يمثل الرسم شبه منحرف \(ABCD\) قائم الزاوية في \(A\) و \(D\) حيث \(AD = 3\text{ cm}\) و \(AC = 2x + 1\) و \(DC = 2x\) و \(AB = y\) (\(x \in \mathbb{R}_+^*\) و \(0 < y \le 10\)).
الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).
الخطوة 2 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.
الخطوة 3 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.
الخطوة 4 : استعمل العلاقات القياسية في المثلّث القائم بدل تكرار فيثاغور ثلاث مرّات.
الخطوة 5 : اكتب المساحة بدلالة \(x\) ، ساوها بالقيمة المعطاة ، ثمّ أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 ».
الخطوة 6 : استعمل مبرهنة المنتصفين لنقل طول معلوم إلى طول مجهول.
في المثلث \(ADC\) القائم في \(D\)، حسب مبرهنة بيتاغور:
\(AC^2 = AD^2 + DC^2\)
\((2x + 1)^2 = 3^2 + (2x)^2\)
\(4x^2 + 4x + 1 = 9 + 4x^2\)
\(4x + 1 = 9 \iff 4x = 8 \iff x = 2\).
بما أن \(x = 2\) فإن \(DC = 2(2) = 4\).
\(S = \frac{(DC + AB) \times AD}{2} = \frac{(4 + y) \times 3}{2} = \frac{3}{2}(4 + y)\).
لدينا \(0 < y \le 10\)
بإضافة \(4\): \(4 < 4 + y \le 14\)
بالضرب في \(\frac{3}{2}\): \(4 \times \frac{3}{2} < \frac{3}{2}(4 + y) \le 14 \times \frac{3}{2}\)
\(6 < S \le 21 \implies S \in ]6, 21]\).
لدينا \(AHCD\) مستطيل لأن زاواياه قائمة، إذن \(AH = DC = 4\) و \(CH = AD = 3\).
بما أن \(AB = 8\) فإن \(H\) منتصف \([AB]\) لأن \(HB = AB - AH = 8 - 4 = 4\).
في الرباعي \(ACBE\)، القطران \([AB]\) و \([CE]\) يتقاطعان في منتصفهما \(H\) ومتعامدان، إذن \(ACBE\) معين.
مساحة المعين \(ACBE\): \(S_{ACBE} = \frac{AB \times CE}{2}\).
بما أن \(H\) منتصف \([CE]\) و \(CH = 3\) فإن \(CE = 6\).
\(S_{ACBE} = \frac{8 \times 6}{2} = 24\text{ cm}^2\).
لحساب الارتفاع \(h\): نعلم أن \(AC = 2x + 1 = 5\). طول ضلع المعين هو \(AC = 5\).
\(S_{ACBE} = AC \times h \implies 24 = 5 \times h \implies h = \frac{24}{5} = 4.8\text{ cm}\).