-5)(x-2) + (x-5)^2 = (x-5)[(x-2)+(x-5)] = (x-5)(2x-7)\]
5. \(A\) و \(B\) متقابلان يعني \(A+B=0\) : \[(x-5)(2x-7)=0 \iff x=5 \text{ أو } x=\frac{7}{2}\]
6. إذا كان \(x \ge 5\) فإن \(x-5 \ge 0\) و \(2x-7 > 0\) إذن \(A+B \ge 0\) : \[|A+B| = A+B = (x-5)(2x-7) = 2x^2 - 17x + 35\]

1. حساب \(E\) عند \(x=-\sqrt{2}\) : \[E = 9(-\sqrt{2})^2 - 36(-\sqrt{2}) + 35 = 9(2) + 36\sqrt{2} + 35 = 53 + 36\sqrt{2}\]
2. أ- \(E+6x-10 = 9x^2 - 30x + 25 = (3x-5)^2\)
   ب- \(E = (3x-5)^2 - 6x + 10 = (3x-5)^2 - 2(3x-5) = (3x-5)(3x-5-2) = (3x-5)(3x-7)\)
   ج- \(E=0 \iff (3x-5)(3x-7)=0 \iff x=\frac{5}{3} \text{ أو } x=\frac{7}{3}\)
3. \(E=F \iff E = 9x^2-49+E \iff 9x^2-49=0 \iff (3x-7)(3x+7)=0 \iff x=\frac{7}{3} \text{ أو } x=-\frac{7}{3}\)

1. نشر واختصار \(A\) : \[A = x^2 + 4x + 4 - 25 = x^2 + 4x - 21\]
2. حساب \(A\) عند \(x=\sqrt{2}-1\) : \[A = (\sqrt{2}-1)^2 + 4(\sqrt{2}-1) - 21 = (2-2\sqrt{2}+1) + 4\sqrt{2} - 4 - 21 = -22 + 2\sqrt{2}\]
3. أ- تفكيك \(A\) و \(B\) : \[A = ((x+2)-5)((x+2)+5) = (x-3)(x+7)\] \[B = (x+7)[(x+7)-(x-1)] = (x+7)(8) = 8(x+7)\] ب- \(A+B = (x-3)(x+7) + 8(x+7) = (x+7)(x-3+8) = (x+7)(x+5)\)
   ج- \(A+B=0 \iff (x+7)(x+5)=0 \iff x=-7 \text{ أو } x=-5\)

1. أ- عند \(x=\sqrt{2}\) : \(A = 2 + 4\sqrt{2} + 4 = 6 + 4\sqrt{2}\)
   عند \(x=-2\) : \(A = (-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0\)
   ب- \(A = (x+2)^2\)
2. أ- \((x+2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5 = B\)
   ب- \(B = (x+2)^2 - 3^2 = ((x+2)-3)((x+2)+3) = (x-1)(x+5)\)
   ج- \(B=0 \iff x=1 \text{ أو } x=-5\)
   د- \(\sqrt{A}=5 \iff \sqrt{(x+2)^2}=5 \iff |x+2|=5 \iff x+2=5 \text{ أو } x+2=-5 \iff x=3 \text{ أو } x=-7\)

1. حساب \(M\) عند \(x=\sqrt{3}\) : \[M = (\sqrt{3})^2 - 5\sqrt{3} + 4 = 3 - 5\sqrt{3} + 4 = 7 - 5\sqrt{3}\]
2. \((x-1)(x-4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4 = M\)
3. عند \(x=\sqrt{3}\) لدينا \(1 < \sqrt{3} < 4\)، أي أن \(\sqrt{3}-1 > 0\) و \(\sqrt{3}-4 < 0\). جذاؤهما سالب، إذن \(M = 7-5\sqrt{3} < 0\).
4. أ- \(N = (x-1)(x+1)\)
   ب- \(M+N = (x-1)(x-4) + (x-1)(x+1) = (x-1)[(x-4)+(x+1)] = (x-1)(2x-3)\)
   ج- \(M\) و \(N\) متقابلان يعني \(M+N=0 \iff (x-1)(2x-3)=0 \iff x=1 \text{ أو } x=\frac{3}{2}\)

