⏰ العجوزتان — لغز ساعة الفجر

📌 نص المسألة

اشترت عجوزتان ساعة عتيقة من السوق ودفعتا 100 دينار ثمنًا لها.

كانت الساعة مكتوبًا عليها:

• ثمنها الأصلي: \(P\) دينار
• النسبة المئوية للتخفيف: \(r\%\)

لا يعرفون القيم الدقيقة لـ \(P\) و\(r\)، لكنهم يعرفون أن:

• الثمن الأصلي \(P\) هو عدد صحيح موجب.
• النسبة \(r\) هي عدد صحيح موجب.
• الثمن بعد التخفيف = \(\frac{P(100-r)}{100} = 100\)

1️⃣ كيف نكتب المعادلة؟

إذا كان الثمن الأصلي \(P\) والنسبة المئوية للتخفيف \(r\%\)، فالثمن بعد التخفيف هو:

\[P(100-r) = 10000\] \[P + r = 100\] \[\frac{P \cdot r}{100} = 100\]

2️⃣ كم عدد الحلول الممكنة بدون قيود؟

المعادلة \(P(100-r) = 10000\) تعطينا علاقة بين \(P\) و\(r\).

لكن بدون قيود إضافية:

عدد الحلول غير نهائي (لكل P موجب، يوجد r موجب) حل وحيد فقط ثلاثة حلول

3️⃣ ما الشرط الأساسي؟

المسألة تقول أن \(P\) و\(r\) يجب أن يكونا أعدادًا صحيحة موجبة.

من المعادلة \(P(100-r) = 10000\)، ماذا نستنتج؟

\((100-r)\) يجب أن يكون قاسمًا لـ \(10000\) \(P\) يجب أن يكون ضعف \(r\) \(P + r = 200\)

4️⃣ حساب مضاعفات وقواسم 10000

نحتاج إلى قائمة بقواسم \(10000\).

تحليل \(10000\):

\[10000 = 10^4 = 2^4 \times 5^4\]

كم عدد القواسم الموجبة لـ \(10000\)؟

25 قاسمًا 16 قاسمًا 10 أقسام

5️⃣ القيود على \(r\)

بما أن \(r\) هو نسبة مئوية للتخفيف، يجب أن يكون:

• \(r > 0\) (هناك تخفيف)
• \(r < 100\) (التخفيف ليس 100% أو أكثر)
• \(r\) عدد صحيح

إذن:

\[0 < 100-r < 100\] \[100-r > 100\] \[100-r < 0\]

🔍 تحقق من الحل

أدخل قيمة لـ \(P\) وسنتحقق ممّا إذا كان هناك قيمة صحيحة موجبة لـ \(r\):

🔍 تحقق