وضعية هندسية — مبرهنة فيثاغور

9 أساسيتمرين رقم 1
تمرين 1 \(x\) عدد حقيقي : \(A=(3x+6)^{2}\)

📐 نص التمرين

نعتبر العبارات التالية حيث \(x\) عدد حقيقي : \(A=(3x+6)^{2}\) و \(B=(4x+8)^{2}\) و \(C=25x^{2}+100x+100\)

  1. انشر كلا من العبارتين : \(A\) و \(B\)
  2. فكك العبارة \(C\) إلى جذاء عوامل
  3. نعتبر مثلثا ABC أبعاده \(AB=3x+6\) و \(BC=4x+8\) و \(AC=5x+10\). بين أن المثلث ABC قائم
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • لإثبات مساواة بين عبارتين ، انطلق من الطرف الأكثر تركيبا و انشره حتّى تصل إلى الآخر.
  • ابحث عن فرق بين مربّعين \(a^{2}-b^{2}\) أو عن عامل مشترك ظاهر. لا تنشر قبل أن تفكّك.
  • انشر بترتيب ، حدّا بحدّ ، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة. انتبه لإشارة الطرح أمام قوس.
  • في un مثلّث قائم ، فكّر فيثاغور لربط الأضلاع ، أو عكسيتها لإثبات أنّ الزاوية قائمة.

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : انشر الطرف المكتوب على شكل مربّع ثمّ اختصر ، و تحقّق أنّك تصل إلى العبارة المعطاة.

الخطوة 2 : اكتب العبارة على شكل \(a^{2}-b^{2}\) ثمّ طبّق \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) ، أو أخرج العامل المشترك.

الخطوة 3 : انشر باستعمال الجذاءات المعتبرة ثمّ اجمع الحدود من نفس الدرجة.

الخطوة 4 : حدّد المثلّث القائم و رأسه القائم ، ثمّ اكتب فيثاغور : (الوتر)² = مجموع مربّعي الضلعين القائمين.

✅ الحل النهائي

  1. \(A = 9x^2 + 36x + 36\)
    \(B = 16x^2 + 64x + 64\)
  2. \(C = 25(x^2 + 4x + 4) = 25(x+2)^2 = (5x+10)^2\)
  3. نلاحظ أن \(AB^2 + BC^2 = A + B = (9x^2+36x+36) + (16x^2+64x+64) = 25x^2 + 100x + 100 = C = AC^2\).
    حسب العكسية لنظرية بيتاغور، المثلث ABC قائم الزاوية في B.