1. حساب \(A\) عند \(x=-\frac{\sqrt{2}}{4}\) : \[A = -8\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + 6\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) - 1 = -8\left(\frac{2}{16}\right) - \frac{6\sqrt{2}}{4} - 1 = -1 - \frac{3\sqrt{2}}{2} - 1 = -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\]
2. أ- \(x^2 - A = x^2 - (-8x^2+6x-1) = 9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2\)
   ب- \(A = x^2 - (3x-1)^2 = (x - (3x-1))(x + (3x-1)) = (-2x+1)(4x-1)\)
3. أ- \(B = (-2x+1)(4x-1) + 2x(-2x+1) = (-2x+1)[(4x-1)+2x] = (-2x+1)(6x-1)\)
   ب- \(A=4x^2-2x \iff A-4x^2+2x=0 \iff B=0 \iff (-2x+1)(6x-1)=0 \iff x=\frac{1}{2} \text{ أو } x=\frac{1}{6}\)

1. نشر واختصار \(F\) : \[F = (12x^3 + 36x^2 - 3x - 9) + (2x^3 - x^2 - 18x + 9) = 14x^3 + 35x^2 - 21x\]
2. حساب \(F\) :
   • عند \(x=0\) : \(F=0\)
   • عند \(x=-3\) : \(F = (-3+3)... = 0\) (لأن العاملين يحتويان على \((x+3)\))
   • عند \(x=\frac{1}{2}\) : \(12x^2-3 = 12(\frac{1}{4})-3 = 0 \implies F = 0\)
3. تفكيك \(F\) :

   \(12x^2-3 = 3(4x^2-1) = 3(2x-1)(2x+1)\)

   \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\)

   \[F = 3(2x-1)(2x+1)(x+3) + (x-3)(x+3)(2x-1) = (2x-1)(x+3)[3(2x+1) + (x-3)]\] \[F = (2x-1)(x+3)(6x+3+x-3) = 7x(2x-1)(x+3)\]
4. \(F=0 \iff x=0 \text{ أو } x=\frac{1}{2} \text{ أو } x=-3\)

1. تفكيك العبارات :
   • \(A = x(x-3)\)
   • \(B = (x-3)(x+3)\)
   • \(C = 3x(x-3) - 2(x-3)(x+3) = (x-3)[3x - 2(x+3)] = (x-3)(x-6)\)
   • \(D = (x+\sqrt{3})^2 - (2x-\sqrt{3})^2 = [(x+\sqrt{3})-(2x-\sqrt{3})][(x+\sqrt{3})+(2x-\sqrt{3})] = (-x+2\sqrt{3})(3x) = 3x(2\sqrt{3}-x)\)
2. أ- \(A=0 \iff x=0 \text{ أو } x=3\)
   ب- \(A=B \iff A-B=0 \iff x(x-3)-(x-3)(x+3)=0 \iff (x-3)(x-(x+3))=0 \iff -3(x-3)=0 \iff x=3\)
   ج- \(A=D \iff x(x-3) = 3x(2\sqrt{3}-x) \iff x[(x-3) - 3(2\sqrt{3}-x)] = 0 \iff x(4x - 3 - 6\sqrt{3}) = 0 \iff x=0 \text{ أو } x=\frac{3+6\sqrt{3}}{4}\)

1. أ- عند \(x=\sqrt{3}\) : \[P = (\sqrt{3}+\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2 + \frac{1}{2}) = (2\sqrt{3})^2 + 2(2\sqrt{3} - 3 + \frac{1}{2}) = 12 + 4\sqrt{3} - 5 = 7 + 4\sqrt{3}\] ب- \(7+4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2\)
2. تبيين أن \(P=x^2+4x+4\) : \[P = x^2 + 2x\sqrt{3} + 3 + 4x - 2x\sqrt{3} + 1 = x^2 + 4x + 4\]
3. تفكيك \(P\) : \[P = (x+2)^2\]

