وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

9 أساسيتمرين رقم 7
A B C D O AB = 5√3 AD = 5
تمرين 7 \(ABCD\)

📐 نص التمرين

تأمل الشكل حيث \(ABCD\) مستطيل مركزه \(O\) حيث \(AB = 5\sqrt{3}\) و \(AD = 5\).

(1) بين أن \(AC = 10\).
(2) أ- المستقيم المار من \(A\) والعمودي على \((AC)\) يقطع \((DC)\) في \(E\). بين أن \(ED = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) و \(AE = \frac{10\sqrt{3}}{3}\).
(2) ب- استنتج \(EC\).
(3) أ- لتكن \(I\) منتصف \([EC]\) والنقطة \(J\) من \([AB]\) حيث \(AJ = EI\). بين أن \(AEIJ\) معين.
(3) ب- استنتج أن \(O\) منتصف \([JI]\).
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.
  • مع الارتفاع الصادر من الرأس القائم ، تصير العلاقات القياسية أقصر طريق : \(AH^{2}=HB\times HC\).
  • نقطة منتصف + توازٍ ⟹ مبرهنة المنتصفين : الطول يتضاعف أو ينتصف.
  • لإثبات طبيعة رباعي ، اختر معيارا واحدا و طبّقه كاملا (القطران ، أو ضلعان متوازيان و متقايسان).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 2 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

الخطوة 3 : استعمل العلاقات القياسية في المثلّث القائم بدل تكرار فيثاغور ثلاث مرّات.

الخطوة 4 : استعمل مبرهنة المنتصفين لنقل طول معلوم إلى طول مجهول.

الخطوة 5 : تحقّق من المعيار المختار خطوة بخطوة ، ثمّ استنتج الطبيعة ثمّ الخاصّية المطلوبة.

✅ الحل النهائي

في المثلث \(ADC\) القائم في \(D\)، حسب مبرهنة بيتاغور:

\(AC^2 = AD^2 + DC^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100\)

\(AC = \sqrt{100} = 10\).

في المثلث \(EAC\) القائم في \(A\) و \(D\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((EC)\):

نعلم أن \(AD^2 = ED \times DC \implies 5^2 = ED \times 5\sqrt{3} \implies 25 = 5\sqrt{3} ED \implies ED = \frac{25}{5\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\).

في المثلث \(EDA\) القائم في \(D\):

\(AE^2 = AD^2 + ED^2 = 25 + \left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 25 + \frac{75}{9} = 25 + \frac{25}{3} = \frac{100}{3}\)

\(AE = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\).

\(EC = ED + DC = \frac{5\sqrt{3}}{3} + 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\).

لدينا \((AB) \parallel (EC)\) و \(J \in [AB]\) و \(I \in [EC]\) إذن \((AJ) \parallel (EI)\).

وبما أن \(AJ = EI\) فإن الرباعي \(AEIJ\) متوازي أضلاع.

حساب \(EI\): \(EI = \frac{EC}{2} = \frac{\frac{20\sqrt{3}}{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\).

لاحظ أن \(AE = \frac{10\sqrt{3}}{3}\) إذن \(AE = EI\).

متوازي أضلاع فيه ضلعان متجاوران متقايسان فهو معين.

لدينا \(J \in [AB]\) و \(I \in [DC]\) و \((AB) \parallel (DC)\) ، إذن \((AJ) \parallel (IC)\).

و بما أنّ \(I\) منتصف \([EC]\) فإنّ \(IC = \frac{EC}{2} = EI = AJ\).

الرباعي \(AJCI\) له ضلعان متقابلان \([AJ]\) و \([IC]\) متوازيان و متقايسان ، إذن \(AJCI\) متوازي أضلاع.

و في متوازي الأضلاع يتقاطع القطران في منتصفهما : قطرا \(AJCI\) هما \([AC]\) و \([JI]\).

و بما أنّ \(O\) مركز المستطيل \(ABCD\) فهو منتصف \([AC]\).

إذن \(O\) هو أيضا منتصف القطر الثاني \([JI]\) ، أي أنّ \(O\) منتصف \([JI]\).