1) العبارة $(a+b)^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
✔ الإجابة الصحيحة هي $a^2+2ab+b^2$: لأنها تمثل صيغة الجذاء المعتبر لمربع مجموع حدين: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
✗ الخيارات الأخرى خاطئة لأنها تُهمل جذاء الحدين $2ab$ أو تتضمن إشارات خاطئة.
2) العبارة $(a-b)^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
✔ الإجابة الصحيحة هي $a^2-2ab+b^2$: حسب جذاء مربع فارق حدين $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
✗ الخيار الآخر خاطئ لأن $(-b)^2 = +b^2$ وليس $-b^2$ والحد الأوسط يجب أن يكون سلبياً $-2ab$.
3) العبارة $(\sqrt{5}-1)^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(1) + 1^2$
$= 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$
✔ بالتالي $6-2\sqrt{5}$ هو المقترح السليم.
✗ الإجابة $6+2\sqrt{5}$ خاطئة لأن إشارة الحد الأوسط سلبية. وإجابة 4 خاطئة لتجاهل الحد الضربي $-2ab$.
4) العبارة $(\sqrt{20}-\sqrt{5})^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
نعلم أن $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$
إذن $(\sqrt{20}-\sqrt{5})^2 = (2\sqrt{5}-\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$
✔ المقترح 5 صحيح.
✗ الخيارات الأخرى خاطئة ناتجة عن تطبيق خاطئ لتربيع الحدود منفصلة $(\sqrt{20})^2 - (\sqrt{5})^2 = 15$.
5) العبارة $(\sqrt{2}-\sqrt{8})^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
نعلم أن $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$(\sqrt{2}-2\sqrt{2})^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$
✔ 2 هي الإجابة الصحيحة.
6) العبارة $(7\sqrt{2}-\sqrt{8})^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \implies 7\sqrt{2}-2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
$(5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$
✔ الخيار الصحيح هو 50.
7) العبارة $(3-2\sqrt{2})^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(3-2\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2(3)(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$
8) العبارة $\frac{(\sqrt{2}-2)^2}{2}$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(\sqrt{2}-2)^2 = 2 - 4\sqrt{2} + 4 = 6 - 4\sqrt{2}$
$\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$
✔ الخيار $3-2\sqrt{2}$ هو الصحيح.
9) إذا كان $(7+2\sqrt{3})^2 = 28\sqrt{3} + a$ فإن $a$ يساوي:
التفسير والتعليل:
$(7+2\sqrt{3})^2 = 7^2 + 2(7)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 49 + 28\sqrt{3} + 12 = 61 + 28\sqrt{3}$
بالمقارنة مع $28\sqrt{3} + a$ نجد أن $a = 61$.
10) العبارة $(2\sqrt{5}+1)^2 - (2\sqrt{5}-1)^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
استخدام الصيغة $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$A-B = (2\sqrt{5}+1) - (2\sqrt{5}-1) = 2$
$A+B = (2\sqrt{5}+1) + (2\sqrt{5}-1) = 4\sqrt{5}$
الجذاء: $2 \times 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
1) العبارة $\sqrt{13-4\sqrt{3}}$ تساوي:
التفسير والتعليل:
لاحظ أن $(2\sqrt{3}-1)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(1) + 1^2 = 12 - 4\sqrt{3} + 1 = 13 - 4\sqrt{3}$
بما أن $2\sqrt{3} = \sqrt{12} > 1$ فإن $\sqrt{13-4\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}-1$.
2) العبارة $9-4\sqrt{2}$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(2\sqrt{2}-1)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} + 1 = 8 - 4\sqrt{2} + 1 = 9 - 4\sqrt{2}$.
3) العبارة $\frac{7}{3-\sqrt{2}}$ تساوي:
التفسير والتعليل:
ضرب المقام والبسط في المرافق $(3+\sqrt{2})$:
$\frac{7(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{7(3+\sqrt{2})}{7} = 3+\sqrt{2}$
4) العبارة $(\sqrt{2}+1)^2 - 3$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(\sqrt{2}+1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$
$(3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2}$
5) إذا كان قيس ضلع مربع $\sqrt{3}+2$ فإن قيس مساحة المربع يساوي:
التفسير والتعليل:
المساحة = $(\text{الضلع})^2 = (\sqrt{3}+2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7+4\sqrt{3}$
6) مستطيل بعداه $3\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ و $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$ قيس مساحته:
التفسير والتعليل:
مساحة المستطيل = الطول $\times$ العرض = $(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})$
$= (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (9 \times 2) - (4 \times 3) = 18 - 12 = 6$
7) إذا كان $a$ و $b$ عددان حقيقيان حيث $a+b=3\sqrt{2}$ و $ab=4$ فإن $a^2+b^2$ يساوي:
التفسير والتعليل:
نعلم أن $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \implies a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
$a^2+b^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2(4) = 18 - 8 = 10$
8) إذا كان $a$ و $b$ عددان حقيقيان مقلوبان حيث $a^2+b^2=\frac{10}{3}$ فإن $a+b$ يساوي:
التفسير والتعليل:
$a$ و $b$ مقلوبان تعني $ab=1$
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab = \frac{10}{3} + 2 = \frac{16}{3}$
$a+b = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
9) $999^2-1$ يساوي:
التفسير والتعليل:
$999^2 - 1^2 = (999-1)(999+1) = 998 \times 1000 = 998000$
10) نعتبر الشكل المرفق حيث قيس ضلع المربع الكبير $x+3$ والمربع الصغير 2: قيس المساحة الملونة بدلالة $x$ يساوي:
التفسير والتعليل:
المساحة الملونة = مساحة المربع الكبير - مساحة المربع الأبيض
$= (x+3)^2 - 2^2 = (x^2+6x+9) - 4 = x^2+6x+5$
1) مهما يكن العدد الحقيقي $x$ فإن العبارة $(3x-2)^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$
2) مهما يكن العدد الحقيقي $x$ فإن العبارة $x^2-16$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$ حسب الجذاء المعتبر $a^2-b^2$.
