وضعية هندسية — مبرهنة طالس

9 أساسيتمرين رقم 1
O A B OA = 4 OB = 2
تمرين 1 المثلث OAB و شبه المنحرف MNKP

📐 نص التمرين

(I نعتبر العبارة: \(A = (4 - x)^2 - 9\) حيث \(x \in \mathbb{R}\).
1) فكك إلى جذاء عوامل العبارة \(A\).
2) أوجد العدد الحقيقي \(x\) حيث \(A = 0\).
3) بين أن \(A + 5 = (6 - x)(2 - x)\).
(II يُمثل الرسم التالي مثلثا \(OAB\) قائم الزاوية في \(O\) حيث \(OA = 4\) و \(OB = 2\) و \(K\) منتصف \([AB]\) و \(M\) نقطة من \([OA]\) بحيث \(OM = x\).
المستقيم المار من \(M\) والعمودي على \((OA)\) يقطع \((AB)\) في \(N\). 1) بين أن \(MN = \frac{4 - x}{2}\).
2) لتكن \(P\) المسقط العمودي للنقطة \(K\) على \((OA)\) و \(S\) مساحة شبه المنحرف \(MNKP\).
أ- بين أن \(KP = 1\).
ب- بين أن \(S = \frac{1}{4}(6 - x)(2 - x)\).
3) أوجد العدد الحقيقي \(x\) حيث \(4S = 5\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • الجزء \(I\) : \(9=3^{2}\) ، فالعبارة \(A\) فرق بين مربّعين. لا تنشر شيئا.
  • الجزء \(II\) : \((MN)\perp(OA)\) و \((OB)\perp(OA)\) : ماذا تستنتج عن \((MN)\) و \((OB)\) ؟
  • مع التوازي في مثلّث ، فكّر في مبرهنة طالس : \(\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{MN}{OB}\).
  • للسؤال 3 : لا تحلّ معادلة جديدة ، اربط \((6-x)(2-x)\) بـ \(A+5\) المحسوب في الجزء \(I\).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : اكتب \(A=(4-x)^{2}-3^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\).

الخطوة 2 : جذاء يساوي صفر ⟺ أحد عامليه يساوي صفر.

الخطوة 3 : \(A+5=(4-x)^{2}-4\) : فرق بين مربّعين مرّة أخرى.

الخطوة 4 : في المثلّث \(OAB\) : أثبت التوازي ، ثمّ طالس ، ثمّ استخرج \(MN\).

الخطوة 5 : \(K\) منتصف \([AB]\) و \((KP)//(OB)\) ⟹ \(P\) منتصف \([OA]\) ⟹ \(KP=\dfrac{OB}{2}\).

الخطوة 6 : مساحة شبه منحرف \(=\dfrac{(\text{القاعدتان})\times\text{الارتفاع}}{2}\) مع \(MP=OP-OM\).

الخطوة 7 : \(4S=5\) يؤول إلى \(A=0\) ، و الشرط \(0<x<2\) يفصل بين الحلّين.

✅ الحل النهائي

إصلاح التمرين عدد 1:
I)
1) \(A = (4 - x)^2 - 9\)
\(A = (4 - x - 3)(4 - x + 3)\)
\(A = (1 - x)(7 - x)\)
2) \(A = 0 \implies (1 - x)(7 - x) = 0\)
يعني \((1 - x) = 0\) أو \((7 - x) = 0\)
يعني \(x = 1\) أو \(x = 7\)
3) \(A + 5 = (4 - x)^2 - 9 + 5\)
\(A + 5 = (4 - x)^2 - 4\)
\(A + 5 = (4 - x - 2)(4 - x + 2)\)
\(A + 5 = (2 - x)(6 - x)\)
II)
1) في المثلث \(AOB\) لنا \(M \in [OA]\) و \(N \in [AB]\)
بما أن \((MN) \perp (OA)\) و \((OB) \perp (OA)\) فإن \((MN) // (OB)\)
حسب مبرهنة طالس: \(\frac{AM}{AO} = \frac{MN}{OB}\)
\(\frac{4 - x}{4} = \frac{MN}{2}\)
\(MN = \frac{4 - x}{2}\)
2) أ- في المثلث \(AOB\) لنا \(K\) منتصف \([AB]\) و \((PK) // (OB)\) فإن \(P\) هي منتصف \([OA]\)
إذن \(KP = \frac{OB}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
ب- \(S_{MNKP} = \frac{(PK + MN) \times MP}{2}\)
\(S = \frac{\left(1 + \frac{4 - x}{2}\right)(2 - x)}{2}\)
\(S = \frac{\left(\frac{6 - x}{2}\right)(2 - x)}{2}\)
\(S = \frac{(6 - x)(2 - x)}{4}\)
3) \(4S = 5 \implies 4 \times \frac{1}{4}(6 - x)(2 - x) = 5\)
\((6 - x)(2 - x) = 5\)
\(A + 5 = 5\)
\(A = 0\)
وبما أن \(M \in [OA]\) فإن \(0 \le x \le 4\)
إذن \(x = 1\)
1) \(A = (4 - x)^2 - 9\)
\(A = (4 - x - 3)(4 - x + 3)\)
\(A = (1 - x)(7 - x)\)
2) \(A = 0 \implies (1 - x)(7 - x) = 0\)
يعني \((1 - x) = 0\) أو \((7 - x) = 0\)
يعني \(x = 1\) أو \(x = 7\)
3) \(A + 5 = (4 - x)^2 - 9 + 5\)
\(A + 5 = (4 - x)^2 - 4\)
\(A + 5 = (4 - x - 2)(4 - x + 2)\)
\(A + 5 = (2 - x)(6 - x)\)
1) في المثلث \(AOB\) لنا \(M \in [OA]\) و \(N \in [AB]\)
بما أن \((MN) \perp (OA)\) و \((OB) \perp (OA)\) فإن \((MN) // (OB)\)
حسب مبرهنة طالس: \(\frac{AM}{AO} = \frac{MN}{OB}\)
\(\frac{4 - x}{4} = \frac{MN}{2}\)
\(MN = \frac{4 - x}{2}\)
2) أ- في المثلث \(AOB\) لنا \(K\) منتصف \([AB]\) و \((PK) // (OB)\) فإن \(P\) هي منتصف \([OA]\)
إذن \(KP = \frac{OB}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
ب- \(S_{MNKP} = \frac{(PK + MN) \times MP}{2}\)
\(S = \frac{\left(1 + \frac{4 - x}{2}\right)(2 - x)}{2}\)
\(S = \frac{\left(\frac{6 - x}{2}\right)(2 - x)}{2}\)
\(S = \frac{(6 - x)(2 - x)}{4}\)
3) \(4S = 5 \implies 4 \times \frac{1}{4}(6 - x)(2 - x) = 5\)
\((6 - x)(2 - x) = 5\)
\(A + 5 = 5\)
\(A = 0\)
وبما أن \(M \in [OA]\) فإن \(0 \le x \le 4\)
إذن \(x = 1\)