وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

9 أساسيتمرين رقم 8
تمرين 8 \((\mathcal{C})\)

📐 نص التمرين

نعتبر دائرة \((\mathcal{C})\) قطرها \([BC]\) و مركزها \(O\) حيث \(BC=8\,\text{cm}\). عيّن على \((\mathcal{C})\) نقطة \(A\) حيث \(AB=6\,\text{cm}\). المماس للدائرة \((\mathcal{C})\) في النقطة \(C\) يقطع \((AB)\) في نقطة \(D\).

1) أ) أحسب \(AC\) ثمّ بيّن أنّ \(AD=\dfrac{14}{3}\).

ب) أحسب \(CD\).

2) عيّن النقطة \(I\) منتصف \([CD]\) و النقطة \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(I\).

أ) أحسب \(AI\).

ب) بيّن أنّ \((AB)\,//\,(CE)\).

3) المستقيمان \((OD)\) و \((BI)\) يتقاطعان في النقطة \(G\) ، و المستقيمان \((CG)\) و \((AD)\) يتقاطعان في النقطة \(F\).

أ) بيّن أنّ \(F\) منتصف \([BD]\).

ب) بيّن أنّ النقطة \(G\) مركز ثقل المثلّث \(AEB\).

4) ابن الدائرة \((\mathcal{C}')\) التي قطرها \([CE]\) و التي تقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في نقطة ثانية \(H\).

أ) بيّن أنّ \(H\in(BE)\).

ب) المستقيم \((CE)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في نقطة ثانية \(K\) ، و المستقيم \((BC)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C}')\) في نقطة ثانية \(L\). بيّن أنّ المستقيمات \((EL)\) و \((CH)\) و \((BK)\) تشترك في نقطة واحدة.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.
  • مع الارتفاع الصادر من الرأس القائم ، تصير العلاقات القياسية أقصر طريق : \(AH^{2}=HB\times HC\).
  • نقطة منتصف + توازٍ ⟹ مبرهنة المنتصفين : الطول يتضاعف أو ينتصف.
  • لإثبات طبيعة رباعي ، اختر معيارا واحدا و طبّقه كاملا (القطران ، أو ضلعان متوازيان و متقايسان).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

الخطوة 3 : استعمل العلاقات القياسية في المثلّث القائم بدل تكرار فيثاغور ثلاث مرّات.

الخطوة 4 : استعمل مبرهنة المنتصفين لنقل طول معلوم إلى طول مجهول.

الخطوة 5 : تحقّق من المعيار المختار خطوة بخطوة ، ثمّ استنتج الطبيعة ثمّ الخاصّية المطلوبة.

✅ الحل النهائي

\(A\) نقطة من الدائرة التي قطرها \([BC]\) ، إذن المثلّث \(ABC\) قائم في \(A\).
حسب مبرهنة فيثاغور : \(AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}=64-36=28\) ومنه \(AC=2\sqrt{7}\).
المماس في \(C\) عمودي على الشعاع \([OC]\) أي على \((BC)\) ، إذن المثلّث \(BCD\) قائم في \(C\).
و \((CA)\perp(AB)\) و \(D\in(AB)\) ، إذن \(A\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((BD)\).
حسب العلاقات القياسية في المثلّث القائم \(BCD\) : \(BC^{2}=BA\times BD\) ومنه \(64=6\times BD\) أي \(BD=\dfrac{32}{3}\).
\(AD=BD-BA=\dfrac{32}{3}-6=\dfrac{32-18}{3}=\dfrac{14}{3}\).
في المثلّث \(BCD\) القائم في \(C\) ذي الارتفاع \([CA]\) : \(CD^{2}=DA\times DB=\dfrac{14}{3}\times\dfrac{32}{3}=\dfrac{448}{9}\).
\(CD=\dfrac{\sqrt{448}}{3}=\dfrac{8\sqrt{7}}{3}\).
تحقّق : \(BC^{2}+CD^{2}=64+\dfrac{448}{9}=\dfrac{1024}{9}=\left(\dfrac{32}{3}\right)^{2}=BD^{2}\).
المثلّث \(ACD\) قائم في \(A\) و \(I\) منتصف الوتر \([CD]\).
في مثلّث قائم ، الموسّط الصادر من الرأس القائم يساوي نصف الوتر : \(AI=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{4\sqrt{7}}{3}\).
\(I\) منتصف \([CD]\) ، و \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(I\) إذن \(I\) منتصف \([AE]\).
في الرباعي \(ACED\) ، القطران \([AE]\) و \([CD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(I\) ، إذن \(ACED\) متوازي أضلاع.
ومنه \((AD)\,//\,(CE)\) ، و بما أنّ \(D\in(AB)\) فإنّ \((AD)=(AB)\).
إذن \((AB)\,//\,(CE)\).
في المثلّث \(BCD\) : \(O\) منتصف \([BC]\) إذن \((DO)\) متوسّط ، و \(I\) منتصف \([CD]\) إذن \((BI)\) متوسّط.
المتوسّطان \((DO)\) و \((BI)\) يتقاطعان في \(G\) ، إذن \(G\) مركز ثقل المثلّث \(BCD\).
ومنه المتوسّط الثالث \((CG)\) يمرّ من منتصف \([BD]\).
و بما أنّ \(F=(CG)\cap(AD)\) و \((AD)=(BD)\) ، فإنّ \(F\) هو منتصف \([BD]\).
\(G\) مركز ثقل المثلّث \(BCD\) و يقع على المتوسّط \([BI]\) حيث \(BG=\dfrac{2}{3}BI\).
في المثلّث \(AEB\) : \(I\) منتصف \([AE]\) ، إذن \([BI]\) متوسّط في هذا المثلّث أيضا.
و بما أنّ \(G\) نقطة من \([BI]\) تحقّق \(BG=\dfrac{2}{3}BI\) ، فإنّ \(G\) مركز ثقل المثلّث \(AEB\).
\(H\) نقطة من \((\mathcal{C})\) التي قطرها \([BC]\) ، إذن المثلّث \(BHC\) قائم في \(H\) أي \((HB)\perp(HC)\).
\(H\) نقطة من \((\mathcal{C}')\) التي قطرها \([CE]\) ، إذن المثلّث \(CHE\) قائم في \(H\) أي \((HE)\perp(HC)\).
المستقيمان \((HB)\) و \((HE)\) عموديّان على نفس المستقيم \((HC)\) و يمرّان من نفس النقطة \(H\) ، إذن هما نفس المستقيم.
إذن النقاط \(B\) و \(H\) و \(E\) على استقامة واحدة ، أي \(H\in(BE)\).
نعتبر المثلّث \(BCE\).
\(K\in(\mathcal{C})\) التي قطرها \([BC]\) إذن \((BK)\perp(KC)\) ، و \(K\in(CE)\) ، إذن \((BK)\) هو الارتفاع الصادر من \(B\).
\(L\in(\mathcal{C}')\) التي قطرها \([CE]\) إذن \((EL)\perp(LC)\) ، و \(L\in(BC)\) ، إذن \((EL)\) هو الارتفاع الصادر من \(E\).
من السؤال السابق \(H\in(BE)\) و \((CH)\perp(HB)\) ، إذن \((CH)\) هو الارتفاع الصادر من \(C\).
و ارتفاعات مثلّث تشترك في نقطة واحدة ، إذن المستقيمات \((EL)\) و \((CH)\) و \((BK)\) تشترك في نقطة واحدة.