أربعة فرسان، مربع، نقطة وصول واحدة، وثلاثة أحصنة بسرعات مختلفة...
هل تستطيع اكتشاف سرعة حصان دارتانيان دون أن نعطيك الحل؟
كان الفرسان الثلاثة على ظهور خيولهم عند رؤوس مربع طول ضلعه \(10\) كيلومترات.
فجأة سمعوا نداءات كونستانس طلبًا للمساعدة. انطلق الفرسان الأربعة بأقصى سرعة، ووصلوا جميعًا إلى كونستانس بعد \(8\) دقائق بالضبط.
سرعة حصان بورتوس تساوي:
\[ \frac{9}{10} \]من سرعة حصان أراميس، وتساوي أيضًا:
\[ \frac{10}{9} \]من سرعة حصان أثوس.
وكان دارتانيان في الرأس المقابل لبورتوس.
لنبسّط الوضع ونضع المربع في معين متعامد. نأخذ رؤوسه:
\[ (0,0),\quad(10,0),\quad(0,10),\quad(10,10) \]نفترض مثلًا أن:
| الفارس | الموضع |
|---|---|
| بورتوس | \((0,0)\) |
| أراميس | \((10,0)\) |
| أثوس | \((0,10)\) |
| دارتانيان | \((10,10)\) |
ولنسمِّ إحداثيي كونستانس:
\[ C(a,b) \]الفرسان الأربعة وصلوا في الزمن نفسه: \(8\) دقائق.
العلاقة الأساسية هي:
\[ \text{المسافة}=\text{السرعة}\times\text{الزمن} \]إذا كان الزمن نفسه للفرسان جميعًا، فكيف ترتبط المسافات بالسرعات؟
بورتوس انطلق من:
\[ (0,0) \]ووصل إلى:
\[ (a,b) \]ما المسافة التي قطعها؟
أراميس موجود في:
\[ (10,0) \]إلى كونستانس \((a,b)\). ما المسافة؟
سرعة بورتوس تساوي:
\[ \frac{9}{10} \]من سرعة أراميس.
وبما أن الزمن نفسه، فإن مسافة بورتوس تساوي أيضًا \(\frac{9}{10}\) من مسافة أراميس.
أي علاقة صحيحة؟
لتبسيط الحساب، يمكن تربيع طرفي المعادلة. ماذا نحصل تقريبًا بعد الترتيب؟
سرعة بورتوس تساوي:
\[ \frac{10}{9} \]من سرعة أثوس.
إذن ماذا يمكننا أن نقول عن المسافتين؟
أثوس في:
\[ (0,10) \]ما المسافة بين أثوس وكونستانس؟
باستعمال نسبة السرعات ثم تربيع الطرفين والتبسيط، نحصل على:
لدينا الآن معادلتان:
\[ 19a^2+1620a+19b^2-8100=0 \] \[ 19a^2+19b^2-2000b+10000=0 \]لاحظ أن الحدين \(19a^2\) و\(19b^2\) يظهران في المعادلتين. ما العملية الذكية التي يمكن أن نستعملها؟
أنت الآن أمام نظام من معادلتين. يمكن للذكاء الاصطناعي أن يساعدك في الحسابات الجبرية، لكن يجب أن يبقى التفكير الرياضي لك.
عيبه: إنه يطلب من الذكاء الاصطناعي القيام بكل مراحل التفكير، وبالتالي يفقد النشاط قيمته التعليمية.
هذا السؤال لا يعطي الذكاء الاصطناعي أي معلومات عن طريقة تفكيرك، ولا يجعلك تتعلم طريقة الحل.
بعد طرح المعادلتين، يجب أن تحصل على علاقة خطية بين \(a\) و\(b\).
أي صيغة من الصيغ التالية تتوافق مع الحساب؟
بعد التعويض عن \(b\) في إحدى المعادلتين، تحصل على معادلة في \(a\) وحده. هذه المعادلة ليست من النوع الذي نريد حلّه يدويًا بسهولة.
هنا يمكن للذكاء الاصطناعي أو الآلة الحاسبة أن يكونا مفيدين. لكن اطلب منهما الحساب فقط.
بعد الحصول على قيمة مناسبة لـ \(a\)، استعمل العلاقة الخطية لإيجاد \(b\).
دارتانيان كان في:
\[ (10,10) \]وكونستانس في:
\[ (a,b) \]إذن ما المسافة التي قطعها؟
نعرف:
\[ d=v\times t \]إذن سرعة دارتانيان هي:
إذا كانت المسافة بالكيلومترات والزمن بالدقائق، فإن السرعة التي نحصل عليها تكون بوحدة:
أ. لأن الفرسان وصلوا في الوقت نفسه، فإن الفارس الأسرع قطع مسافة أكبر.
ب. يمكن حساب سرعة دارتانيان دون معرفة موضع كونستانس.
ج. الذكاء الاصطناعي يمكن أن يساعد في الحساب العددي، لكن يجب التحقق من أن الحل يقع داخل المربع.
أدخل تقريبك لإحداثيي كونستانس:
ثم اضغط للتحقق من سرعة دارتانيان.
ما الذي جعل هذه المسألة ممكنة؟
في هذه المسألة لم يكن الذكاء الاصطناعي هو الذي حل المشكلة. لقد استعملته فقط عندما أصبح الحساب طويلًا، بينما بقيت أنت مسؤولًا عن اختيار النموذج الرياضي وفهمه والتحقق منه.