1. عند \(x=\frac{2}{3}\) : \(A = \frac{1}{3}(0) + 2\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{7}{3} = \frac{4}{3} - \frac{7}{3} = -1\)
2. \(A = x - \frac{2}{3} + 2x - \frac{7}{3} = 3x - \frac{9}{3} = 3x - 3\)
3. أ- عند \(x=\sqrt{2}\) : \(B = (\sqrt{2})^2 - (1+\sqrt{2})\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 0\)
   ب- \((x-1)(x-\sqrt{2}) = x^2 - \sqrt{2}x - x + \sqrt{2} = x^2 - (1+\sqrt{2})x + \sqrt{2} = B\)
4. أ- \(B-A = (x-1)(x-\sqrt{2}) - 3(x-1) = (x-1)[(x-\sqrt{2})-3] = (x-1)(x-\sqrt{2}-3)\)
   ب- \(A=B \iff B-A=0 \iff (x-1)(x-\sqrt{2}-3)=0 \iff x=1 \text{ أو } x=3+\sqrt{2}\)

1. نحسب الفرق : \[\frac{ab}{a-b} - \left(-\frac{a-b}{4}\right) = \frac{ab}{a-b} + \frac{a-b}{4} = \frac{4ab + (a-b)^2}{4(a-b)} = \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{4(a-b)} = \frac{(a+b)^2}{4(a-b)}\] بما أن \((a+b)^2 \ge 0\) و \(a-b > 0\) فإن هذا الفرق موجب أو منعدم، بالتالي : \(\frac{ab}{a-b} \ge -\frac{a-b}{4}\).
2. إذا كان \(a-b=2\)، بنعويض ذلك في المتفاوتة : \[\frac{ab}{2} \ge -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \implies ab \ge -1\]

1. نعلم أن \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \implies (2\sqrt{3})^2 = x^2 - 2(-2) + y^2 \implies 12 = x^2 + 4 + y^2 \implies x^2+y^2 = 8\). \[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 = \frac{x^2+y^2-2xy}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy} = \frac{12}{-2} = -6\]
2. نضع \(t = \frac{x+2}{x+1}\)، العبارة تصبح : \[t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2 = \left(\frac{x+2}{x+1} - 1\right)^2 = \left(\frac{x+2-(x+1)}{x+1}\right)^2 = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{x^2+2x+1}\]

1. أ- \((x-15)^2 = x^2 - 30x + 225\)
   ب- \(A = x^2 - 30x + 225 - 1 = (x-15)^2 - 1^2 = (x-15-1)(x-15+1) = (x-16)(x-14)\)
2. أ- بما أن \(a+b=30 \implies b=30-a\). و لدينا \(ab=224 \implies a(30-a)=224 \implies 30a-a^2=224 \implies a^2-30a+224=0\)
   ب- حسب التفكيك السابق \(a^2-30a+224 = (a-16)(a-14) = 0 \implies a=16\) أو \(a=14\). وبالتالي العددين هما \(16\) و \(14\).

1. حساب \(A\) عند \(x=-1\) : \(A = 1 - 2 - 3 = -4\).
2. أ- \((x+1)^2 - 4 = x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 + 2x - 3 = A\)
   ب- \(A = (x+1)^2 - 2^2 = (x+1-2)(x+1+2) = (x-1)(x+3)\)
   ج- \(A=0 \iff x=1\) أو \(x=-3\)
3. أ- \(B = (x^2+2x-3) - x^2 + 3 = 2x\)
   ب- نضع \(x = 2013\). العبارة \(2016 \times 2012 - 2013^2 + 3 = (x+3)(x-1) - x^2 + 3 = A - x^2 + 3 = B = 2x = 2(2013) = 4026\).

