وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

9 أساسيتمرين رقم 3
A B C D O E x 1,6 cote = 10
تمرين 3 \(EB=1,6\)

📐 نص التمرين

في الرسم : ABCD مربع قيس ضلعه 10. E نقطة من [BC] بحيث \(EB=1,6\). O نقطة من [AB] بحيث \(OA=x\).

  1. احسب DE
  2. احسب \(OD^{2}\) و \(OE^{2}\) بدلالة \(x\)
  3. بين أنه : إذا كان ODE قائما في O فإنّ \(x^{2}-10x+16=0\)
  4. أ- بين أن \(x^{2}-10x+16=(x-5)^{2}-9\)
    ب- فكك العبارة : \((x-5)^{2}-9\)
    ج- أوجد \(x\) بحيث يكون المثلث ODE قائما في O
  5. لتكن I منتصف [DE]. بين أنه في حالة \(x=2\) فإن النقاط O, E, C, D تنتمي إلى نفس الدائرة محددا مركزها وشعاعها.
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • لا تحلّ معادلة من الدرجة الثانية بالنشر : فكّك أوّلا ، فجذاء يساوي صفر يعني أنّ أحد عامليه يساوي صفر.
  • في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.
  • نقطة منتصف + توازٍ ⟹ مبرهنة المنتصفين : الطول يتضاعف أو ينتصف.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 3 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 4 : أرجع المعادلة إلى الشكل « جذاء = 0 » ثمّ استعمل : \(a\times b=0\) ⟺ \(a=0\) أو \(b=0\).

الخطوة 5 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

الخطوة 6 : استعمل مبرهنة المنتصفين لنقل طول معلوم إلى طول مجهول.

✅ الحل النهائي

  1. في المثلث CDE القائم في C : \(EC = 10 - 1,6 = 8,4\).
    \(DE^2 = CD^2 + EC^2 = 10^2 + (8,4)^2 = 100 + 70,56 = 170,56 \implies DE = \sqrt{170,56} = 13,06\)
  2. في AOD القائم : \(OD^2 = AD^2 + AO^2 = 100 + x^2\).
    في OBE القائم : \(OB = 10-x\). \(OE^2 = OB^2 + BE^2 = (10-x)^2 + (1,6)^2 = 100 - 20x + x^2 + 2,56 = x^2 - 20x + 102,56\).
  3. إذا كان ODE قائماً في O : \(OD^2 + OE^2 = DE^2\)
    \((100+x^2) + (x^2-20x+102,56) = 170,56 \implies 2x^2 - 20x + 32 = 0 \implies x^2 - 10x + 16 = 0\).
  4. أ- \((x-5)^2 - 9 = x^2 - 10x + 25 - 9 = x^2 - 10x + 16\)
    ب- \((x-5-3)(x-5+3) = (x-8)(x-2)\)
    ج- \(ODE\) قائم \iff \((x-8)(x-2)=0 \iff x=8\) أو \(x=2\).
  5. بما أن المثلث ODE قائم في O والمثلث DCE قائم في C، ولهما نفس الوتر [DE] الذي منتصفه I، فإن O و C ينتميان للدائرة التي قطرها [DE] ومركزها I وشعاعها \(\frac{DE}{2}\).