📋 نص المسألة
اوجد قيمتي x و y إذا علمت أن:
$$\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = 6 \\ x > y \end{cases}$$
استخدم في الحل:
- ✓ الصيغة القانونية (الشكل الموحد)
- ✓ الجذور التربيعية
- ✓ القيمة المطلقة
💡 الحل التفصيلي
الخطوة 1: فهم المسألة
لدينا نظام معادلات مع شرط إضافي:
لدينا نظام معادلات مع شرط إضافي:
$$x + y = 8 \quad \text{(1)}$$
$$xy = 6 \quad \text{(2)}$$
$$x > y \quad \text{(3)}$$
نريد إيجاد قيم $$x$$ و $$y$$ الحقيقية حيث $$x$$ أكبر من $$y$$
الخطوة 2: استخدام المتطابقة الجبرية
نعرف أن:
نعرف أن:
$$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$$
الخطوة 3: حساب (x - y)²
بالتعويض من المعادلتين (1) و (2):
بالتعويض من المعادلتين (1) و (2):
$$(x - y)^2 = (8)^2 - 4(6)$$
$$(x - y)^2 = 64 - 24$$
$$(x - y)^2 = 40$$
✓ النتيجة موجبة! هذا يعني أن $$x$$ و $$y$$ أعداد حقيقية مختلفة
⚠️ الشرط x > y: يحدد أي الحل هو $$x$$ وأي هو $$y$$
بدون هذا الشرط، كان لدينا حلان متبادلان:
- الحل 1: $$x = 4 + \sqrt{10}$$، $$y = 4 - \sqrt{10}$$
- الحل 2: $$x = 4 - \sqrt{10}$$، $$y = 4 + \sqrt{10}$$
لكن الشرط $$x > y$$ يحدد الحل الأول فقط!
⚠️ الشرط x > y: يحدد أي الحل هو $$x$$ وأي هو $$y$$
بدون هذا الشرط، كان لدينا حلان متبادلان:
- الحل 1: $$x = 4 + \sqrt{10}$$، $$y = 4 - \sqrt{10}$$
- الحل 2: $$x = 4 - \sqrt{10}$$، $$y = 4 + \sqrt{10}$$
لكن الشرط $$x > y$$ يحدد الحل الأول فقط!
الخطوة 4: استخراج الجذر التربيعي
$$|x - y| = \sqrt{40}$$
$$|x - y| = \sqrt{4 \times 10}$$
$$|x - y| = 2\sqrt{10}$$
الخطوة 5: حساب قيم x و y باستخدام الصيغة القانونية
لدينا النظام:
بما أن $$x > y$$ (الشرط المعطى)، فإن $$x - y > 0$$
إذاً $$x - y = 2\sqrt{10}$$ (موجب)
بجمع المعادلتين:
بطرح المعادلة (ب) من (أ):
لدينا النظام:
$$x + y = 8 \quad \text{...(أ)}$$
$$|x - y| = 2\sqrt{10} \quad \text{...(ب)}$$
بما أن $$x > y$$ (الشرط المعطى)، فإن $$x - y > 0$$
إذاً $$x - y = 2\sqrt{10}$$ (موجب)
بجمع المعادلتين:
$$(x + y) + (x - y) = 8 + 2\sqrt{10}$$
$$2x = 8 + 2\sqrt{10}$$
$$x = 4 + \sqrt{10}$$
بطرح المعادلة (ب) من (أ):
$$(x + y) - (x - y) = 8 - 2\sqrt{10}$$
$$2y = 8 - 2\sqrt{10}$$
$$y = 4 - \sqrt{10}$$
الخطوة 6: التحقق من الحل
التحقق من المعادلة الأولى:
التحقق من المعادلة الثانية:
التحقق من المعادلة الأولى:
$$x + y = (4 + \sqrt{10}) + (4 - \sqrt{10}) = 8$$ ✓
التحقق من المعادلة الثانية:
$$xy = (4 + \sqrt{10})(4 - \sqrt{10})$$
$$= 4^2 - (\sqrt{10})^2$$
$$= 16 - 10$$
$$= 6$$ ✓
الخطوة 7: الحل باستخدام الصيغة القانونية
إذا كان $$x + y = s$$ و $$xy = p$$، فإن $$x$$ و $$y$$ هما جذرا المعادلة:
في حالتنا:
إذا كان $$x + y = s$$ و $$xy = p$$، فإن $$x$$ و $$y$$ هما جذرا المعادلة:
$$t^2 - st + p = 0$$
في حالتنا:
$$t^2 - 8t + 6 = 0$$
الخطوة 8: تطبيق الصيغة التربيعية
$$t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2}$$
$$t = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2}$$
$$t = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2}$$
$$t = 4 \pm \sqrt{10}$$
📌 ملخص الحل باستخدام القيمة المطلقة:
$$|x - y| = 2\sqrt{10}$$
$$x + y = 8$$
بحل هذا النظام البسيط:
$$x = 4 + \sqrt{10}$$
$$y = 4 - \sqrt{10}$$
🎯 الإجابة النهائية (مع الشرط x > y):
$$\boxed{x = 4 + \sqrt{10}}$$
$$\boxed{y = 4 - \sqrt{10}}$$
التحقق من الشرط: $$4 + \sqrt{10} \approx 7.16 > 0.84 \approx 4 - \sqrt{10}$$ ✓
$$\boxed{x = 4 + \sqrt{10}}$$
$$\boxed{y = 4 - \sqrt{10}}$$
التحقق من الشرط: $$4 + \sqrt{10} \approx 7.16 > 0.84 \approx 4 - \sqrt{10}$$ ✓
📌 ملاحظات مهمة:
• $$\sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32$$
• $$x = 4 + \sqrt{10} \approx 7.16$$
• $$y = 4 - \sqrt{10} \approx 0.84$$
• المميز: $$\Delta = b^2 - 4ac = 64 - 24 = 40 > 0$$ (حلان حقيقيان)
• الصيغة القانونية: $$(x - 4)^2 = 10$$ أو $$x^2 - 8x + 6 = 0$$
• الشرط x > y: يضمن أن $$x = 4 + \sqrt{10}$$ (الحل الأكبر) و $$y = 4 - \sqrt{10}$$ (الحل الأصغر)
• القيمة المطلقة: $$|x - y| = |2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}$$ لأن $$x > y$$
• $$\sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32$$
• $$x = 4 + \sqrt{10} \approx 7.16$$
• $$y = 4 - \sqrt{10} \approx 0.84$$
• المميز: $$\Delta = b^2 - 4ac = 64 - 24 = 40 > 0$$ (حلان حقيقيان)
• الصيغة القانونية: $$(x - 4)^2 = 10$$ أو $$x^2 - 8x + 6 = 0$$
• الشرط x > y: يضمن أن $$x = 4 + \sqrt{10}$$ (الحل الأكبر) و $$y = 4 - \sqrt{10}$$ (الحل الأصغر)
• القيمة المطلقة: $$|x - y| = |2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}$$ لأن $$x > y$$