1. أ- عند \(x=-1\) : \(A = 1 + 6 - 7 = 0\)
   ب- \((x-3)^2 - 16 = x^2 - 6x + 9 - 16 = x^2 - 6x - 7 = A\)
   ج- \(A = (x-3-4)(x-3+4) = (x-7)(x+1)\)
   د- \(A=0 \iff x=7\) أو \(x=-1\)
2. أ- \(B = (x^2+4x+4) - (x^2+2x+1) = 2x+3\)
   ب- نضع \(m = x+2\) و \(n = x+1\) عددين متتاليين. \(m^2 - n^2 = 2x+3 = 2003 \implies 2x = 2000 \implies x = 1000\).
   إذن \(n = 1001\) و \(m = 1002\).

1. عند \(x=0\) : \(A = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3\)
2. أ- \(A = (x-1-2)(x-1+2) = (x-3)(x+1)\)
   ب- \((x-1)^2 = 4 \iff A = 0 \iff x=3\) أو \(x=-1\)
3. أ- \(B = (x^2-2x+1-4) - x^2 + 3 = -2x\)
   ب- بوضع \(x = 1110\)، لدينا \(1111 = x+1\) و \(1107 = x-3\).
   إذن \(n = (x+1)(x-3) - x^2 + 3 = A - x^2 + 3 = B = -2x = -2(1110) = -2220\).

1. أ- \(E = (4x^2-4x+1) + (4x^2+4x+1) + (4x^2+12x+9) = 12x^2 + 12x + 11\)
   ب- عند \(x=3\) : \(E = 12(9) + 12(3) + 11 = 108 + 36 + 11 = 155\)
2. أ- \((x+\frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4} = x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{25}{4} = x^2 + x - 6 = F\)
   ب- \(F = (x+\frac{1}{2}-\frac{5}{2})(x+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}) = (x-2)(x+3)\)
3. أ- \(E - 83 = 12x^2 + 12x - 72 = 12(x^2 + x - 6) = 12F\)
   ب- مجموع مربعات ثلاثة أعداد فردية متتالية هو من الشكل \(E\).
   \(E = 83 \iff E - 83 = 0 \iff 12F = 0 \iff F = 0 \iff (x-2)(x+3) = 0\).
   بما أن الأعداد طبيعية، نأخذ \(x = 2\).
   الأعداد هي : \(2x-1 = 3\)، و \(2x+1 = 5\)، و \(2x+3 = 7\). (تثبت: \(3^2+5^2+7^2 = 9+25+49 = 83\)).

1. عند \(x=0\) : \(P = 5\). عند \(x=\frac{2}{3}\) : \(P = 3(\frac{4}{9}) + 6(\frac{2}{3}) + 5 = \frac{4}{3} + 4 + 5 = \frac{31}{3}\).
2. أ- \(Q = (x^2 - 3) + 2x^2 - 2\sqrt{3} + 8 = 3x^2 + 5 - 2\sqrt{3}\)
   ب- \(P - Q = (3x^2+6x+5) - (3x^2+5-2\sqrt{3}) = 6x + 2\sqrt{3}\). عند \(x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) : \(6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 0\).
   ج- لا، لأن \(P - Q = 6x + 2\sqrt{3}\) وهي عبارة تتغير بتغير \(x\) وليست منعدمة دائماً.
3. أ- \(x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 = x^2 + (x^2+2x+1) + (x^2+4x+4) = 3x^2 + 6x + 5 = P\)
   ب- \(P = 3(x^2 + 2x + 1) + 2 = 3(x+1)^2 + 2\). إذن باقي القسمة الإقليدية لمجموع مربعات 3 أعداد متتالية على 3 هو دائماً \(2\).

1. أ- عند \(x=-\frac{1}{2}\) : \(E = (\frac{1}{2})^2 - 4 = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4}\)
   ب- \(E = (x+1-2)(x+1+2) = (x-1)(x+3)\)
   ج- \(E=0 \iff x=1\) أو \(x=-3\)
2. مساحة المربع الكبير : \(S_{ABCD} = (2\sqrt{2})^2 = 8\).
   ضلع المربع الصغير : \(ED = x+1\). مساحته : \(S_{EFGD} = (x+1)^2\).
   \(S_{EFGD} = \frac{1}{2}S_{ABCD} \iff (x+1)^2 = \frac{1}{2}(8) = 4 \iff (x+1)^2 - 4 = 0 \iff E = 0\).
   بما أن \(x \ge 0\)، نأخذ الحل الموجب \(x = 1\).

