سلسلة وضعيات وتمارين في الرياضيات

التمرين الأول

(1) لتكن العبارة $E = x^2 - 9x + 16$ حيث $x \in \mathbb{R}$.

أ- بين أن $E = \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{17}{4}$.

$\left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{17}{4} = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2 - \frac{17}{4}$

$= x^2 - 9x + \frac{81}{4} - \frac{17}{4}$

$= x^2 - 9x + \frac{64}{4}$

$= x^2 - 9x + 16$

إذن $E = \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{17}{4}$

ب- حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $E = 0$.

$\left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \frac{17}{4} = 0 \iff \left(x - \frac{9}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^2 = 0$

$\left(x - \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}\right)\left(x - \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right) = 0$

$x = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$ أو $x = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$

(2) مستطيل $ABCD$ حيث $AB = 9$ و $AD = 4$ و $M \in [CD]$ حيث $CM = x$.

أ- بين أن $AM^2 = x^2 - 18x + 97$.

في المثلث $ADM$ القائم في $D$، لدينا $DM = 9 - x$ و $AD = 4$.

$AM^2 = AD^2 + DM^2$

$AM^2 = 4^2 + (9 - x)^2$

$AM^2 = 16 + 81 - 18x + x^2$

$AM^2 = x^2 - 18x + 97$

ب- بين أن $AM^2 + BM^2 = 2x^2 - 18x + 113$.

في المثلث $BCM$ القائم في $C$، لدينا $BM^2 = BC^2 + CM^2 = 4^2 + x^2 = x^2 + 16$.

$AM^2 + BM^2 = (x^2 - 18x + 97) + (x^2 + 16)$

$AM^2 + BM^2 = 2x^2 - 18x + 113$

التمرين الثاني

نعتبر العددين $a = \frac{\sqrt{13}+3}{2}$ و $b = \frac{\sqrt{13}-3}{2}$.

1) بين أن $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{(b-a)^2}{ab}$.

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{b^2 + a^2 - 2ab}{ab} = \frac{(b-a)^2}{ab}$

2) أ- احسب $a \cdot b$.

$a \cdot b = \left(\frac{\sqrt{13}+3}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{13}-3}{2}\right) = \frac{13 - 9}{4} = \frac{4}{4} = 1$

2) ب- بين أن $a$ مقلوب $b$.

بما أن $a \cdot b = 1$ فإن $a$ هو مقلوب $b$.

التمرين الثالث

لتكن العبارة $p = x^2 - 5x + 4$.

1) أ- احسب $p$ في حالة $x = -\sqrt{2}$.

$p = (-\sqrt{2})^2 - 5(-\sqrt{2}) + 4 = 2 + 5\sqrt{2} + 4 = 6 + 5\sqrt{2}$

1) ب- بين أن $p = (x-4)(x-1)$.

$(x-4)(x-1) = x^2 - x - 4x + 4 = x^2 - 5x + 4 = p$

2) أ- أوجد $x$ إذا كان $p = 0$.

$(x-4)(x-1) = 0 \iff x = 4$ أو $x = 1$

التمرين الرابع

نعتبر العددين $a = 9 - (\sqrt{50} - \sqrt{81}) - \sqrt{18}$ و $b = (1+\sqrt{2})^2$.

1) أ- بين أن $a = 18 - 8\sqrt{2}$ و $b = 3 + 2\sqrt{2}$.

$a = 9 - 5\sqrt{2} + 9 - 3\sqrt{2} = 18 - 8\sqrt{2}$

$b = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$

1) ب- قارن بين $a$ و $b$.

$a - b = (18 - 8\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = 15 - 10\sqrt{2}$

بما أن $15^2 = 225$ و $(10\sqrt{2})^2 = 200$ فإن $15 > 10\sqrt{2}$ وبالتالي $a > b$.

التمرين الخامس

$ABCD$ مربع ضلعه 4 سم، و$M \in [CB]$ و$N \in [CD]$ حيث $CM = CN = x$.

1) بين أن $AM^2 = AN^2 = x^2 - 8x + 32$ و $MN^2 = 2x^2$.

في المثلث $MCN$ القائم في $C$: $MN^2 = CM^2 + CN^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$

في المثلث $ABM$ القائم في $B$ ($BM = 4 - x$): $AM^2 = 4^2 + (4 - x)^2 = 16 + 16 - 8x + x^2 = x^2 - 8x + 32$

2) بين أن $MN^2 - AM^2 = x^2 + 8x - 32$.

$MN^2 - AM^2 = 2x^2 - (x^2 - 8x + 32) = x^2 + 8x - 32$

3) أ- أثبت أن $x^2 + 8x - 32 = (x + 4)^2 - 48$.

$(x + 4)^2 - 48 = x^2 + 8x + 16 - 48 = x^2 + 8x - 32$

3) ب- أوجد $x$ ليكون المثلث $AMN$ متقايس الأضلاع.

