وضعية هندسية — كلاسيكية

9 أساسيأسئلة متعدّدة الاختيارات 1
QCM 1 أسئلة متعدّدة الاختيارات (مصادر مختلطة)

📐 نص التمرين

لكلّ سؤال عدّة اقتراحات ، واحد فقط صحيح.

1) 4) العبارة \((\sqrt{20}-\sqrt{5})^2\) تساوي:

  • \(5\)
  • \(15\)
  • \(-5\)

2) (1) إذا كان \(ABC\) مثلّثا مركز ثقله \(G\) و \(I\) منتصف \([BC]\) فإنّ إحداثيّات \(A\) في المعيّن \((G,C,I)\) هي :

  • أ) \((-1\,;\,0)\)
  • ب) \((0\,;\,-2)\)
  • ج) \((-2\,;\,0)\)

3) 6) مستطيل بعداه \(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\) و \(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\) قيس مساحته:

  • 40
  • 6
  • \(8+3\sqrt{2}\)

4) 1) مهما يكن العدد الحقيقي \(x\) فإن العبارة \(A=x^2-6x+9\) موجبة.

  • صواب
  • خطأ

5) (8) \((O,I,J)\) معيّن متعامد في المستوي و \(A(\sqrt{2}\,;\,-1)\) و \(B(0\,;\,-a)\) و \(C(-\sqrt{2}\,;\,3)\) و \(D(|a|-2\,;\,0)\) نقاط من المستوي. يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع إذا كان \(a\) يساوي :

  • أ) \(1\)
  • ب) \(-1\)
  • ج) \(-2\)

6) 4) \(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). إحداثيّات النقطة \(A\) وفق المعيّن \((D,O,C)\) هي :

  • أ) \((2\,;-1)\)
  • ب) \((0\,;-2)\)
  • ج) \((1\,;-1)\)

7) 7) العبارة \(\dfrac{(\sqrt{2}-2)^2}{2}\) تساوي:

  • \(0\)
  • \(-1\)
  • \(3-2\sqrt{2}\)

8) 5) في الرسم المقابل \(I\) منتصف \([FK]\) و \(H\) منتصف \([EK]\) و \((JH)\,//\,(FK)\). لتكن \(S_1\) مساحة المثلّث \(IJK\) و \(S_2\) المساحة الملوّنة. النسبة \(\dfrac{S_2}{S_1}\) تساوي :

  • أ) 4
  • ب) 3
  • ج) 2

9) 10) نعتبر الشكل المرفق حيث قيس ضلع المربع الكبير \(x+3\) والمربع الصغير 2: قيس المساحة الملونة بدلالة \(x\) يساوي:

  • \(x^2+6x-1\)
  • \(5-x^2-6x\)
  • \(x^2+6x+5\)

10) 3) مثلّث متقايس الأضلاع قيس ضلعه \(2\sqrt{3}\) و \((\mathcal{C})\) الدائرة المحاطة به. محيط الدائرة \((\mathcal{C})\) يساوي :

  • أ) \(2\pi\)
  • ب) \(\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}\)
  • ج) \(\sqrt{3}\,\pi\)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

  • اقرأ كلّ الاقتراحات قبل الاختيار : غالبا ما يكون الخطأ في الإشارة أو في نسيان الحدّ الأوسط.
  • لا تخمّن : تحقّق باستبعاد الاقتراحات المستحيلة (مربّع سالب ، طول سالب…).

📝 منهجية الحل

الخطوة 1 : حوّل كلّ اقتراح إلى شكل قابل للمقارنة (انشر أو فكّك).

الخطوة 2 : استبعد المستحيل قبل الحساب.

الخطوة 3 : تحقّق من الاقتراح المختار بالتعويض.

✅ الحل النهائي

1) الجواب : \(5\)

التفسير والتعليل:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}\)
\((\sqrt{20}-\sqrt{5})^2=(2\sqrt{5}-\sqrt{5})^2=(\sqrt{5})^2=5\)
الخيار \(15\) ناتج عن الخطأ \((\sqrt{20})^2-(\sqrt{5})^2\) ، و مربّع عدد حقيقي لا يمكن أن يكون سالبا.
✔ الإجابة الصحيحة هي \(5\) .

2) الجواب : ب) \((0\,;\,-2)\)

في المعيّن \((G,C,I)\) : المبدأ هو \(G\) ، المحور الأوّل مدرّج بـ \(G\) و \(C\) ، و المحور الثاني مدرّج بـ \(G\) و \(I\).
\(G\) مركز ثقل المثلّث \(ABC\) و \(I\) منتصف \([BC]\) ، إذن \(A\) و \(G\) و \(I\) على استقامة واحدة (المتوسّط \([AI]\)).
إذن \(A\) تنتمي إلى المحور الثاني ، و بالتالي فاصلتها تساوي \(0\).
و في مركز الثقل : \(GA = 2\,GI\) ، و النقطتان \(A\) و \(I\) تقعان على جانبي \(G\) ، إذن ترتيبة \(A\) هي \(-2\).
إذن إحداثيّات \(A\) هي \((0\,;\,-2)\). الجواب الصحيح : ب)

3) الجواب : 6

التفسير والتعليل:
مساحة المستطيل = الطول \(\times\) العرض = \((3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\)
\(= (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (9 \times 2) - (4 \times 3) = 18 - 12 = 6\)

4) الجواب : صواب

التفسير والتعليل:
\(A = (x-3)^2\) وبما أن مربع أي عدد حقيقي هو دائماً موجب أو يساوي صفر (\((x-3)^2 \ge 0\))، فالعبارة صواب.

