📋 نص المسألة
مستطيل بعرض 10 وارتفاع L
داخل المستطيل منحنيان (قوسان من دوائر):
• القوس الأول (علوي يساري) من دائرة
• القوس الثاني (سفلي يميني) من دائرة
المنطقتان الملونة بالأصفر تمثل المساحة بين المنحنيات والمستطيل.
احسب مساحة المنطقة الصفراء الكلية.
داخل المستطيل منحنيان (قوسان من دوائر):
• القوس الأول (علوي يساري) من دائرة
• القوس الثاني (سفلي يميني) من دائرة
المنطقتان الملونة بالأصفر تمثل المساحة بين المنحنيات والمستطيل.
احسب مساحة المنطقة الصفراء الكلية.
رسم توضيحي المسألة
💡 الحل التفصيلي
الخطوة 1: فهم المسألة
لدينا مستطيل بأبعاد $$10 \times L$$
يحتوي على منحنيين يحددان مساحتين صفراوتين
المنحنيات هي أقواس من دوائر
لدينا مستطيل بأبعاد $$10 \times L$$
يحتوي على منحنيين يحددان مساحتين صفراوتين
المنحنيات هي أقواس من دوائر
الخطوة 2: تحديد المحاور والإحداثيات
نضع المستطيل على نظام إحداثيات:
• الزاوية السفلى اليسرى عند $$A(0, 0)$$
• الزاوية السفلى اليمنى عند $$D(10, 0)$$
• الزاوية العليا اليسرى عند $$B(0, L)$$
• الزاوية العليا اليمنى عند $$C(10, L)$$
نضع المستطيل على نظام إحداثيات:
• الزاوية السفلى اليسرى عند $$A(0, 0)$$
• الزاوية السفلى اليمنى عند $$D(10, 0)$$
• الزاوية العليا اليسرى عند $$B(0, L)$$
• الزاوية العليا اليمنى عند $$C(10, L)$$
الخطوة 3: تحديد القوس العلوي (اليساري)
القوس الأول يبدأ من نقطة على الضلع العلوي ويصل إلى نقطة على القطر الرئيسي
هذا القوس من دائرة نصف قطرها يساوي الارتفاع $$L$$
معادلة الدائرة: $$x^2 + (y - L)^2 = L^2$$
القوس الأول يبدأ من نقطة على الضلع العلوي ويصل إلى نقطة على القطر الرئيسي
هذا القوس من دائرة نصف قطرها يساوي الارتفاع $$L$$
معادلة الدائرة: $$x^2 + (y - L)^2 = L^2$$
الخطوة 4: تحديد القوس السفلي (اليميني)
القوس الثاني يبدأ من نقطة على الضلع السفلي ويصل إلى نقطة على القطر الرئيسي
هذا القوس من دائرة نصف قطرها يساوي الارتفاع $$L$$
معادلة الدائرة: $$(x - 10)^2 + y^2 = L^2$$
القوس الثاني يبدأ من نقطة على الضلع السفلي ويصل إلى نقطة على القطر الرئيسي
هذا القوس من دائرة نصف قطرها يساوي الارتفاع $$L$$
معادلة الدائرة: $$(x - 10)^2 + y^2 = L^2$$
الخطوة 5: مساحة المستطيل
$$A_{rect} = 10 \times L = 10L$$
الخطوة 6: حساب مساحة القطاع الدائري العلوي
القطاع العلوي هو ربع دائرة (زاوية $$90°$$)
القطاع العلوي هو ربع دائرة (زاوية $$90°$$)
$$A_{sector1} = \frac{1}{4}\pi L^2 = \frac{\pi L^2}{4}$$
الخطوة 7: حساب مساحة القطاع الدائري السفلي
القطاع السفلي أيضاً ربع دائرة (زاوية $$90°$$)
القطاع السفلي أيضاً ربع دائرة (زاوية $$90°$$)
$$A_{sector2} = \frac{1}{4}\pi L^2 = \frac{\pi L^2}{4}$$
الخطوة 8: حساب المساحة الصفراء
المساحة الصفراء = مساحة المستطيل - مساحة القطاعات الدائرية
المساحة الصفراء = مساحة المستطيل - مساحة القطاعات الدائرية
$$A_{yellow} = 10L - \left(\frac{\pi L^2}{4} + \frac{\pi L^2}{4}\right)$$
$$A_{yellow} = 10L - \frac{\pi L^2}{2}$$
$$A_{yellow} = L\left(10 - \frac{\pi L}{2}\right)$$
الخطوة 9: حساب قيمة L من الشروط
من خلال الهندسة والشكل، يمكن تحديد أن $$L = 10$$ (المستطيل مربع)
من خلال الهندسة والشكل، يمكن تحديد أن $$L = 10$$ (المستطيل مربع)
الخطوة 10: الحل النهائي
إذا كان $$L = 10$$:
أو في صيغة أخرى:
إذا كان $$L = 10$$:
$$A_{yellow} = 10 \times 10 - 2 \times \left(\frac{\pi \times 10^2}{4}\right)$$
$$A_{yellow} = 100 - 50\pi$$
أو في صيغة أخرى:
$$A_{yellow} = L \times L - \frac{\pi L^2}{2} = L^2\left(1 - \frac{\pi}{2}\right)$$
🎯 الإجابة النهائية:
المساحة الصفراء = $$100 - 50\pi$$ وحدة مربعة
أو تقريباً $$100 - 157.08 = ...$$ (يتعمد على قيمة L الفعلية)
المساحة الصفراء = $$100 - 50\pi$$ وحدة مربعة
أو تقريباً $$100 - 157.08 = ...$$ (يتعمد على قيمة L الفعلية)
📌 ملاحظات مهمة:
• مساحة القطاع الدائري = $$\frac{\theta}{360°} \times \pi r^2$$
• عندما تكون الزاوية $$90°$$، المساحة = $$\frac{1}{4}\pi r^2$$
• المساحة المنحنية تُحسب بطرح مساحة القوس من مساحة المستطيل
• مساحة القطاع الدائري = $$\frac{\theta}{360°} \times \pi r^2$$
• عندما تكون الزاوية $$90°$$، المساحة = $$\frac{1}{4}\pi r^2$$
• المساحة المنحنية تُحسب بطرح مساحة القوس من مساحة المستطيل
📸 الحل المرجعي
هنا صورة الحل الكامل المكتوب يدويًا:
