وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

تمرين 4 \(AC=a+3\)

نعتبر المثلث ABC حيث \(AC=a+3\) و \(AB=a+2\) و \(BC=a-1\) حيث \(a\) عدد حقيقي .

بين أنه إذا كان ABC قائما في B فإن \((a+3)^{2}=(a+2)^{2}+(a-1)^{2}\)
أ- أنشر : \((a+3)^{2}\)
ب- أنشر و اختصر : \((a+2)^{2}+(a-1)^{2}\)
ج- استنتج أنه إذا كان ABC قائما في B فإنّ : \(a^{2}-4a-4=0\)
لتكن العبارة : \(E=x^{2}-4x-4\) حيث \(x\) عدد حقيقي.
أ- بين أن \(E=(x-2)^{2}-8\)
ب- أوجد \(x\) بحيث \(E=0\)
ج- أوجد \(a\) بحيث يكون ABC قائما في B

لم تبدأ بعد

لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.
كلمة « استنتج » تعني : لا تعيد الحساب ، استعمل نتيجة السؤال السابق مباشرة.
في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 3 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

الخطوة 4 : أعد استعمال النتيجة السابقة كما هي ، و اكتف بالخطوة الصغيرة التي تفصلها عن المطلوب.

الخطوة 5 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

حسب نظرية بيتاغور، إذا كان المثلث قائم في B فإن الوتر هو AC، بالتالي \(AC^2 = AB^2 + BC^2\)، أي \((a+3)^2 = (a+2)^2 + (a-1)^2\).
أ- \((a+3)^2 = a^2 + 6a + 9\)
ب- \((a+2)^2 + (a-1)^2 = (a^2+4a+4) + (a^2-2a+1) = 2a^2 + 2a + 5\)
ج- \(a^2 + 6a + 9 = 2a^2 + 2a + 5 \implies a^2 - 4a - 4 = 0\).
أ- \((x-2)^2 - 8 = x^2 - 4x + 4 - 8 = x^2 - 4x - 4 = E\)
ب- \(E=0 \iff (x-2)^2 = 8 \iff x-2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) أو \(x-2 = -2\sqrt{2} \iff x = 2+2\sqrt{2}\) أو \(x = 2-2\sqrt{2}\).
ج- بما أن أطوال الاضلاع موجبة، نختار الحل الموجب القطعي الذي يجعل الأطوال موجبة : \(a = 2+2\sqrt{2}\).