🔴 حساب مساحة الجزء الأحمر

📌 نص المسألة

نعتبر مثلثًا متساوي الأضلاع \(ABC\) طول كل ضلع:

\[ AB = AC = BC = 2 \text{ سم} \]

على كل رأس من رؤوس المثلث، نضع دائرة نصف قطرها:

\[ r = 1 \text{ سم} \]

الدوائر الثلاث تتلامس مع بعضها البعض. الجزء الأحمر هو المساحة التي تقع **داخل** المثلث لكن **خارج** الدوائر الثلاث.

1️⃣ مساحة المثلث المتساوي الأضلاع

طول الضلع:

\[ c = 2 \text{ سم} \]

صيغة مساحة مثلث متساوي الأضلاع:

\[ A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} c^2 \]

ما مساحة المثلث؟

\[ A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3} \text{ سم}^2 \] \[ A_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ A_{\triangle} = 2\sqrt{3} \]

2️⃣ القطاعات الدائرية داخل المثلث

كل دائرة لها قطاع بزاوية معينة يقع **داخل** المثلث.

ما هي زاوية كل قطاع؟ (تلميح: كل زاوية من زوايا المثلث المتساوي الأضلاع = 60°)

\[ \theta = 60° \] \[ \theta = 90° \] \[ \theta = 120° \]

3️⃣ مساحة القطاع الواحد

مساحة القطاع الدائري بزاوية \(\theta\) ونصف قطر \(r = 1\):

\[ A_{\text{قطاع}} = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2 \]

بـ \(\theta = 60°\) و \(r = 1\):

\[ A_{\text{قطاع}} = \frac{60°}{360°} \times \pi = \frac{\pi}{6} \text{ سم}^2 \] \[ A_{\text{قطاع}} = \frac{\pi}{4} \] \[ A_{\text{قطاع}} = \frac{\pi}{3} \]

4️⃣ المساحة الكلية للقطاعات الثلاثة

لدينا 3 قطاعات متطابقة:

\[ A_{\text{كل}} = 3 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \text{ سم}^2 \] \[ A_{\text{كل}} = \frac{3\pi}{4} \] \[ A_{\text{كل}} = \pi \]

5️⃣ الجزء الأحمر = المثلث − القطاعات

الجزء الأحمر هو كل ما يقع **داخل** المثلث لكن **خارج** الدوائر:

\[ A_{\text{أحمر}} = A_{\triangle} - A_{\text{كل}} \] \[ A_{\text{أحمر}} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{2} \text{ سم}^2 \] \[ A_{\text{أحمر}} = \frac{\pi}{2} - \sqrt{3} \] \[ A_{\text{أحمر}} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{2} \]

6️⃣ التقدير العددي

بقيم تقريبية:

\[ \sqrt{3} \approx 1{,}732, \quad \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571 \]

إذن:

\[ A_{\text{أحمر}} \approx 1{,}732 - 1{,}571 \approx 0{,}161 \text{ سم}^2 \]

🧠 تفكير نقدي

ما الذي اعتمدنا عليه لحل هذه المسألة؟

تحقق من تفكيري