📝 منهجية الحل
الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).
الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.
الخطوة 3 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).
الخطوة 4 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.
الخطوة 5 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.
الخطوة 6 : استعمل مبرهنة المنتصفين لنقل طول معلوم إلى طول مجهول.
✅ الحل النهائي
\((x-1)^{2}-3=x^{2}-2x+1-3=x^{2}-2x-2=A\).
\(A=0 \iff (x-1)^{2}-3=0 \iff (x-1)^{2}-(\sqrt{3})^{2}=0\).
\(\iff (x-1-\sqrt{3})(x-1+\sqrt{3})=0\).
\(S_{\mathbb{R}}=\{1-\sqrt{3}\,;\,1+\sqrt{3}\}\).
\(B(5\,;\,0)\) ، \(C(3\,;\,0)\) ، \(D(-3\,;\,0)\).
\(D\) و \(C\) على محور الفواصل : \(DC=|3-(-3)|=6\).
\(A(0\,;\,a-1)\) و \(O(0\,;\,0)\) على محور التراتيب : \(OA=|a-1|\).
بما أنّ \(a<0\) فإنّ \(a-1<0\) ومنه \(OA=1-a\).
\(D(-3\,;\,0)\) و \(C(3\,;\,0)\) و \(O(0\,;\,0)\) ، إذن \(O\) منتصف \([DC]\).
\((OA)\) هو محور التراتيب أي \((OJ)\) ، و \((CE)\,//\,(OJ)\) ،
إذن \((OA)\,//\,(CE)\).
في المثلّث \(DCE\) : \(O\) منتصف \([DC]\) و المستقيم المارّ من \(O\)
و الموازي لـ \((CE)\) يقطع \([DE]\) في \(A\) ،
فحسب مبرهنة المنتصفين يكون \(A\) منتصف \([DE]\).
و حسب نفس المبرهنة \(OA=\dfrac{CE}{2}\) ،
ومنه \(CE=2\,OA=2(1-a)=2-2a\).
\(E\) نقطة من المستقيم المارّ من \(C\) و الموازي لـ \((OJ)\) ،
إذن فاصلة \(E\) هي \(3\).
\(A\) منتصف \([DE]\) : ترتيبة \(A\) هي نصف مجموع ترتيبتي \(D\) و \(E\).
\(a-1=\dfrac{0+y_E}{2}\) ومنه \(y_E=2a-2\).
إذن \(E(3\,;\,2a-2)\).
\(D(-3\,;\,0)\) و \(E(3\,;\,2a-2)\) :
\(DE^{2}=(3-(-3))^{2}+(2a-2-0)^{2}=36+4a^{2}-8a+4=4a^{2}-8a+40\).
\(B(5\,;\,0)\) و \(E(3\,;\,2a-2)\) :
\(EB^{2}=(5-3)^{2}+(0-(2a-2))^{2}=4+4a^{2}-8a+4=4a^{2}-8a+8\).
\(DB=|5-(-3)|=8\) ومنه \(DB^{2}=64\).
المثلّث \(BDE\) قائم في \(E\) يعني \(DE^{2}+EB^{2}=DB^{2}\)
(العكسية لمبرهنة فيثاغور).
\((4a^{2}-8a+40)+(4a^{2}-8a+8)=64\) أي \(8a^{2}-16a+48=64\).
\(8a^{2}-16a-16=0\) ، بالقسمة على \(8\) : \(a^{2}-2a-2=0\).
و هي المعادلة \(A=0\) من الجزء \(I\) ،
ومنه \(a=1-\sqrt{3}\) أو \(a=1+\sqrt{3}\).
و بما أنّ \(a<0\) فإنّ \(a=1-\sqrt{3}\).
\(a=1-\sqrt{3}\) ومنه \(2a-2=2(1-\sqrt{3})-2=-2\sqrt{3}\) ،
إذن \(E(3\,;\,-2\sqrt{3})\).
\((OI)\) هو محور الفواصل ، و التناظر بالنسبة إليه يحفظ الفاصلة
و يعاكس الترتيبة ، إذن \(F(3\,;\,2\sqrt{3})\).
\(EF=|2\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})|=4\sqrt{3}\).
\(DE^{2}=(3+3)^{2}+(-2\sqrt{3})^{2}=36+12=48\) ومنه \(DE=4\sqrt{3}\).
\(DF^{2}=(3+3)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}=36+12=48\) ومنه \(DF=4\sqrt{3}\).
إذن \(DE=DF=EF=4\sqrt{3}\) ، و المثلّث \(DEF\) متقايس الأضلاع.
\(a=1-\sqrt{3}\) ومنه \(a-1=-\sqrt{3}\) ، إذن \(A(0\,;\,-\sqrt{3})\) ،
و \(I(1\,;\,0)\) و \(F(3\,;\,2\sqrt{3})\).
\(AI=\sqrt{(1-0)^{2}+(0+\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2\).
\(IF=\sqrt{(3-1)^{2}+(2\sqrt{3}-0)^{2}}=\sqrt{4+12}=4\).
\(AF=\sqrt{(3-0)^{2}+(2\sqrt{3}+\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6\).
لدينا \(AI+IF=2+4=6=AF\) ، إذن \(I\) تنتمي إلى \([AF]\) ،
أي أنّ النقاط \(A\) و \(I\) و \(F\) على استقامة واحدة.