وضعية هندسية — مبرهنة طالس

9 أساسيتمرين رقم 2
A B C x x + 2
تمرين 2 مثلّث قائم و نسبة IB/IC

📐 نص التمرين

(I لتكن العبارة \(A = x^2 + 2x - 80\).
1) بين أن \(A = (x + 1)^2 - 81\).
2) استنتج تفكيكا للعبارة \(A\).
(II \(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\) بحيث \(AC = x\) و \(AB = x + 2\) و \(x \in \mathbb{R}_+\).
1) أوجد \(x\) إذا علمت أن مساحة المثلث \(ABC\) تساوي \(40\text{ cm}^2\).
2) لتكن \(J\) نقطة من \([AB]\) حيث \(BJ = 2\text{ cm}\) و \(\Delta\) المستقيم المار من \(J\) والعمودي على \((AB)\) يقطع \([BC]\) في \(I\).
أ) بين أن \(\frac{IB}{IC} = \frac{2}{x}\).
ب) أوجد \(x\) ليكون \(I\) منتصف \([BC]\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • الجزء \(I\) : \(81=9^{2}\) ، فـ \((x+1)^{2}-81\) فرق بين مربّعين.
  • مساحة مثلّث قائم \(=\dfrac{\text{الضلعان القائمان}}{2}\) : اكتب المعادلة ثمّ أرجعها إلى \(A=0\).
  • \((IJ)\perp(AB)\) و \((AC)\perp(AB)\) : المستقيمان متوازيان ⟹ طالس في المثلّث \(ABC\).
  • لا تنس أنّ \(JA=AB-BJ\) و ليس \(x+2\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر \((x+1)^{2}-81\) و تحقّق أنّه يساوي \(A\).

الخطوة 2 : فكّك \(A=(x+1)^{2}-9^{2}\) بفرق المربّعين.

الخطوة 3 : \(S_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}=40\) ⟹ معادلة تؤول إلى \(A=0\).

الخطوة 4 : الشرط \(x>0\) يفصل بين الحلّين.

الخطوة 5 : أثبت \((IJ)//(AC)\) ثمّ طبّق طالس : \(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{JB}{JA}\).

الخطوة 6 : \(I\) منتصف \([BC]\) ⟺ \(IB=IC\) ⟺ النسبة تساوي \(1\).

✅ الحل النهائي

إصلاح التمرين عدد 3:
I)
1) \((x + 1)^2 - 81 = x^2 + 2x + 1 - 81 = x^2 + 2x - 80 = A\)
2) \(A = (x + 1)^2 - 81 = (x + 1 - 9)(x + 1 + 9)\)
\(A = (x - 8)(x + 10)\)
II)
1) \(S_{ABC} = 40 \implies \frac{AC \times AB}{2} = 40\)
\(\frac{x(x + 2)}{2} = 40 \implies x(x + 2) = 80\)
\(x^2 + 2x - 80 = 0 \implies A = 0\)
\((x - 8)(x + 10) = 0\)
يعني \(x = 8\) أو \(x = -10\)
بما أن \(x\) عدد موجب فإن \(x = 8\)
2) أ) لنا \((IJ) \perp (AB)\) و \((AC) \perp (AB)\) إذن \((IJ) // (AC)\)
حسب مبرهنة طالس في المثلث \(ABC\):
\(\frac{IB}{IC} = \frac{JB}{JA}\)
بما أن \(BJ = 2\) و \(JA = AB - BJ = (x + 2) - 2 = x\)
فإن \(\frac{IB}{IC} = \frac{2}{x}\)
ب) \(I\) منتصف \([BC]\) يعني \(IB = IC \implies \frac{IB}{IC} = 1\)
يعني \(\frac{2}{x} = 1 \implies x = 2\)
1) \((x + 1)^2 - 81 = x^2 + 2x + 1 - 81 = x^2 + 2x - 80 = A\)
2) \(A = (x + 1)^2 - 81 = (x + 1 - 9)(x + 1 + 9)\)
\(A = (x - 8)(x + 10)\)
1) \(S_{ABC} = 40 \implies \frac{AC \times AB}{2} = 40\)
\(\frac{x(x + 2)}{2} = 40 \implies x(x + 2) = 80\)
\(x^2 + 2x - 80 = 0 \implies A = 0\)
\((x - 8)(x + 10) = 0\)
يعني \(x = 8\) أو \(x = -10\)
بما أن \(x\) عدد موجب فإن \(x = 8\)
2) أ) لنا \((IJ) \perp (AB)\) و \((AC) \perp (AB)\) إذن \((IJ) // (AC)\)
حسب مبرهنة طالس في المثلث \(ABC\):
\(\frac{IB}{IC} = \frac{JB}{JA}\)
بما أن \(BJ = 2\) و \(JA = AB - BJ = (x + 2) - 2 = x\)
فإن \(\frac{IB}{IC} = \frac{2}{x}\)
ب) \(I\) منتصف \([BC]\) يعني \(IB = IC \implies \frac{IB}{IC} = 1\)
يعني \(\frac{2}{x} = 1 \implies x = 2\)