3) العبارة $x(x-2)+1$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$x(x-2)+1 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$
4) إذا كان $P=x^2-2$ و $x=-\sqrt{2}$ فإن:
التفسير والتعليل:
$P = (-\sqrt{2})^2 - 2 = 2 - 2 = 0$
5) العبارة $(2x+3)^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$
6) العبارة $(2x+\sqrt{3})^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(2x+\sqrt{3})^2 = 4x^2 + 2(2x)(\sqrt{3}) + 3 = 4x^2 + 4x\sqrt{3} + 3$
7) إذا كان $x$ عددا حقيقيا فإن $2x^2-4x+2$ يساوي:
التفسير والتعليل:
$(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{2}x)^2 - 2(\sqrt{2}x)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 2x^2 - 4x + 2$
8) العبارة $(2x+1)^2-4$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(2x+1)^2 - 2^2 = (2x+1-2)(2x+1+2) = (2x-1)(2x+3)$
9) العبارة $x(x-1)^2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$x(x-1)^2 = x(x^2-2x+1) = x^3 - 2x^2 + x$
10) العبارة $(\frac{2}{3}x+1)(1-\frac{2}{3}x)$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(1+\frac{2}{3}x)(1-\frac{2}{3}x) = 1^2 - (\frac{2}{3}x)^2 = 1 - \frac{4}{9}x^2$
1) مهما يكن العدد الحقيقي $x$ فإن العبارة $A=x^2-6x+9$ موجبة.
التفسير والتعليل:
$A = (x-3)^2$ وبما أن مربع أي عدد حقيقي هو دائماً موجب أو معدوم ($(x-3)^2 \ge 0$)، فالعبارة صواب.
2) $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 5$
التفسير والتعليل:
$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} \neq 5$.
3) $(-\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{16}{5}$
التفسير والتعليل:
$-\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{-5+1}{\sqrt{5}} = \frac{-4}{\sqrt{5}}$
$(\frac{-4}{\sqrt{5}})^2 = \frac{16}{5}$. فالعبارة صواب.
4) $(-\sqrt{5}+\frac{1}{\sqrt{5}})(-\sqrt{5}-\frac{1}{\sqrt{5}}) = \frac{24}{5}$
التفسير والتعليل:
$= (-\sqrt{5})^2 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = 5 - \frac{1}{5} = \frac{24}{5}$. صواب.
5) إذا كان $x=\sqrt{5}$ فإن العبارة $x^2+2x+1$ تساوي $(1+\sqrt{5})^2$.
التفسير والتعليل:
$x^2+2x+1 = (x+1)^2 = (\sqrt{5}+1)^2 = (1+\sqrt{5})^2$. صواب.
6) إذا كان $t=\sqrt{5}$ فإن العبارة $c=25t^2-20t+4$ تساوي 1.
التفسير والتعليل:
$c = (5t-2)^2 = (5\sqrt{5}-2)^2 = 125 - 20\sqrt{5} + 4 = 129 - 20\sqrt{5} \neq 1$. خطأ.
7) إذا كان $x=\frac{\sqrt{6}+2}{2}$ و $y=\frac{\sqrt{6}-2}{2}$ فإن $x \times y = \frac{1}{2}$.
التفسير والتعليل:
$x \cdot y = \frac{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}{4} = \frac{6-4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. صواب.
1) العبارة $(2\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}-\sqrt{2})$ تساوي:
التفسير والتعليل:
تطبيق القاعدة $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ مع $a=2\sqrt{3}$ و $b=\sqrt{2}$.
2) إذا كان $x=\frac{\sqrt{7}+2}{3}$ و $y=\frac{1}{\sqrt{7}-2}$ فإن:
التفسير والتعليل:
$y = \frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{\sqrt{7}+2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$
إذن $x = y$.
3) العبارة $4x^2-4\sqrt{2}x+2$ تساوي:
التفسير والتعليل:
$(2x-\sqrt{2})^2 = (2x)^2 - 2(2x)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 4x^2 - 4\sqrt{2}x + 2$.
4) الجذاء $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)$ يساوي:
التفسير والتعليل:
نعيد تجميع الحدود: $[(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)] \times [(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)]$
$= (3-1) \times (5-1) = 2 \times 4 = 8$.
5) العبارة $E=(3x-2)^2-16=0$ إذا كان:
التفسير والتعليل:
$E = (3x-2-4)(3x-2+4) = (3x-6)(3x+2) = 0$
$3x-6=0 \implies x=2$ أو $3x+2=0 \implies x=-\frac{2}{3}$.
6) إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين بحيث $(a+b)^2=a^2+b^2+2$ فإن:
التفسير والتعليل:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 = a^2+b^2+2 \implies 2ab = 2 \implies ab = 1$
ما يعني أن $a$ و $b$ مقلوبان.