يكون متقايس الأضلاع إذا كان $MN^2 = AM^2 \iff MN^2 - AM^2 = 0$

$(x + 4)^2 - 48 = 0 \iff (x + 4)^2 = (\sqrt{48})^2 = (4\sqrt{3})^2$

بما أن $x > 0$ فإن $x + 4 = 4\sqrt{3} \implies x = 4\sqrt{3} - 4$

التمرين السادس

نعتبر $a = \sqrt{18} - \sqrt{8}(1 - \sqrt{2}) - 6$ و $b = 1 - \sqrt{27 - 18\sqrt{2}}$.

1) بين أن $a = \sqrt{2} - 2$.

$a = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}(1 - \sqrt{2}) - 6$

$a = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 4 - 6 = \sqrt{2} - 2$

2) أ- بين أن $(3 - 3\sqrt{2})^2 = 27 - 18\sqrt{2}$.

$(3 - 3\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2(3)(3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 = 9 - 18\sqrt{2} + 18 = 27 - 18\sqrt{2}$

2) ب- استنتج أن $b = 4 - 3\sqrt{2}$.

$b = 1 - \sqrt{(3 - 3\sqrt{2})^2} = 1 - |3 - 3\sqrt{2}|$

بما أن $3 < 3\sqrt{2}$ فإن $|3 - 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} - 3$

$b = 1 - (3\sqrt{2} - 3) = 1 - 3\sqrt{2} + 3 = 4 - 3\sqrt{2}$

التمرين السابع

نعتبر $a = (\sqrt{3} + 2)^2$ و $b = 3\sqrt{18} - \sqrt{32} + 7$ و $c = 7 - 4\sqrt{3}$.

1) بين أن $a$ و $c$ مقلوبان.

$a = 7 + 4\sqrt{3}$

$a \cdot c = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1$

إذن $a$ و $c$ مقلوبان.

2) استنتج أن $bc > 1$.

نعلم أن $b > a \implies b \cdot c > a \cdot c$ (لأن $c > 0$)

بما أن $a \cdot c = 1$ فإن $bc > 1$.

التمرين الثامن

$ABCD$ مربع قيس ضلعه 10، $E \in [BC]$ حيث $BE = 1.6$، و $O \in [AB]$ حيث $AO = x$.

1) أحسب $DE^2$.

في المثلث $DCE$ القائم في $C$ ($CE = 10 - 1.6 = 8.4$):

$DE^2 = CD^2 + CE^2 = 10^2 + (8.4)^2 = 100 + 70.56 = 170.56$

2) أحسب $OD^2$ و $OE^2$ بدلالة $x$.

في المثلث $AOD$ القائم في $A$: $OD^2 = AD^2 + AO^2 = 100 + x^2$

في المثلث $OBE$ القائم في $B$ ($OB = 10 - x$): $OE^2 = OB^2 + BE^2 = (10 - x)^2 + (1.6)^2 = x^2 - 20x + 100 + 2.56 = x^2 - 20x + 102.56$

التمرين التاسع

نعتبر $a = (4 + \sqrt{2})^2 - (15 + 10\sqrt{2})$ و $b = 3 + 2\sqrt{2}$.

1) بين أن $a = 3 - 2\sqrt{2}$.

$(4 + \sqrt{2})^2 = 16 + 8\sqrt{2} + 2 = 18 + 8\sqrt{2}$

$a = 18 + 8\sqrt{2} - 15 - 10\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

2) بين أن العددين $a$ و $b$ مقلوبان.

$a \cdot b = (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

التمرين العاشر

لتكن العبارة $E = x^2 - 8x + 15$.

1) أحسب القيمة العددية لـ $E$ إذا كان $x = 4$.

$E = 4^2 - 8(4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$

2) أ- بين أن $E = (x - 4)^2 - 1$.

$(x - 4)^2 - 1 = x^2 - 8x + 16 - 1 = x^2 - 8x + 15 = E$

2) ب- تفكيك العبارة $E$.

$E = (x - 4)^2 - 1^2 = (x - 4 - 1)(x - 4 + 1) = (x - 5)(x - 3)$

التمرين الحادي عشر

نعتبر العبارة $F = 3x^2 - 2\sqrt{2}x - 2$.

1) أ- أحسب $F$ إذا كان $x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

$F = 3\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 - 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) - 2$

$F = 3\left(\frac{2}{9}\right) + \frac{4}{3} - 2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$

1) ب- بين أن $F = 4x^2 - (x + \sqrt{2})^2$.

$4x^2 - (x^2 + 2\sqrt{2}x + 2) = 4x^2 - x^2 - 2\sqrt{2}x - 2 = 3x^2 - 2\sqrt{2}x - 2 = F$

التمرين الثاني عشر

نعتبر العددين $a = \sqrt{\frac{7}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2}} + \frac{5 - (\sqrt{2}-1)^2}{4}$ و $b = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$.

1) بين أن $a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ و $b = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$.

بالنسبة لـ $b$: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

$b = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

2) أثبت أن $a \cdot b = 1$.

$a \cdot b = \left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

سلسلة تمارين ووضعيات شاملة في الرياضيات