وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

9 أساسيتمرين رقم 5
A B C H I AH
تمرين 5 \(x\) عدد حقيقي موجب حيث \(CH=x\)

📐 نص التمرين

في الرسم المقابل لدينا :

  • ABC مثلث قائم في A و I منتصف [BC]
  • H المسقط العمودي للنقطة A على (BC)
  • \(x\) عدد حقيقي موجب حيث \(CH=x\) و \(BC=6\) و \(AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
  1. بين أن \(AH^{2}=x(6-x)\) ثم استنتج أن العدد الحقيقي \(x\) يحقق المساواة : \(x^{2}-6x+\frac{27}{4}=0\)
  2. بين أن \(x^{2}-6x+\frac{27}{4}=(x-\frac{3}{2})(x-\frac{9}{2})\)
  3. استنتج CH ثم احسب AB
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
  • في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.
  • مع الارتفاع الصادر من الرأس القائم ، تصير العلاقات القياسية أقصر طريق : \(AH^{2}=HB\times HC\).
  • نقطة منتصف + توازٍ ⟹ مبرهنة المنتصفين : الطول يتضاعف أو ينتصف.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 4 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

الخطوة 5 : استعمل العلاقات القياسية في المثلّث القائم بدل تكرار فيثاغور ثلاث مرّات.

الخطوة 6 : استعمل مبرهنة المنتصفين لنقل طول معلوم إلى طول مجهول.

✅ الحل النهائي

  1. في المثلث القائم ABC، لدينا العلاقات القياسية: \(AH^2 = HB \times HC\).
    بما أن \(HB = BC - CH = 6 - x\)، فإن : \(AH^2 = x(6-x)\).
    بالتعويض : \(\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 6x - x^2 \implies \frac{27}{4} = 6x - x^2 \implies x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0\).
  2. ننشر الطرف الأيمن : \[\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{9}{2}\right) = x^2 - \frac{9}{2}x - \frac{3}{2}x + \frac{27}{4} = x^2 - 6x + \frac{27}{4}\]
  3. تحديد CH : \[x^2 - 6x + \frac{27}{4} = 0 \iff \left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{9}{2}\right) = 0 \iff x = \frac{3}{2} \text{ أو } x = \frac{9}{2}\] بما أن الرسم أو المعطيات البيانية تظهر المعنى، فإن قيمة \(CH = \frac{3}{2}\) (أو \(\frac{9}{2}\) حسب الرسم).
    حساب AB : باستخدام العلاقة القياسية \(AB^2 = BH \times BC\).
    إذا كان \(CH = \frac{3}{2}\)، فإن \(BH = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\).
    \(AB^2 = \frac{9}{2} \times 6 = 27 \implies AB = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).