مساحة الجزء الملون تساوي مساحة المربع الكبير ABCD مطروحاً منها مساحة المربع الصغير EFCH :

1. مساحة المستطيل هي \(a(a+2)\) ومساحة المربع الصغير هي \(1^2 = 1\).
   المساحة الإجمالية للملون : \(S = a(a+2) + 1 = a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2\).
2. نلاحظ أن \(2013 \times 2011 + 1\) هي من الشكل \(a(a+2) + 1\) حيث \(a = 2011\).
   بالتالي : \(2013 \times 2011 + 1 = (2011+1)^2 = 2012^2\).
   إذن : \(\sqrt{2013\times2011+1} = \sqrt{2012^2} = 2012\).

1. مساحة المستطيل : \(S_1 = (3x+3)(x-1) = 3(x+1)(x-1) = 3(x^2-1) = 3x^2 - 3\).
2. مساحة المربع : \(S_2 = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\).
3. نقارن بين المساحتين بحساب الفرق : \[S_2 - S_1 = (4x^2 + 4x + 1) - (3x^2 - 3) = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\] بما أن \((x+2)^2 > 0\) لأي طول مقبول، فإن مساحة المربع أكبر دائماً من مساحة المستطيل.

1. \((4-x)^2 - 9 = (4-x-3)(4-x+3) = (1-x)(7-x)\)
2. أ- بتطبيق طاليس في المثلث ABC بما أن \((MN) // (BC)\) : \[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \implies \frac{4-x}{4} = \frac{8-CN}{8} \implies 8-CN = 2(4-x) = 8-2x \implies CN = 2x\] ب- مساحة AMN : \(S = \frac{1}{2} \times AM \times AN = \frac{1}{2}(4-x)(8-2x) = (4-x)^2\)
   ج- \(S = 9 \iff (4-x)^2 = 9 \iff (4-x)^2 - 9 = 0 \iff (1-x)(7-x) = 0 \iff x=1\) (لأن \(x < 4\)).

1. \(A = 9x^2 + 36x + 36\)
   \(B = 16x^2 + 64x + 64\)
2. \(C = 25(x^2 + 4x + 4) = 25(x+2)^2 = (5x+10)^2\)
3. نلاحظ أن \(AB^2 + BC^2 = A + B = (9x^2+36x+36) + (16x^2+64x+64) = 25x^2 + 100x + 100 = C = AC^2\).
   حسب العكسية لنظرية بيتاغور، المثلث ABC قائم الزاوية في B.

1. بما أن (MN) و (BC) عموديان على (AB)، فإن \((MN) // (BC)\). بتطبيق نظرية طاليس : \[\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC} \implies \frac{x}{4} = \frac{MN}{3} \implies MN = \frac{3}{4}x\]
2. مساحة AMN هي \(S_1 = \frac{1}{2} \times x \times \frac{3}{4}x = \frac{3}{8}x^2\).
   مساحة ABC هي \(S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\).
   تتساوى مساحة AMN و MNCB إذا كانت مساحة AMN تساوي نصف مساحة ABC : \[\frac{3}{8}x^2 = 3 \implies x^2 = 8 \implies x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

1. أ- من المثلث القائم ABF : \(AF^2 = BF^2 - AB^2 = (x+6)^2 - (x-6)^2\)
   ب- \(T = (x^2 + 12x + 36) - (x^2 - 12x + 36) = 24x\)
2. من المثلث APC القائم : \(S = PC^2 - AC^2 = (x+6)^2 - (x-5)^2 = (x^2+12x+36) - (x^2-10x+25) = 22x + 11 = 11(2x+1)\)
3. حساب \(a\) : نلاحظ أن البسط هو من الشكل \((x+6)^2 - (x-6)^2 = 24x\) حيث \(x = 456789000\).
   \(a = \frac{24 \times 456789000}{24000} = \frac{456789000}{1000} = 456789\).
   حساب \(b\) : من الشكل \((x+6)^2 - (x-5)^2\) مع \(x = 409308005\).
   \(b = 11(2(409308005)+1) = 11(818616011) = 9004776121\).