5) الجواب : ج) \(-2\)

يكون \(ABCD\) متوازي أضلاع إذا و فقط إذا كان للقطرين \([AC]\) و \([BD]\) نفس المنتصف.
منتصف \([AC]\) : \(\left(\dfrac{\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}{2}\,;\,\dfrac{-1+3}{2}\right)=(0\,;\,1)\).
منتصف \([BD]\) : \(\left(\dfrac{0+|a|-2}{2}\,;\,\dfrac{-a+0}{2}\right) =\left(\dfrac{|a|-2}{2}\,;\,\dfrac{-a}{2}\right)\).
تساوي المنتصفين يعطي : \(\dfrac{|a|-2}{2}=0\) و \(\dfrac{-a}{2}=1\).
أي \(|a|=2\) و \(a=-2\) ، و القيمتان متوافقتان.
تحقّق : عند \(a=-2\) لدينا \(B(0\,;\,2)\) و \(D(0\,;\,0)\) ، و منتصف \([BD]\) هو \((0\,;\,1)\) = منتصف \([AC]\).
الجواب الصحيح : ج)

6) الجواب : أ) \((2\,;-1)\)

في المعيّن \((D,O,C)\) : المبدأ هو \(D\) ، وحدة المحور الأوّل هي \(DO\) و وحدة المحور الثاني هي \(DC\).
\(O\) مركز متوازي الأضلاع \(ABCD\) ، إذن \(O\) منتصف القطر \([DB]\) و منتصف القطر \([AC]\).
بما أنّ \(O\) منتصف \([DB]\) فإنّ \(DB=2\,DO\) ، إذن \(B\) إحداثيّاتها \((2\,;\,0)\).
و في متوازي الأضلاع \(ABCD\) لدينا \([AB]\) و \([DC]\) متوازيان و متقايسان ، فننتقل من \(B\) إلى \(A\) بمقدار \(-1\) على المحور الثاني (المحور المدرّج بـ \(D\) و \(C\)).
إذن إحداثيّات \(A\) هي \((2\,;-1)\).
الجواب الصحيح : أ)

7) الجواب : \(3-2\sqrt{2}\)

التفسير والتعليل:
\((\sqrt{2}-2)^2=2-4\sqrt{2}+4=6-4\sqrt{2}\)
\(\dfrac{6-4\sqrt{2}}{2}=3-2\sqrt{2}\)
مربّع عدد حقيقي دائما مخالف للصفر موجب قطعا ، إذن الخياران \(0\) و \(-1\) مستحيلان.
✔ الإجابة الصحيحة هي \(3-2\sqrt{2}\) .

8) الجواب : ب) 3

في المثلّث \(EFK\) : \(H\) منتصف \([EK]\) و \((JH)\,//\,(FK)\) ، فحسب مبرهنة المنتصفين يكون \(J\) منتصف \([EF]\).
نسمّي \(S\) مساحة المثلّث \(EFK\).
في المثلّث \(IJK\) : رأسه \(K\) و \(I\) منتصف \([FK]\) و \(J\) منتصف \([EF]\) ، و بحساب نسب المساحات نجد \(S_1=\dfrac{S}{4}\).
المساحة الملوّنة هي ما تبقّى من المثلّث \(EFK\) ، أي \(S_2=S-S_1=\dfrac{3S}{4}\).
\(\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{3S/4}{S/4}=3\).
الجواب الصحيح : ب)

9) الجواب : \(x^2+6x+5\)

التفسير والتعليل:
المساحة الملونة = مساحة المربع الكبير - مساحة المربع الأبيض
\(= (x+3)^2 - 2^2 = (x^2+6x+9) - 4 = x^2+6x+5\)

10) الجواب : أ) \(2\pi\)

ارتفاع المثلّث المتقايس الأضلاع الذي ضلعه \(c\) هو \(h=\dfrac{c\sqrt{3}}{2}\) ، ومنه \(h=\dfrac{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{2}=3\).
في المثلّث المتقايس الأضلاع ، مركز الدائرة المحاطة هو مركز الثقل ، و شعاعها هو ثلث الارتفاع : \(r=\dfrac{h}{3}=1\).
المحيط \(=2\pi r=2\pi\).
الجواب الصحيح : أ)