وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

تمرين 10 \(ABCD\)

\(ABCD\) مربع ضلعه 4 سم، و\(M \in [CB]\) و\(N \in [CD]\) حيث \(CM = CN = x\).

1) بين أن \(AM^2 = AN^2 = x^2 - 8x + 32\) و \(MN^2 = 2x^2\).

2) بين أن \(MN^2 - AM^2 = x^2 + 8x - 32\).

3) أ- أثبت أن \(x^2 + 8x - 32 = (x + 4)^2 - 48\).

3) ب- أوجد \(x\) ليكون المثلث \(AMN\) متقايس الأضلاع.

لم تبدأ بعد

لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

في المثلث \(MCN\) القائم في \(C\): \(MN^2 = CM^2 + CN^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\)

في المثلث \(ABM\) القائم في \(B\) (\(BM = 4 - x\)): \(AM^2 = 4^2 + (4 - x)^2 = 16 + 16 - 8x + x^2 = x^2 - 8x + 32\)

\(MN^2 - AM^2 = 2x^2 - (x^2 - 8x + 32) = x^2 + 8x - 32\)

\((x + 4)^2 - 48 = x^2 + 8x + 16 - 48 = x^2 + 8x - 32\)

يكون متقايس الأضلاع إذا كان \(MN^2 = AM^2 \iff MN^2 - AM^2 = 0\)

\((x + 4)^2 - 48 = 0 \iff (x + 4)^2 = (\sqrt{48})^2 = (4\sqrt{3})^2\)

بما أن \(x > 0\) فإن \(x + 4 = 4\sqrt{3} \implies x = 4\sqrt{3} - 4\)