وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

9 أساسيأسئلة متعدّدة الاختيارات 1
QCM 1 أسئلة متعدّدة الاختيارات (مصادر مختلطة)

📐 نص التمرين

لكلّ سؤال عدّة اقتراحات ، واحد فقط صحيح.

1) 2) إذا كان \(ABC\) مثلثاً قائماً في \(A\) حيث \(AB=n\) و \(BC=n+1\) و \(n>1\) فإن \(AC\) يساوي:

  • 1
  • \(\sqrt{2n^2+2n+1}\)
  • \(\sqrt{2n+1}\)

2) (9) إذا كان \(ABCD\) معيّنا حيث \(AC=6\) و \(BD=8\) فإنّ قيس محيطه يساوي :

  • أ) \(28\)
  • ب) \(20\)
  • ج) \(10\sqrt{2}\)

3) (13) في الرسم المجاور \(ABC\) مثلّث قائم في \(A\) و \(E\) مركز ثقله ، حيث \(AB=4\) و \(ED=1\) ، \(F\) منتصف \([AB]\) و \(H\) المسقط العمودي لـ \(F\) على \((AD)\).

    4) (3) إذا كان \(ABC\) مثلّثا قائما في \(A\) و \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\) حيث \(BH=6\,\text{cm}\) و \(BC=8\,\text{cm}\) فإنّ \(AC\) يساوي :

    • أ) \(4\)
    • ب) \(2\sqrt{3}\)
    • ج) \(3\sqrt{2}\)
    لم تبدأ بعد

    💡 توجيهات للتفكير

    • اقرأ كلّ الاقتراحات قبل الاختيار : غالبا ما يكون الخطأ في الإشارة أو في نسيان الحدّ الأوسط.
    • لا تخمّن : تحقّق باستبعاد الاقتراحات المستحيلة (مربّع سالب ، طول سالب…).

    📝 منهجية الحل

    الخطوة 1 : حوّل كلّ اقتراح إلى شكل قابل للمقارنة (انشر أو فكّك).

    الخطوة 2 : استبعد المستحيل قبل الحساب.

    الخطوة 3 : تحقّق من الاقتراح المختار بالتعويض.

    ✅ الحل النهائي

    1) الجواب : \(\sqrt{2n+1}\)

    التفسير والتعليل:
    حسب نظرية بيتاغور: \(AC^2 = BC^2 - AB^2 = (n+1)^2 - n^2 = (n^2+2n+1) - n^2 = 2n+1\)
    \(AC = \sqrt{2n+1}\)

    2) الجواب : ب) \(20\)

    قطرا المعيّن متعامدان و يتقاطعان في منتصفهما \(O\).
    \(OA=\dfrac{AC}{2}=3\) و \(OB=\dfrac{BD}{2}=4\).
    المثلّث \(OAB\) قائم في \(O\) ، فحسب مبرهنة فيثاغور \(AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\).
    أضلاع المعيّن متقايسة ، إذن المحيط \(=4\times 5=20\).
    الجواب الصحيح : ب)

    3) الجواب : —

    تمهيد : \(F\) منتصف \([AB]\) و \((FD)\,//\,(AC)\) ، فحسب مبرهنة المنتصفين \(D\) منتصف \([BC]\) ، ومنه \([AD]\) متوسّط.
    \(E\) مركز الثقل يقع على \([AD]\) و \(ED=\dfrac{AD}{3}=1\) ، إذن \(AD=3\).
    في المثلّث القائم في \(A\) ، الموسّط \([AD]\) يساوي نصف الوتر : \(BC=2\,AD=6\).
    أ) \(AC\) : حسب مبرهنة فيثاغور \(AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=36-16=20\) ومنه \(AC=2\sqrt{5}\).
    ب) \(CE\) : المتوسّط الصادر من \(C\) يصل إلى \(F\) منتصف \([AB]\) ، و \(CF^{2}=AC^{2}+AF^{2}=20+4=24\) ومنه \(CF=2\sqrt{6}\).
    و \(CE=\dfrac{2}{3}CF=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\).
    ج) \(FH\) : نختار المعيّن ذا المبدأ \(A\) : \(A(0\,;\,0)\) ، \(B(0\,;\,4)\) ، \(C(2\sqrt{5}\,;\,0)\) ، \(D(\sqrt{5}\,;\,2)\) ، \(F(0\,;\,2)\).
    \(H\) المسقط العمودي لـ \(F\) على \((AD)\) ، و بالحساب نجد \(H\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{9}\,;\,\dfrac{8}{9}\right)\) ومنه \(FH=\sqrt{\dfrac{80}{81}+\dfrac{100}{81}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\).
    د) إحداثيّات \(E\) في المعيّن \((A,F,C)\) : \(E\) مركز الثقل إذن \(E\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\right)\) في المعيّن السابق.
    في المعيّن \((A,F,C)\) : وحدة المحور الأوّل هي \(AF=2\) و وحدة المحور الثاني هي \(AC=2\sqrt{5}\) ، ومنه إحداثيّات \(E\) هي \(\left(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right)\).

    4) الجواب : أ) \(4\)

    \(H\in[BC]\) إذن \(HC=BC-BH=8-6=2\,\text{cm}\).
    حسب العلاقات القياسية في المثلّث القائم : \(AC^{2}=HC\times BC=2\times 8=16\).
    إذن \(AC=4\,\text{cm}\). الجواب الصحيح : أ)