مسألة تبدو في البداية وكأنها تحتوي على معلومات غير كافية...
لكن هل عدد المجهولات هو فعلًا ما يحدد ما إذا كان الحل ممكنًا؟
خرجت امرأتان عجوزتان عند الفجر. كانت كل واحدة منهما تمشي بسرعة ثابتة.
كانت الأولى تسير من النقطة \(A\) نحو النقطة \(B\)، وكانت الثانية تسير من \(B\) نحو \(A\).
التقتا عند الساعة الثانية عشرة ظهرًا. ثم واصلت كل واحدة منهما السير دون توقف.
اقرأ المسألة جيدًا. ما الشيء الغريب فيها؟
لنرمز إلى:
| الرمز | المعنى |
|---|---|
| \(v_1\) | سرعة المرأة الأولى |
| \(v_2\) | سرعة المرأة الثانية |
| \(x\) | المسافة من \(A\) إلى نقطة اللقاء |
| \(y\) | المسافة من نقطة اللقاء إلى \(B\) |
| \(t_0\) | ساعة الفجر |
إذن طول المسار الكامل بين \(A\) و\(B\) هو:
\[ x+y \]خرجت المرأة الأولى عند الساعة \(t_0\)، والتقت بالمرأة الثانية عند الساعة 12.
إذن كم ساعة مشت حتى اللقاء؟
نعرف:
\[ d=v\times t \]ما المعادلة التي تعبّر عن المسافة \(x\) التي قطعتها المرأة الأولى حتى اللقاء؟
وصلت المرأة الأولى إلى \(B\) عند الساعة 16. كانت قد وصلت إلى نقطة اللقاء عند الساعة 12.
إذن كم ساعة احتاجت لقطع المسافة \(y\)؟
كيف نعبر عن المسافة \(y\) التي قطعتها المرأة الأولى بعد اللقاء؟
حتى اللقاء، قطعت المرأة الثانية المسافة \(y\) بسرعة \(v_2\) خلال \(12-t_0\) ساعة.
أي معادلة صحيحة؟
بعد اللقاء، احتاجت المرأة الثانية إلى \(9\) ساعات للوصول إلى \(A\).
إذن:
لقد حصلنا على:
\[ (12-t_0)v_1=x \] \[ 4v_1=y \] \[ (12-t_0)v_2=y \] \[ 9v_2=x \]ماذا نستنتج من وجود أربع معادلات وخمسة مجاهيل؟
نحن لا نريد:
\[ v_1,\quad v_2,\quad x,\quad y \]نريد فقط:
\[ t_0 \]إذن حاول التخلص من المجهولات الأخرى بدلًا من محاولة إيجادها.
لدينا:
\[ (12-t_0)v_1=x \] \[ 4v_1=y \]إذا قسمنا المعادلة الأولى على الثانية، ماذا يحدث لـ \(v_1\)؟
إذن نحصل على:
\[ \frac{12-t_0}{4}=\frac{x}{y} \]من:
\[ (12-t_0)v_2=y \] \[ 9v_2=x \]بعد القسمة، نحصل على:
لدينا الآن:
\[ \frac{12-t_0}{4}=\frac{x}{y} \] و: \[ \frac{12-t_0}{9}=\frac{y}{x} \]لاحظ أن الطرفين الأيمنين هما:
\[ \frac{x}{y} \qquad\text{و}\qquad \frac{y}{x} \]ماذا يحدث إذا ضربنا المعادلتين؟
بعد ضرب المعادلتين نحصل على:
\[ \frac{(12-t_0)^2}{36}=1 \]إذن:
\[ (12-t_0)^2=36 \]ما القيمتان الممكنتان لـ \(12-t_0\)؟
لدينا:
\[ 12-t_0=6 \] أو: \[ 12-t_0=-6 \]هل يمكن أن تكون مدة المشي من الفجر إلى الظهر سالبة؟
هذه المسألة ممتازة لتعلم كتابة الموجّه الصحيح.
لا تسأل الذكاء الاصطناعي: «حل المسألة». لقد بذلت أنت جهدًا كبيرًا للوصول إلى الفكرة الأساسية. اطلب منه فقط مساعدتك في التحقق من خطوة محددة.
لماذا هو سيئ؟ لأنه يطلب من الذكاء الاصطناعي أن يقوم بالاستدلال بدلًا من المتعلم.
عيبه: غامض جدًا. لا يعرف الذكاء الاصطناعي ما الذي فهمته، ولا أين توقفت، ولا نوع المساعدة التي تريدها.
لماذا لا نحتاج إلى معرفة \(v_1\) و\(v_2\)؟
لماذا نضرب النسبتين بدلًا من جمعهما؟
إذا كان: \[ X^2=36 \] فما الحلول الجبرية؟
أ. إذا كان لدينا خمسة مجاهيل وأربع معادلات، فمن المستحيل دائمًا إيجاد أي مجهول.
ب. يمكن أن يكون الزمن المنقضي من الفجر إلى الظهر سالبًا.
ج. أحيانًا تكون أفضل طريقة لحل نظام كبير هي التخلص من المجهولات التي لا نحتاج إليها.
اكتب ساعة الفجر التي توصلت إليها.
لا نريد منك كتابة الحسابات فقط. اشرح في بضعة أسطر:
الدرس الأهم ليس فقط معرفة ساعة الفجر.
عدد المجهولات والمعادلات لا يخبرنا دائمًا بما إذا كان المجهول الذي نبحث عنه قابلًا للتحديد.
أحيانًا لا نحتاج إلى حل النظام كله. يكفي أن نبحث عن عملية ذكية تجعل المجهولات غير المهمة تختفي.