📝 منهجية الحل
الخطوة 1 : حوّل كلّ اقتراح إلى شكل قابل للمقارنة (انشر أو فكّك).
الخطوة 2 : استبعد المستحيل قبل الحساب.
الخطوة 3 : تحقّق من الاقتراح المختار بالتعويض.
✅ الحل النهائي
1) الجواب : \(2\)
التفسير والتعليل:
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
\((\sqrt{2}-2\sqrt{2})^2=(-\sqrt{2})^2=2\)
الخيار \(6\) ناتج عن الخطأ \((\sqrt{2})^2-(\sqrt{8})^2\) ، و مربّع عدد حقيقي لا يكون سالبا.
✔ الإجابة الصحيحة هي \(2\) .
2) الجواب : \(7+4\sqrt{3}\)
التفسير والتعليل:
المساحة = \((\text{الضلع})^2 = (\sqrt{3}+2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(2)(\sqrt{3}) + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7+4\sqrt{3}\)
3) الجواب : أ) \(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)
نختار المعيّن \((O,I,J)\) المتعامد المتجانس ذا المبدأ \(O\) و محور الفواصل \((AB)\).
\(AB=4\) إذن شعاع نصف الدائرة يساوي \(2\) ، و \(A(-2\,;\,0)\) و \(B(2\,;\,0)\).
\(ODEF\) مربّع ضلعه \(ED=1\) ، ومنه \(D(0\,;\,1)\) و \(E(-1\,;\,1)\) و \(F(-1\,;\,0)\).
النقطة \(C\) هي نقطة تقاطع المستقيم \((AD)\) مع نصف الدائرة.
نقاط \((AD)\) من الشكل \((-2+2t\,;\,t)\) ، و شرط الانتماء إلى الدائرة \(x^{2}+y^{2}=4\) يعطي
\((-2+2t)^{2}+t^{2}=4\) أي \(5t^{2}-8t=0\) ومنه \(t=0\) (وهي \(A\)) أو \(t=\dfrac{8}{5}\).
إذن \(C\left(\dfrac{6}{5}\,;\,\dfrac{8}{5}\right)\).
\(DC=\sqrt{\left(\dfrac{6}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{8}{5}-1\right)^{2}}
=\sqrt{\dfrac{36}{25}+\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{45}{25}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\).
الجواب الصحيح : أ)