1. في المثلث CDE القائم في C : \(EC = 10 - 1,6 = 8,4\).
   \(DE^2 = CD^2 + EC^2 = 10^2 + (8,4)^2 = 100 + 70,56 = 170,56 \implies DE = \sqrt{170,56} = 13,06\)
2. في AOD القائم : \(OD^2 = AD^2 + AO^2 = 100 + x^2\).
   في OBE القائم : \(OB = 10-x\). \(OE^2 = OB^2 + BE^2 = (10-x)^2 + (1,6)^2 = 100 - 20x + x^2 + 2,56 = x^2 - 20x + 102,56\).
3. إذا كان ODE قائماً في O : \(OD^2 + OE^2 = DE^2\)
   \((100+x^2) + (x^2-20x+102,56) = 170,56 \implies 2x^2 - 20x + 32 = 0 \implies x^2 - 10x + 16 = 0\).
4. أ- \((x-5)^2 - 9 = x^2 - 10x + 25 - 9 = x^2 - 10x + 16\)
   ب- \((x-5-3)(x-5+3) = (x-8)(x-2)\)
   ج- \(ODE\) قائم \iff \((x-8)(x-2)=0 \iff x=8\) أو \(x=2\).
5. بما أن المثلث ODE قائم في O والمثلث DCE قائم في C، ولهما نفس الوتر [DE] الذي منتصفه I، فإن O و C ينتميان للدائرة التي قطرها [DE] ومركزها I وشعاعها \(\frac{DE}{2}\).

1. حسب نظرية بيتاغور، إذا كان المثلث قائم في B فإن الوتر هو AC، بالتالي \(AC^2 = AB^2 + BC^2\)، أي \((a+3)^2 = (a+2)^2 + (a-1)^2\).
2. أ- \((a+3)^2 = a^2 + 6a + 9\)
   ب- \((a+2)^2 + (a-1)^2 = (a^2+4a+4) + (a^2-2a+1) = 2a^2 + 2a + 5\)
   ج- \(a^2 + 6a + 9 = 2a^2 + 2a + 5 \implies a^2 - 4a - 4 = 0\).
3. أ- \((x-2)^2 - 8 = x^2 - 4x + 4 - 8 = x^2 - 4x - 4 = E\)
   ب- \(E=0 \iff (x-2)^2 = 8 \iff x-2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) أو \(x-2 = -2\sqrt{2} \iff x = 2+2\sqrt{2}\) أو \(x = 2-2\sqrt{2}\).
   ج- بما أن أطوال الاضلاع موجبة، نختار الحل الموجب القطعي الذي يجعل الأطوال موجبة : \(a = 2+2\sqrt{2}\).

1. في المثلث القائم ABC، لدينا العلاقات القياسية: \(AH^2 = HB \times HC\).
   بما أن \(HB = BC - CH = 6 - x\)، فإن : \(AH^2 = x(6-x)\).
   بالتعويض : \(\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 6x - x^2 \implies \frac{27}{4} = 6x - x^2 \implies x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0\).
2. ننشر الطرف الأيمن : \[\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{9}{2}\right) = x^2 - \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}x + \frac{27}{4} = x^2 - 6x + \frac{27}{4}\]
3. تحديد CH : \[x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0 \iff \left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{9}{2}\right) = 0 \iff x = \frac{3}{2} \text{ أو } x = \frac{9}{2}\] بما أن الرسم أو المعطيات البيانية تظهر المعنى، فإن قيمة \(CH = \frac{3}{2}\) (أو \(\frac{9}{2}\) حسب الرسم).
   حساب AB : باستخدام العلاقة القياسية \(AB^2 = BH \times BC\).
   إذا كان \(CH = \frac{3}{2}\)، فإن \(BH = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\).
   \(AB^2 = \frac{9}{2} \times 6 = 27 \implies AB = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).