وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

9 أساسيتمرين رقم 2
A B C M F P x − 6 x − 5 x x + 6 x + 6
تمرين 2 \(AB=x-6\)

📐 نص التمرين

لاحظ الرسم حيث \(AB=x-6\) و \(AC=x-5\) و \(AM=x\) و \(FB=PC=x+6\) حيث \(x > 6\).

  1. أ- بين أن \(AF^{2}=(x+6)^{2}-(x-6)^{2}\)
    ب- نعتبر العبارة الجبرية : \(T=AF^{2}\). بين أن : \(T=24x\)
  2. نعتبر العبارة الجبرية : \(S=AP^{2}\). بين أن : \(S=11(2x+1)\) (بفرض \(AP^2 = (x+6)^2 - (x-5)^2\))
  3. احسب كلا من العددين : \[a=\frac{456789006^{2}-456788994^{2}}{24000}\] و \(b=409308011^{2}-409308000^{2}\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • قبل التعويض ، انظر إن كان \(x\) يحتوي على جذر : عوّض ثمّ استعمل \((\sqrt{a})^{2}=a\) و لا تحسب بالمقرّبات.
  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : عوّض \(x\) بقيمته في العبارة ، ثمّ بسّط باستعمال الجذاءات المعتبرة و \((\sqrt{a})^{2}=a\).

الخطوة 2 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

✅ الحل النهائي

  1. أ- من المثلث القائم ABF : \(AF^2 = BF^2 - AB^2 = (x+6)^2 - (x-6)^2\)
    ب- \(T = (x^2 + 12x + 36) - (x^2 - 12x + 36) = 24x\)
  2. من المثلث APC القائم : \(S = PC^2 - AC^2 = (x+6)^2 - (x-5)^2 = (x^2+12x+36) - (x^2-10x+25) = 22x + 11 = 11(2x+1)\)
  3. حساب \(a\) : نلاحظ أن البسط هو من الشكل \((x+6)^2 - (x-6)^2 = 24x\) حيث \(x = 456789000\).
    \(a = \frac{24 \times 456789000}{24000} = \frac{456789000}{1000} = 456789\).
    حساب \(b\) : من الشكل \((x+6)^2 - (x-5)^2\) مع \(x = 409308005\).
    \(b = 11(2(409308005)+1) = 11(818616011) = 9004776121\).