وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

تمرين 12 \(A = x^{2} - 6x - 3\)

📐 نص التمرين

تعتبر العبارة \(A = x^{2} - 6x - 3\) حيث \(x \in \mathbb{R}\).

1) أحسب \(A\) في حالة \(x = 3 + 2\sqrt{3}\).

2) أ) بين أن \(A = (x - 3)^{2} - 12\).
ب) استنتج تفكيكًا للعبارة \(A\).

3) هندسة: المستطيل \(OABC\) والدائرة \(\mathcal{C}\).
أ) بين أن \(y = x - 1\).
ب) بين أن \(x^{2} + (x - 1)^{2} = (x + 2)^{2}\).
ج) أوجد شعاع الدائرة \(\mathcal{C}\).

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
لإثبات طبيعة رباعي ، اختر معيارا واحدا و طبّقه كاملا (القطران ، أو ضلعان متوازيان و متقايسان).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 6 : تحقّق من المعيار المختار خطوة بخطوة ، ثمّ استنتج الطبيعة ثمّ الخاصّية المطلوبة.

✅ الحل النهائي

نعوض \(x\) بـ \(3 + 2\sqrt{3}\):

\(A = (3 + 2\sqrt{3})^2 - 6(3 + 2\sqrt{3}) - 3\)

\((3 + 2\sqrt{3})^2 = 3^2 + 2(3)(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 12\sqrt{3} + 12 = 21 + 12\sqrt{3}\)

\(-6(3 + 2\sqrt{3}) = -18 - 12\sqrt{3}\)

\(A = 21 + 12\sqrt{3} - 18 - 12\sqrt{3} - 3 = (21 - 18 - 3) + (12\sqrt{3} - 12\sqrt{3}) = 0\)

أ) النشر والتفكيك:

\((x - 3)^2 - 12 = (x^2 - 6x + 9) - 12 = x^2 - 6x - 3 = A\)

ب) التفكيك إلى جذاء عوامل:

\(A = (x - 3)^2 - (\sqrt{12})^2 = (x - 3)^2 - (2\sqrt{3})^2\)

باستعمال الجذاء المعتبر \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):

\(A = ((x - 3) - 2\sqrt{3})((x - 3) + 2\sqrt{3}) = (x - 3 - 2\sqrt{3})(x - 3 + 2\sqrt{3})\)

أ) بيان أن \(y = x - 1\):

شعاع الدائرة \(R = OI = OJ\).

\(OI = OA + AI = x + 2\)

\(OJ = OC + CJ = y + 3\)

إذن \(x + 2 = y + 3 \implies y = x + 2 - 3 \implies y = x - 1\)

ب) المعادلة:

النقطة \(B\) ينتمي إلى الدائرة \(\mathcal{C}\) إذن \(OB = R = x + 2\)

في المثلث القائم \(OAB\): \(OB^2 = OA^2 + AB^2 = x^2 + y^2\)

نعوض \(y\) بـ \((x-1)\): \(x^2 + (x - 1)^2 = (x + 2)^2\)

ج) شعاع الدائرة:

\(x^2 + x^2 - 2x + 1 = x^2 + 4x + 4 \implies x^2 - 6x - 3 = 0 \implies A = 0\)

حلول المعادلة \(A=0\) هي \(x = 3 + 2\sqrt{3}\) أو \(x = 3 - 2\sqrt{3}\) (مرفوض لأنه سالب)

إذن \(x = 3 + 2\sqrt{3}\) وشعاع الدائرة \(R = x + 2 = 5 + 2\sqrt{3}\)