وضعية هندسية — مبرهنة طالس

9 أساسيتمرين رقم 3
A B C AB = 2√6
تمرين 3 مربّع محاط بمثلّث قائم — a و b مقلوبان

📐 نص التمرين

I) لتكن العبارتان \(E=x^{2}+2x-24\) و \(F=(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})\).

1) أ) بيّن أنّ \(E=(x+6)(x-4)\) و \(F=x^{2}-4x+1\).

ب) حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(E=0\).

II) (وحدة القيس هي الصنتمتر) لاحظ الرسم المقابل حيث :

  • \(ABC\) مثلّث قائم في \(C\) و \(AB=2\sqrt{6}\)
  • \(CMNP\) مربّع ضلعه \(1\) حيث \(M\in[AC]\) و \(N\in[AB]\) و \(P\in[BC]\)
  • \(AM=a\) و \(BP=b\)

1) أ) بيّن أنّ \(\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{1}{b+1}\) ثمّ استنتج أنّ \(a\) و \(b\) مقلوبان.

ب) بيّن أنّ \(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}=2\sqrt{6}\).

2) أ) بيّن أنّ \((a+1)^{2}+(b+1)^{2}=24\).

ب) استنتج أنّ \((a+b)^{2}+2(a+b)-24=0\) ثمّ بيّن أنّ \(a+\dfrac{1}{a}=4\).

ج) استنتج أنّ \(a\) هو حلّ للمعادلة \(F=0\).

د) جد \(a\) و \(b\).

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • في المربّع \(CMNP\) : \((MN)//(CP)\) أي \((MN)//(BC)\) ⟹ طالس في المثلّث \(ABC\).
  • \(AC=AM+MC=a+1\) و \(BC=BP+PC=b+1\) : اكتبهما قبل كلّ شيء.
  • لحساب \(AN\) و \(NB\) فكّر في مثلّثين قائمين صغيرين ضلعهما \(1\).
  • الجزء \(I\) يعود في السؤال : \(S=a+b\) يحقّق المعادلة \(E=0\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر \((x+6)(x-4)\) و \((x-2)^{2}-3\) للتحقّق من \(E\) و \(F\).

الخطوة 2 : اكتب \(AC=a+1\) و \(BC=b+1\) ثمّ طبّق طالس : \(\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{1}{b+1}\).

الخطوة 3 : اضرب في المقامين و اختصر : تحصل على \(ab=1\).

الخطوة 4 : فيثاغور في المثلّثين \(AMN\) و \(NPB\) ، ثمّ \(AN+NB=AB\).

الخطوة 5 : فيثاغور في \(ABC\) يعطي \((a+1)^{2}+(b+1)^{2}=24\).

الخطوة 6 : انشر ، عوّض \(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab\) ، فتظهر المعادلة \(E=0\) في \(S=a+b\).

الخطوة 7 : \(b=\dfrac{1}{a}\) ⟹ \(a+\dfrac{1}{a}=4\) ⟹ \(a\) حلّ لـ \(F=0\).

✅ الحل النهائي

\((x+6)(x-4)=x^{2}-4x+6x-24=x^{2}+2x-24=E\).
\(F=(x-2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}=x^{2}-4x+4-3=x^{2}-4x+1\).
\(E=0 \iff (x+6)(x-4)=0 \iff x+6=0\) أو \(x-4=0\).
\(S_{\mathbb{R}}=\{-6\,;\,4\}\).
\(AC=AM+MC=a+1\) و \(BC=BP+PC=b+1\).
في المربّع \(CMNP\) لدينا \((MN)\,//\,(CP)\) أي \((MN)\,//\,(BC)\).
حسب مبرهنة طالس في المثلّث \(ABC\) : \(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\) أي \(\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{1}{b+1}\).
ومنه \(a(b+1)=a+1\) أي \(ab+a=a+1\) أي \(ab=1\).
إذن \(a\) و \(b\) مقلوبان.
المثلّث \(AMN\) قائم في \(M\) و \(AM=a\) و \(MN=1\) ، فحسب مبرهنة فيثاغور \(AN=\sqrt{a^{2}+1}\).
المثلّث \(NPB\) قائم في \(P\) و \(NP=1\) و \(PB=b\) ، فحسب مبرهنة فيثاغور \(NB=\sqrt{b^{2}+1}\).
و بما أنّ \(N\in[AB]\) فإنّ \(AN+NB=AB=2\sqrt{6}\).
إذن \(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}=2\sqrt{6}\).
المثلّث \(ABC\) قائم في \(C\) ، فحسب مبرهنة فيثاغور \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\).
\((a+1)^{2}+(b+1)^{2}=(2\sqrt{6})^{2}=4\times 6=24\).
\((a+1)^{2}+(b+1)^{2}=a^{2}+2a+1+b^{2}+2b+1=(a^{2}+b^{2})+2(a+b)+2=24\).
و \(a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a+b)^{2}-2\) لأنّ \(ab=1\).
إذن \((a+b)^{2}-2+2(a+b)+2=24\) أي \((a+b)^{2}+2(a+b)-24=0\).
نضع \(S=a+b\) ، فتصبح المعادلة \(S^{2}+2S-24=0\) و هي المعادلة \(E=0\) ، ومنه \(S=-6\) أو \(S=4\).
و بما أنّ \(a>0\) و \(b>0\) فإنّ \(S>0\) ، إذن \(a+b=4\).
و بما أنّ \(b=\dfrac{1}{a}\) فإنّ \(a+\dfrac{1}{a}=4\).
\(a+\dfrac{1}{a}=4\) و \(a\neq 0\) ، بالضرب في \(a\) : \(a^{2}+1=4a\).
أي \(a^{2}-4a+1=0\) ، و هي المعادلة \(F=0\).
إذن \(a\) حلّ للمعادلة \(F=0\).
\(F=0 \iff (x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})=0 \iff x=2+\sqrt{3}\) أو \(x=2-\sqrt{3}\).
حسب الرسم \(AM>BP\) أي \(a>b\) ، إذن \(a=2+\sqrt{3}\) و \(b=2-\sqrt{3}\).
تحقّق : \(ab=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\) و \(a+b=4\).